现代控制理论及工程应用案例 课件

现代控制理论及工程应用案例第1章绪论自动控制理论的发展历程

1.1现代控制理论的内容1.2控制论、信息论及系统论1.3现代控制系统实例1.420世纪40年代3形成体系19世纪2发展阶段萌芽阶段118世纪初一、经典控制理论的形成与发展§1.1自动控制理论的形成和发展1、萌芽阶段

随着科学技术与工业生产的发展，到十八世纪，自动控制技术逐渐应用到现代工业中。其中最卓越的代表是瓦特（J.Watt）发明的蒸汽机离心调速器，加速了第一次工业革命的步伐。瓦特2、发展阶段1868年马克斯韦尔（J.C.Maxwell）解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振荡的不稳定问题，提出了简单的稳定性代数判据。马克斯韦尔（J.C.Maxwell）3、形成体系阶段

1895年劳斯（Routh)与赫尔维茨（Hurwitz）把马克斯韦尔的思想扩展到高阶微分方程描述的更复杂的系统中,各自提出了两个著名的稳定性判据—劳斯判据和赫尔维茨判据。基本上满足了二十世纪初期控制工程师的需要。赫尔维茨（Hurwitz）由于第二次世界大战需要控制系统具有准确跟踪与补偿能力，1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了频域内研究系统的频率响应法，为具有高质量的动态品质和静态准确度的军用控制系统提供了所需的分析工具。

奈奎斯特4、经典控制理论的特点和局限性(1)以SISO线性定常系统为研究对象。(2)以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析与设计。(3)难以有效地应用于时变系统、多变量系统(4)难以有效地应用于非线性系统。二、现代控制理论的形成与发展80年代后3形成体系60~80年代

2发展阶段萌芽阶段120世纪50年代

1.五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规划。2.1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念。卡尔曼4.罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、欧文斯（D.H.Owens）和麦克法轮（G.J.MacFarlane）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。3.1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理。

L.S.Pontryagin

5.由于现代数学的发展，结合着H2和H

等范数而出现了H2和H

控制，还有逆系统控制等方法。

6.20世纪70年代末，控制理论向着“大系统理论”、“智能控制理论”和“复杂系统理论”的方向发展：大系统理论：研究各种大系的结构方案、总体设计中的分解方法和协调等问题的技术基础理论。智能控制理论：研究与模拟人类智能活动及其控制与信

息传递过程的规律，的理论。复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范

筹，以解决复杂系统的控制为目标。§1.2现代控制理论的内容现代控制理论基础的内容为:线性系统理论最优控制理论最优估计理论系统辨识理论自适应控制理论智能控制理论非线性系统理论

经典控制理论

现代控制理论

研究对象单输入单输出系统(SISO)高阶微分方程

多输入多输出系统(MIMO):一阶微分方程

研究方法传递函数法(外部描述)

状态空间法(内部描述)

研究工具拉普拉斯变换

线性代数矩阵

分析方法频域(复域),频率响应和根轨迹法

复域、实域，可控和可观测

设计方法PID控制和校正网络

状态反馈和输出反馈

其他

频率法的物理意义直观、实用，难于实现最优控制

易于实现实时控制和最优控制§1.3控制论、信息论及系统论控制论、信息论、系统论作为独立的学科，各自都有自己的发展方向，同时又有内在的联系。在研究通讯和控制时，都离不开系统；研究系统或控制时，又离不开信息。控制论的研究对象是系统，它对于进一步考察系统内部的组织、控制和调节的功能是不可缺少的。信息是组织系统的一个重要特征，它使系统得以实现自我调节，是系统之间，系统与环境之间联系的主要方式。系统、信息、控制不可分离。地空导弹稳定控制洗衣机智能模糊控制机器人控制§1.4现代控制系统实例汽车驾驶控制计算机控制火力发电厂协调控制太阳能光伏发电微电网系统风力发电系统第2章状态空间分析法2.1基本概念2.2实际物理系统动态方程2.4组合系统2.3传递函数(矩阵)2.5线性(非奇异)变换2.6离散系统状态空间表达式图2.1经典控制理论的系统描述方法§2.1基本概念（状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程）2.1.1定义：(1)状态：系统过去、现在和将来的状况(2)状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：表示系统在时刻的状态a.若初值时的b.给定，给定，则状态变量确定系统在时的行为。(4)状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量作为分量的向量，即(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：(7)状态空间表达式：(5)+(6).(1)独立性(2)等价性(3)现实性(4)抽象性(5)多样性状态变量的特点：2.1.2状态空间表达式的一般形式：(1)线性系统

称为系统矩阵，称为输入(或控制)矩阵。由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而则主要体现了系统输入的施加情况。矩阵称为输出矩阵，表达输出变量与状态变量之间的关系，矩阵称为直接转移矩阵，表示了控制向量直接转移到输出变量的转移关系，也可称前馈矩阵。一般控制系统中，通常情况=0。(2)非线性系统图2.3系统动态方程的方块图结构图2.4控制系统应用图例§2.2建立实际物理系统的动态方程图2.5双输入-三输出机械位移系统§2.3由控制系统方块图求系统动态方程第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数。第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。例2-5

