七年级数学上册第1课时 方程

5.1.1从算式到方程第1课时方程教学目标课题5.1.1第1课时方程授课人素养目标1.能根据现实情境理解方程的意义.2.能针对具体问题列出方程，初步感受模型观念.教学重点能根据现实情境理解方程的意义.教学难点根据实际问题列出方程.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知设计意图先用算术方法解决实际问题，方便与后面要学习的方程进行对比【情景引入】(教材P110引言节选）甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？（3-1）÷（1.2-0.8）=5（h）.本章我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题.今天我们先来认识一下什么是方程.【教学建议】师生一起讨论得出正确答案，感受算术法解题的过程.活动二：交流讨论，探究新知设计意图用字母表示未知数，根据相等关系列方程，体验方程与算式的不同.探究点方程问题1在上面引入的问题中，甲、乙两队的行进速度是已知的，行进的时间和路程都是未知的.(1)如果设两队行进的时间为xh，根据“路程=速度×时间”，甲队和乙队的行进路程分别可以怎样表示？甲队的行进路程为1.2xkm,乙队的行进路程为0.8xkm.(2)甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？试写出相等关系.甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程.(3)你能用式子表示（2）中的相等关系吗？1.2x+1=0.8x+3.(4)这是一个什么样的式子？是一个含有未知数x的等式.问题2（教材P111问题1）用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？（1）如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x-5）元.（2）类比问题1的做法，填写下表：相等关系买3个大水杯的钱=买4个小水杯的钱用含有未知数x的等式表示3x=4(x-5)【教学建议】引导学生注意：①算式中只含已知数（包括已在前面求出的数）而不含未知数.②列方程也是依据问题中的数量关系（特别是相等关系），但它打破了列式时只能用已知数的限制，方程中可以含有相关的已知数和未知数，这是一种进步.正因如此，一般地说列方程比列算式有更多的优越性.③教学时，对于问题1～3中求出x的值或者如何根据x的值求其他未知量的值，教师可简单解释下，不作展开.教学步骤师生活动设计意图分析具体问题中的相等关系，并列出方程，养成模型观念.问题3（教材P112问题2）如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000mm2.长和宽的比为8∶5即宽是长的58.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？如果设这枚纪念币的长为xmm，试着填写下表：概念引入像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.【对应训练】下列各式中，是方程的是（B）A.5+7=12B.5x+2=17C.7x<14D.y+8【教学建议】正式给出方程的概念时，所说的“等式”指其中只含有一个等号的式子，等号两边分别叫作等式的左边和右边.活动三：知识升华，巩固提升设计意图通过更多的实际问题，加强学生列方程的能力例（教材P113例1）根据下列问题，设未知数并列出方程.(1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？(2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长.解：(1)设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.根据“女生比男生多80人”，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.(2)设正方形绿地的边长为xm，那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2.根据“扩大后的绿地面积是500m2”，列得方程x2+5x=500.你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗？由此体会如何根据相等关系列方程.归纳【对应训练】教材P113练习.【教学建议】（1）列方程的基础是正确表示相等关系.对于由浅入深地培养学生列方程的能力应予以关注，可以再多安排一些类似的练习.（2）把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来，就是建立一种数学模型，这种建模思想在本章中占主导地位.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是方程？2.怎样根据实际问题列方程？【知识结构】【作业布置】1.教材P118习题5.1第1,2,5,6,7,8,9,10题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计5.1方程5.1.1从算式到方程第1课时方程1.方程的概念2.列方程．教学反思本节课用实际问题引入课题，先尝试用算术的方法解题，然后引导学生用方程的思想解决问题，在各环节的安排上都设计了一些问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论.通过本节课的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步，并体会数学与日常生活的密切关系，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，从而激发学生学习数学的热情.解题大招根据实际问题列方程分析数量关系，设未知数，正确列式表示相关量，再根据相等关系列方程即可.例根据下面的问题，设未知数并列出方程：在“垃圾分类”活动中，实践组有23人，宣传组有16人.应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的两倍？分析:根据关键语句“实践组的人数是宣传组的两倍”列出方程即可.解：设从宣传组调x人到实践组，则实践组的人数变为23+x,宣传组的人数变为16-x.根据“实践组的人数是宣传组的两倍”，列得方程23+x=2(16-x）.培优点根据稍复杂的实际问题列方程例根据下面的问题，设未知数并列出方程：某快递分派站现有一批包裹需若干名快递员派送，若每个快递员派送20件，则还剩12件；若每个快递员派送24件，则还差12件.这批包裹共有多少件？分析：题中包裹的件数和快递员人数是固定的，在两种派送方式下，参与派送的快递员人数相等，据此可列出方程.解：设这批包裹共有x件.“若每个快递员派送20件，则还剩12件”，由此可知快递员人数为x−12“若每个快递员派送24件，则还差12件”，由此可知快递员人数为x+12因为快递员人数不变，所以根据“两种派送方式得出的快递员人数相等”，列得方程x−1220综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.-37的相反数是(A.-73 B.37 C.73 D2.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m.将数字21500000用科学记数法表示为()A.2.15×107 B.0.215×108 C.2.15×106 D.21.5×1063.下面是从小明同学作业本摘抄的内容,请你找出其中正确的是()A.方程2x+13−10x+16=1,去分母,得2(2B.方程2x-8x=-12,6x=-12,x=-2C.方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1),去括号,得2x+3-5-5x=3x-3D.方程9x=-4,系数化为1,得x=-44.某个月的月历表如图所示,若从中取一个2×2方块,已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44,求这4个方格中的日期.若设左上角的日期为x,则下列方程正确的是()A.x+(x+1)+(x+7)+(x+14)=44 B.x+(x+1)+(x+6)+(x+12)=44C.x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44 D.x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=445.若A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,则2A-B=()A.3 B.6 C.4x2y+6 D.4x2y+36.已知∠α+∠β=90°,若∠α=35°40',则∠β的度数为()A.54°20' B.54°60' C.55°20' D.55°40'7