某控制系统的方块图如图2.9(a)所示，试求出其动态方程。图2.9(a)系统方块图图2.9(b)系统方块图例2-6

求如图2.10（a）所示系统的动态方程。图2.10（a）系统方块图图2.10（b）第一次等效变换图2.10（c）由标准积分器组成的等效方块图§2.4由系统微分方程或传递函数求动态方程从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：（2-12）其传递函数就是输出信号y(t)的Laplace变换Y(S)与输入信号u(t)的Laplace变换U(S)之比，其形式为如下S的有理分式：（2-13）由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。系统的实现是非唯一的。系统的实现一般有直接法，串联法和并联法三种。2.4.1系统实现的直接法(2-24)2.4.2传递函数的串联实现其结构图可以是如下图中虚框表示。2.4.3传递函数的并联实现例2-9求下列传递函数的并联实现解：2.5.1状态向量的线性变换：考虑系统：取线性非奇异变换：，矩阵P非奇异§2.5线性(非奇异)变换整理得其中：例2.5.1考虑系统取变换：状态空间表达式变为：2.5.2对角标准型：充要条件：n阶系统矩阵A有n个线性无关的特征向量。化对角标准型的步骤Step1

：求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量Step2：令例2.5.2将下系统化为对角标准型解：1)求系统特征根.2)求特征矢量对由得：对由得：对由得：3)新的状态方程为：构成状态转移矩阵P：2.5.3约当标准型设系统有k个mi重特征值

，

其约当标准型为：其中J为约当矩阵求约当标准型的步骤：求解令例2.5.5将下系统化为约当标准型解：1)求系统特征根.2)求特征矢量对由得：对由得：得广义特征向量对由得：3)新的状态方程为：构成状态变换矩阵P：2)不改变系统特征值和传递函数阵状态变换不改变系统特征值和传递函数阵1)不改变系统特征值:2.6.1SISO系统：取L氏变换得：§2.6系统动态方程求系统传递函数（阵）A的特征值即为系统的极点。2.6.2MIMO系统：其中：其中表示第j个控制分量与第i个输出分量间的传递函数.§2.7离散时间系统状态空间表达式离散时间系统差分方程表示：其对应脉冲传函为：定义：取：对其进行Z反变换得：写成矩阵形式：例2.6.1考虑离散系统：试写出其状态空间表达式。解：进行Z变换得：得状态空间表达式为：MIMO离散时间系统的状态空间表达式：离散系统状态图:线性连续定常齐次方程求解3.1第3章状态方程的解矩阵指数3.2线性连续定常非齐次状态方程求解3.3线性时不变系统的状态转移矩阵3.43.5线性时变系统状态方程的解连续系统的时间离散化3.6线性离散系统状态方程的解3.73.1

线性时不变(LTI)系统齐次状态方程的解齐次状态方程：，控制输入为零。初始时刻t0=0,则(1)若A为标量有：(2)若A为方阵设级数绝对一致收敛矩阵级数矩阵指数则解：3.2矩阵指数3.2.1矩阵指数的性质3.2.2几个特殊矩阵指数(1)若A为对角阵则有：证:(2)若A为m×m约当阵则有：(3)若A为约当块矩阵则有：(4)若A为则有：3.2.3矩阵指数的计算(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现(2)拉氏变换法：有：例3.2.1用Laplace变换法计算矩阵指数：解：(3)标准型法：a.设A具有n个互异得特征值则有：其中P满足例3.2.2已知矩阵计算矩阵指数解:1)特征值2)计算特征矢量：3)构造变换阵P：则有：b.设A具有n个重特征值则有：例3.2.3已知矩阵计算矩阵指数解:1)计算特征值，及特征向量和广义特征向量3)计算矩阵指数：2)构造变化矩阵：(4)化有限项法根据：1)特征根两两互异：2)有n个重特征值：两端对求1至n-1阶导数得：解方程组可求得：例3.2.4已知矩阵试用有限项方法计算矩阵指数解：矩阵A的特征方程为：特征值为：-1，-1，+2。当时：当时：从而可联立求得：因-1是重根需补充方程：由此得：3.3线性时不变系统非齐次状态方程的解考虑系统：将左乘后求导得：两边积分得：

系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。

更一般的形似为：3.4线性时不变系统的状态转移矩阵3.4.1基本概念线性时不变系统状态方程的解(1)x(t)是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。(2)解的结构显示了从x(t0)到x(t)的一种变换关系。其中：称为状态转移矩阵3.4.2线性时不变系统的状态转移矩阵定义：线性定常连续系统的状态方程为：称满足如下矩阵方程的解阵称为状态转移矩阵3.4.3状态转移矩阵的性质：3.5.1线性时变系统齐次状态方程的解3.5线性时变系统状态方程的解系统描述：为初始时刻，分段连续。解的一般形式：解的特殊情况：解：例3.5.1求：考虑系统初始值为解：例3.5.2求：考虑系统初始值为方法1：依公式计算方法2：原系统状态方程写成分别积分可得这里解仍然不是有限解析形式3.5.2线性时变系统的状态转移矩阵对于连续时间线性时变系统其中：为初始时刻，分段连续。系统的状态转移矩阵是如下矩阵微分方程和初始条件的解阵3.5.3线性时变系统非齐次状态方程的解考虑系统其中：为初始时刻，分段连续。系统(1)的解为：为待定向量。代入状态方程得：等式两端积分得：令，则有上式称为状态转移方程：以状态转移矩阵为核心工具。第一项是由初始状态引起的响应；第二项是由控制输入引起的响应。例3.5.3考虑系统解：状态方程求解可得当u=1(t-1)时，求再分别取和可以求出系统状态转移矩阵进而可得到系统状态响应3.6连续系统的时间离散化3.6.1近似离散化考虑系统当采样周期T很小的时候，有：其中：例3.6.1试列写采样周期考虑系统时的离散化状态方程解：计算可得于是离散化状态方程为3.6.2线性时不变系统状态方程的离散化考虑系统：其状态方程的解为：(1)等采样周期T：假设：则有：令则则线性时不变系统离散状态方程为：令例3.6.2试列写采样周期考虑系统时的离散化状态方程解：计算可得再将上式取拉氏反变换，即可得进而可求出离散化系统的系数矩阵于是离散化状态方程为连续系统离散化的几点说明：(1)近似离散化是一般离散化的特例。(2)定常系统离散化是时变系统离散化的特例。(3)一般说来，没有精确离散化。(4)离散化是有条件的，“连续化”是无条件的。(5)连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，反之则未必。3.7线性离散系统状态方程的解3.7.1递推法：考虑离散时间系统：则有：

定常情形：当给定初始条件和输入信号序列即可求得：G和H都是常值矩阵，于是可得：状态转移方程状态转移矩阵的性质：或：离散系统状态转移方程：3.7.2Z变换法：考虑离散时间系统：取Z变换得：取Z反变换得：由解的唯一性可得：解法1：例3.7.1考虑离散时间系统：其中：试求时系统的状态解。由此递推下去，可得到状态的离散序列表达式：解法2：用Z变换法，先计算则有：则有：因，所以Z反变换得：第四章线性系统的能可控性与可观性两个基础性概念：能控性与能观性两个基本问题：

•

在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？

指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题

•

在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？

系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量，称之为状态的能观性问题。4.1.1定常离散系统的能控性定义线性定常离散系统的状态方程如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控。4.1.2单输入离散系统能控性的判定条件单输入线性定常离散系统的状态方程定理4.1.1单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成

证明注意令x(n)=0,则有又因为定理得证.满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。例4.1.14.1.3多输入离散系统能控性的判定条件定理4.1.2多输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是此能控性判据可以写成

rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n.多输入线性定常离散系统的状态方程多输入系统特点：(1)多输入系统的能控性矩阵是一个nxnp矩阵。根据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。(2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。4.2定常连续系统的能控性4.2.1线性定常连续系统的能控性定义线性定常连续系统的状态方程定义4.2.1对于系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内，将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。4.2.2线性定常连续系统的能控性判据能控性判据的第一种形式：定理4.2.1系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵的秩为n，即注:

如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则系统的状态完全能控性的判据为

:此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇异的。例4.2.1考察如下系统的能控性其秩为3，该系统能控。能控性判据的第二种形式定理4.2.2如果线性定常系统统经线性非奇异变换后，A阵变换成对角标准形，它的状态方程的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系其中，不包含元素全为0的行。此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行等价变换。

例4.2.4下列系统是能控的其中，

矩阵的与每个约当块最后一行相对应的那些行中每行的元素不全为零。的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形定理4.2.3若线性定常系统：例4.2.3判断下列系统的能控性。此系统不能控.此系统不能控.4.2.3线性定常连续系统的输出能控性设系统的状态空间表达式为定义4.2.2如果在一个有限的区间[t0,t1]内，存在适当的控制向量u(t),使系统能从任意的初始输出y(t0)转移到任意指定最终输出y(t1)，则称系统是输出完全能控的。系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵的秩为q例4.2.9判断系统是否具有状态能控性和输出能控性。秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的秩为1，所以系统是状态不能控的。

4.3.1定常离散系统的能观性考虑离散系统定义4.3.1对于上述系统，在已知输入u(t)的情况下，若能依据第i步及以后n-1步的输出观测值y(i),y(i+1),…,y(i+n-1)，唯一地确定出第i步上的状态x(i)，则称系统在第i步是能观测的。如果系统在任何i步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测。定理4.3.1对于线性定常离散系统，状态完全能观测的充分必要条件是矩阵的秩为n。矩阵称为能观测性矩阵，记为ＵO。证：不失一般性，设初始时刻为零，且控制u为零。于是有即上述方程有解的充要条件为例4.3.3判断下列系统的能观测性系统的能观测性矩阵为秩为3，所以系统能观。4.3.2定常连续系统的能观性定义4.3.2对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。4.3.2定常连续系统的能观性定理4.3.2线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵的秩为n。能观性判据的第一种形式证不失一般性，设可知进一步设，于是有利用哈密顿定理知从而有上述方程有解的充要条件为例4.3.5判断下列系统的能观性。秩等于2，所以系统是能观测的。定理4.3.3若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系统状态能观测的充要条件是，经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式矩阵不包含元素全为零的列。能观性判据的第二种形式定理4.3.4设线性定常系统的状态矩阵有不同的重特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则系统状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式矩阵的所有各列，其元素不全为零。中，与每个约当块第一列相对应的例4.3.6判断下列系统的能观性。此系统能观.此系统不能观.4.4线性时变系统的能控性及能观性4.4.1线性时变连续系统的能控性判据定理4.4.1线性时变系统在定义时间区间[t0,t1]内，状态完全能控的充要条件是非奇异。式中为时变系统状态转移矩阵。Gram矩阵推论：假设矩阵A和B是n-1次连续可微的，在时间区间[t0,t1]上，若有则系统是状态完全能控的，其中分块矩阵例4.4.1秩为3，所以系统是完全能控的解:4.4.2线性时变系统能观性的判据定理4.4.2线性时变系统定义在时间区间[t0,t1]内，状态完全能观测的充分必要条件是为非奇异。Gram矩阵推论：如果矩阵A和C满足n-1次连续可微的条件，在时间区间[t0,t1]内，又有则系统是状态完全能观测的。其中分块矩阵例4.4.2其秩等于3，所以系统是状态完全能观的。4.5能控性与能观性的对偶关系对偶系统

对偶系统结构图系统状态完全能控的充要条件和系统状态完全能观的充要条件相同；系统状态完全能观的充要条件与系统完全能控的充要条件相同。（对偶原理）两个系统的传递函数矩阵的关系4.6线性定常系统的结构分解

把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。标准分解

采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控（能观）部分与不能控（不能观）部分。4.6.1系统能控性分解设系统的状态空间表达式为

假设系统的能控性矩阵的秩n1<n(n为状态向量维数)，即系统不完全能控。关于系统的能控性分解，有如下结论。定理4.6.1存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态变换，可使系统的状态空间表达式变换成其中在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到下式这部分构成n1维能控子系统。而后n-n1维子系统为不能控子系统。求法如下：在能控性矩阵[]中选择n1个线性无关的列向量；将所得列向量作为矩阵Tc的前n1个列，其余列可以在保证Tc为非奇异矩阵的条件下任意选择。关键变换矩阵Tc的构造例4.6.1对下列系统进行能控性分解。能控性矩阵的秩可知系统不完全能控

在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第1列和第2列。易知它们是线性无关的。

再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。变换矩阵状态变换后的系统状态空间表达式二维能控子系统

令系统能控性分解结构图定理4.6.2能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即因为4.6.2系统能观性分解设系统的状态空间表达式为

假设系统的能观性矩阵的秩n2<n(n为状态向量维数)，即系统不完全能控。关于系统的能观性分解，有如下结论。定理4.6.3存在非奇异矩阵To，对系统进行状态变换，可使系统的状态空间表达式变换成其中在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到下式这部分构成n2维能观子系统。为不能观子系统。

而后n-n2维子系统

对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆做起，即先求。方法如下:

从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。将所求行向量作为的前n2个行，其余的行可以在保证为非奇异矩阵的条件下任意选择。例4.6.2系统同例4.6.1，进行能观性分解。计算能观性矩阵的秩任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得状态变换后的系统状态空间表达式二维能观子系统

系统能观性分解结构图定理4.6.4能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同4.6.3系统按能控性与能观性进行标准分解定理4.6.5设系统状态空间表达式为经过线性状态变换,可以化为下列形式4.7能控性、能观性与传递函数矩阵的关系4.7.1单输入单输出系统单输入单输出系统的状态空间表达式系统的传递函数定理4.7.1

系统能控能观的充要条件是传递函数g(s)中没有零极点对消现象。证先证必要性，用反证法。设系统能控又能观，而在传递函数中，有零点、极点对消，即存在使得。我们知道，即得设，将代入(4.7.4)中，又由于，所以有

左边乘以，右乘以，得到

将以上诸式用下面形式表示由于系统能观，则必有，令式中则有将它带入，得到即又，上式表明必为奇异阵，这与假设系统能控是矛盾的，因此必定无零、极点对消。再证充分性，亦用反证法。假设中无零、极点对消，系统却不能控或不能观，因而必定可对系统进行能控性或能观性标准分解。如设系统不能观测，对系统作能观性分解。系统传递函数应满足下式：式中的维数低于无零、极点对消，故上式不可能成立。因此如系统的传递函数无零、极点对消，系统必定是能观测的。同理也可证明系统必能控。的维数。但由假设，系统

一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的。两个推论:

一个系统的能控性与能观性与所选择状态变量有关,选择不同的状态变量,会有不同的结果例:微分方程传递函数选择１系统的状态方程与输出方程能控性矩阵能观性矩阵系统能控、不能观。选择２.利用直接法，由传递函数可写出用系统的状态空间表达式能控性矩阵能观测性矩阵此系统为能控不能观系统4.7.2多输入多输出系统传递函数矩阵仅为充分条件定理4.7.2如果在传递矩阵G(s)

中，与C·adj(sI-A)B之间没有非常数公因式，则该系统是能控且能观测的例4.7.1判定其能控性和能观性考虑系统解：因为显然系统完全能控，完全能观。系统的传递函数矩阵为传递函数矩阵存在零极对消。4.8能控标准形和能观标准形能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的A和C表现为能观的标准形式适当选择状态空间的基底，对系统进行状态线性变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的A和B表现为能控的标准形式4.8.1系统的能控标准形定理4.8.1如果系统是能控的，那么必存在一非奇异变换使其变换成能控标准形线性变换矩阵

证将变换代入状态方程可得；若使结论成立，则应有下列等式成立(4.8.8)现在来求使式(4.8.8)和(4.8.9)成立的矩阵，令(4.8.9)(4.8.10)用P右乘(4.8.8)式，可得由此有把以上各式代入(4.8.10)，即得现在再来确定，因为由此得

确定后，再由式(4.8.9)即可确定变换矩阵P。证毕。例4.8.1线性定常系统4.8.2系统的能观标准形定理4.8.2如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形例4.8.24.9系统的实现由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实现，则必有在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为：4.9.1单输入单输出系统的实现

的能控标准形实现

的能观标准形实现

对于多输入多输出系统而言，讨论其实现问题要满足如下条件：输出向量为维传递函数矩阵为阵，它的每一个元素都是一个有理分式严格真分式传递函数矩阵，即实现形式为4.9.2多输入多输出系统的实现问题当阵的时，可采用能控性实现。式中，为各元素分母的首一最小公分母的各项系数为多项式矩阵的系数矩阵，而采用能观性实现，可使实现的维数较低。当阵的时，可采用能观性实现。对于给定的传递函数矩阵的最小实现，并不是唯一的，但它们的维数应该是相同的。定理4.9.1传递函数矩阵的最小实现和的充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。4.9.3传递函数据阵的最小实现证先证必要性采用反证法。设系统为G(s)的最小实现，其阶数为n，但反设该系统不能控。那么该系统必可进行结构分解，其能控且能观测子系统的传递函数矩阵与G(s)相同，因而该子系统也将是的一个实现。显然其维数确较原实现维数为低，那么不是最小实现，与原假设条件矛盾。所以系统必定完全能控且能观测。再证充分性。设的一个n维能控能观实现为，但这一实现不是最小，则必还存在一个n’维数为的能控能观的实现,且。由于两个实现具有相同的传递函数矩阵，则对任意的输入，必具有相同的输出，即由于对于任意的成立，则对上式依次求两边的n-1阶导数令，则有，，两个系统的能控性矩阵和能观性矩阵的乘积应有：但已知和的秩为n，则矩阵的秩应为n，根据上式的秩也等于n，但原来的或的秩最多是n’，而n’<n，显然是矛盾的，所以系统必为最小实现。

根据上述判断最小实现的准则，构造最小实现的途径为：

(1)求传递函数矩阵的任何一种能控形或能观形实现，再检查实现的能观性或能控性，若已是能控能观，则必是最小实现。

(2)否则的话，采用结构分解定理，对系统进行能观性或能控性的分解，找出既能控又能观的子空间，从而得到最小实现。多输入多输出系统的最小实现算法(1)将展开成找出，其中。(2)如果中各元素的最小公分母的次数为，构造矩阵如下：(3)如果矩阵的秩为，则构造矩阵 和矩阵，使得如下矩阵等式 成立式中和分别是和的单位矩阵，即它们的主对角线元素为1，其余为零。KTL是用行和列的基本运算（可由计算机辅助设计程序来求）顺序而得到的。于是：例4.9.1求它的最小实现的最小公分母是解：且系统的输入维数输出维数

最小公分母次数由多项式除法可得根据法则可求得：矩阵的秩取则根据算法有：此系统为最小实现第五章李亚普诺夫稳定性分析稳定性概念5.15.2李雅普诺夫稳定性理论李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.3李雅普诺夫方法在非线性系统中应用5.45.1几个稳定性概念定义5.1.1自治系统:

零输入作用的系统其中，x为n维状态向量，f(.,.)为n维向量函数。

定义5.1.2受扰运动：系统状态的零输入响应.

，且A非奇异，则原点是系统如果对于所有t总存在着则称为系统的平衡状态。如果唯一的平衡状态定义5.1.3平衡状态：孤立平衡点

定义5.1.5

稳定：系统(5.1.1)中，对,使得，若时,有则称为李雅普诺夫意义下稳定的。称为向量的欧氏范数。定义5.1.4

欧氏范数：定义5.1.6渐近稳定：使得如果是李雅普诺夫意义下稳定的，总存在并且对于和则称是渐近稳定的，时,有若则称是大范围(全局)渐近稳定的，图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。若的稳定性（渐近稳定）不依赖于，则称其为一致稳定（渐近稳定）。

定义5.1.7一致稳定(渐近稳定)：定义5.1.8不稳定:对于某个实数和，在超球域内始终存在状态，使得从该状态开始的受扰运动要突破超球域则称是正定的（正半定的）。1)存在，2);3)当时，则称是正定的（正半定的）。如果条件3)中不等式的符号反向，则称是负定的（负半定的）。

定义5.1.9正定函数：例5.1.11）2）3）正定的半正定的负定的 半负定的不定4）5）如果的顺序主子行列式都是负正相间的,则是负定的。塞尔维斯特（Sylvester）定理：为正定的充要条件是的所有顺序主子行列式都是正的。如果的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么为半正定的。

定义5.1.10

二次型：例5.1.2证明下列二次型函数是正定的。解：二次型可以写为因为所以5.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.1李雅普诺夫第一方法设为孤立平衡点。(1)平衡点平移：令则将在原点展开得其中定理5.2.1(2)近似线性化：如果则渐近稳定，如果存在则不稳定，如果存在则的稳定性，由高阶导数项来决定。例5.2.1

已知非线性系统常数，试分析其平衡状态的稳定性。解:求平衡状态：由知系统有平衡点计算下面仅对情况进行研究，其它情况类似由特征方程，得设则①当时，系统在不稳定。②时，系统在渐近稳定。时，其稳定性靠一次近似不能判断③如果5.2.2直接法定理5.2.2假设系统的状态方程为如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：

1）是正定的；

2）是负定的；则在原点处的平衡状态是那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果随着，有大范围渐近稳定的。定理5.2.3如果并且对于任意和不恒等于零，则系统在原点渐近稳定.

定理5.2.4:如果则原点不稳定例5.2.2

已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。解:

显然，原点是唯一平衡点，取则又因为当时，有所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。例5.2.3

已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。解系统有唯一平衡点取李雅普诺夫函数则这是因为除原点处外，在处能使可是当把代入状态方程时，有在时，系统仍在转移将破坏即不会恒等于零。又因为当时，有从而知系统在原点处是大范围渐近稳定的例5.2.3

已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。解系统有唯一平衡点取李雅普诺夫函数则于是可知系统是不稳定的。5.3李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.3.1稳定性分析定理4.3.1:系统在原点全局渐近稳定的充要条件为方程,有唯一正定对称解.证明：充分性：考虑系统其中令如果,则大范围渐近稳定。必要性：略。则

例5.3.1:

分析下列系统稳定性解：令则由得：解上述矩阵方程，有因为可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。定理5.3.2设,则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程存在唯一正定对称解如果沿任一解可取半正定的。的序列不恒等于零，则在原点的稳定性例5.3.2

试确定系统解:

在李雅普诺夫方程中，取,得由此可解出：从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的.5.3.2利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题(1)问题描述：设调节参数使极小。(2)必须渐进稳定，否则问无解。(3)由知存在使得令于是有由，知(4)注意到P是的函数，调节使最小.例5.3.3给定系统达到最小值。其中试确定的值，使性能指标解:

由，知解得于是有：将代入上式，知再令于是得5.4.1克拉索夫斯基方法5.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用定理5.4.1设系统的状态方程为可微。系统的雅克比矩阵为式中的，设对令其中为的共轭转置矩阵，如果那么渐近稳定。如果随着，有，那么大范围渐近稳定。

证:

显然

。因为所以当时，在时，大范围渐近稳定。。所以渐近稳定有第六章线性定常系统的综合状态反馈的定义及其性质6.16.2极点配置应用状态反馈实现解耦控制6.3状态观测器6.46.1状态反馈的定义及其性质给定系统在系统中引入反馈控制律则闭环系统的结构如图6.1.1所示。图6.1.1的状态空间表达式为：若，则状态反馈的一些性质：(1)时，为单纯的状态变量反馈若。，则，状态反馈就等价于输出反馈。(2)D=0时，可以求得闭环系统的传递函数阵①利用矩阵运算直接可推出（见书）②在图6.1.1中令并改用图6.1.2表示图6.1.2不难用图中a和b之间的部分，可以看成是由系统和输出反馈所组成从到b的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵的公式求出，于是，从到的传递函数矩阵即为

定理6.1.1对于任何实常量矩阵，系统完全能控的充要条件是系统完全能控。

证注意到系统和由可知

的列向量可以由的列向量的线性组合表示。的列向量可以由

的列向量的线性组合表示。

的能控性矩阵分别依此类推，不难看出的列向量可以由的列向量的线性组合表示。这意味着另一方面，系统也可看成是由系统经过状态反馈而获得的，因此，同理有所以系统的能控性等价于系统的能控性，于是定理得证。

完全能控能观，引入反馈例6.1.1系统引入状态反馈控制律虽然不影响系统的能控性，但可能影响系统的能观测性。则闭环系统的状态空间表达式为不难判断，系统仍然是能控的，但已不再能观测。6.2极点配置6.2.1极点配置定理定理6.2.1给定系统通过状态反馈任意配置极点的充完全能控。要条件

首先要解决在什么条件下才有可能通过状态反馈把系统闭环极点配置在任意希望的位置上。其次是这样的状态反馈矩阵是如何确定的。

证为叙述简单，这里只就单输入系统的情况证明本定理，对于多输入系统，定理仍然成立。充分性：因为给定系统能控，故通过等价变换必能将它变为能控标准形引入状态反馈则状态反馈后所组成的闭环系统的状态空间表达式为其中，显然有由矩阵(6.2.4)很容易写出系统的闭环特征方程同时，由指定的任意个期望闭环极点

可求得期望的闭环特征方程比较式(6.2.5)和(6.2.6)中同次幂的系数，可得由此即有

因为状态反馈控制律在等价变换前、后的表达式有如下关系所以在等价变换前、后的状态反馈增益阵和之间有

之间有至此说明，若按式(6.2.7)选取状态反馈增益阵就能将系统

在经过此状态反馈后的闭环极点，配置在所指定的任意n个极点的位置上。也就是说，若按式(6.2.8)和(6.2.7)选取反馈增益矩阵，就能任意配置系统的极点。

必要性：即已知系统可任意配置极点，欲证为完全能控的。采用反证法，反设为不完全能控的，此时则必可通过非奇异变换阵使系统结构分解而导出并且对任一状态反馈增益矩阵其中这表明状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，也就是说在此种情况下不可能任意配置全部极点。这同已知的前提相矛盾，故反设不能成立，于是系统是完全能控的。系统是完全能控的，通过状态反馈控制率能任意配置闭环特征值求状态反馈增益阵，闭环特征值为例6.2.1给定系统的状态空间表达式为：1)由得2)由得3)4)5)6)算法2：直接配置

其中,1)将带入系统状态方程，并求得相应闭环系统的特征多项式是反馈矩阵k的函数，2)计算理想特征多项式3)列方程组并求解。其解,即为所求.6.2.3讨论(1)状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。(2)对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。(3)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：的特征值不能任意配置。其中

(4)系统综合往往需要将不稳定的极点，移到

s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。只有的全部特征值都具有负实部时，系统才能稳定。6.3应用状态反馈实现解耦控制6.3.1问题的提出考虑MIMO系统于是有

三个基本假定：

每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困难的。如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现。这样的控制称为解耦控制，或者简称为解耦。解耦实质上就是实现每一个输入只能控制相应的一个输出，也就是一对一控制。通过解耦可将系统分解为多个独立的单输入单输出系统。一个多变量系统实现解耦以后，可被看作为一组相互独立的单变量系统，从而可实现自治控制。要完全解决上述解耦控制问题，必须考虑两方面的问题：一是确定系统能够被解耦的充要条件，也称为能解耦性的判别问题。二是确定解耦控制率和解耦系统的结构，即解耦控制的具体综合问题，这两个问题随着解耦方法的不同而有所不同。6.3.2串联补偿解耦所谓串联补偿器解耦，就是在原反馈系统的前向通道中串联一个补偿器Gc(s),使闭环传递矩阵Gf(s)为要求的对角形矩阵G(s)6.4状态观测器问题的实质就是构造一个新的系统(或者说装置)，利用原系统中可直接测量的输入量u和输出量y作为它的输入信号，并使其输出信号满足6.4.1状态观测器的存在条件定理6.4.1线性系统状态观测器存在的充要条件为系统状态完全能观证:因为即：所以，只有当只有当系统是状态完全能观测时，状态向量。x才能由u、y以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。时，上式中的x才有唯一解。即6.4.2全维状态观测器

(1)开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置图6.4.1从所构造的这一装置可以直接测量。这种开环状态估计器存在如下缺点：①每次使用必须重新确定原系统的初始状态并对估计器实施设置；②在有正实部特征值时，最终总要趋向无穷大。(2)闭环全维状态观测器。状态观测器的动态方程可写为：因为其解为值配置问题等价与对偶系统中极点配置问题。若，则有由于，观测器中的特征定理6.4.2若n维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器其估误差满足在负实部共轭特征值成对出现的条件下，可选择E来任意配置的特征值。求全维状态观测器，使闭环特征值为例6.4.1给定系统的状态空间表达式为：解:系统完全能观测的，可构造任意配置特征值全维状态观测器。1)由得2)观测器的期望特征多项式为得：3)4)5)6)得全维状态观测器其模拟结构如图为图6.4.2此例题可同样利用直接法求出状态观测器令代入矩阵并求其特征方程注意观测器的期望特征多项式为比较系数得方程组求解方程组得得全维状态观测器6.5带状态观测器的反馈系统工程实际中的状态反馈控制律为于是产生两个问题：

1）用代替对闭环系统有无影响，特征值是否不变。

2）状态观测器本身特性是否会受到影响。设原系统为反馈后系统为状态观测器为改写成矩阵形式系统的特性：1）引入观测器提高了反馈系统的维数（阶次）2）的特征值具有分离性

的特征值集合等于和的特征值集合的并证：引入变换则新的状态空间表达式为式中显然3）观测器不影响极点配置后系统的特征值；状态反馈也不影响观测器的特征值。4）观测器的引入不改变原状态反馈系统的闭环传递函数。5）带观测器的状态系统的鲁棒性一般比用真实状态反馈的系统要差。例6.3.2

设系统的传递函数为希望用状态反馈使闭环极点为，并求出实现这个反馈的二维状态观测器，观测器极点为－10。1）为了方便观测器设计，首先求出传递函数的能观标准型实现。解2）求出理想闭环系统特征多项式3）用直接法求出反馈后系统的特征方程比较系数求得。4）求出观测器的理想闭环系统特征多项式5）用直接法求出反馈后观测器的特征方程比较系数求得。复习课2.1几个重要概念

状态变量

系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。状态方程

把系统的状态变量与输入之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型称之为状态方程。输出方程表征系统状态变量与输入变量和输出变量之间关系的数学表达式称为输出方程。它们具有代数方程的形式。状态空间表达式状态方程和输出方程总合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述(数学模型)。2.3状态空间表达式的建立2.3.1由物理系统的机理直接建立状态空间表达式根据系统内部的运动规律，直接推导其输入输出关系的建模方法称为机理分析法。例1:其弹性系数设为

k。设物体的质量为m，推力为u。试建立此模型的状态方程和输出方程。解：由牛顿第二定律得

即

令，，得

写成

2.3状态空间表达式的建立2.3.1由物理系统的机理直接建立状态空间表达式根据系统内部的运动规律，直接推导其输入输出关系的建模方法称为机理分析法。2.1有电路如图P2.1所示，设输入为u1，输出为u2,试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。解设两端电压为，两端的电压为，则选择状态变量为状态空间表达式为：即:2.3.3由传递函数建立状态空间表达式设控制系统的传递函数为能控标准型：能观标准型：注意传函分母首次系数为1；若分子、分母阶次相等需作除法。已知系统的微分方程解：对微分方程（1）在零初始条件下取拉氏变换得：可直接求得系统状态空间表达式为对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：可直接求得系统状态空间表达式为2.4系统串并联串联并联反馈2.5线性变换2.5.1把状态方程变换为对角标准形有n个线性无关的特征向量，可变换为对角标准形化对角标准型步骤1）求特征值、特征向量。2）构造变换阵和3）令则，2.5.1把状态方程变换为若当标准形化若当标准型步骤1）求特征值、特征向量和广义特征向量。2）构造变换阵和3）令则，其中J为若当块注意：状态变换不改变系统传函第3章状态方程的解3.1线性定常系统齐次状态方程的解3.2矩阵指数求法1）依定义2）线性变换3）拉氏变换4）有限项法3.3线性定常系统非齐次状态方程的解3.4状态转移矩阵性质类似矩阵指数或e指数对于线性定常系统转移矩阵就是矩阵指数3.5线性时变系统状态方程的解3.5.1线性时变系统齐次状态方程的解1）满足可交换条件2）不满足可交换条件得不出解析形式。3.5.3线性时变系统非齐次状态方程的解P3.3矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有时，时，试确定这个系统的状态转移矩阵和矩阵解：因为系统的零输入响应是所以将它们综合起来，得而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程和初始条件因此代入初始时间，可得矩阵已知系统状态空间表达式为求系统的单位阶跃响应（1）解

时，时，构造变换阵将代入公式，得若取则有第4章线性系统的能控性和能观性4.1能控性定义及判据1）定常系统判据2）时变系统判据3）输出能控性判据4.1能观性定义及判据1）定常系统判据2）时变系统判据4.5对偶系统1）怎样写出对偶系统2）系统完全能控等价于对偶系统完全能观3）对偶系统的传递函数互为转置4.6线性定常系统结构分解1）能控性分解取变换前列为能控性矩阵中个线性无关列后列为保证非奇异的任意列向量。设能控性矩阵秩为构造变换阵2）能观性分解取变换前行为能观性矩阵中个线性无关行后行为保证非奇异的任意行向量。设能观性矩阵秩为构造变换阵4.7能控性、能观性与传递函数的关系1）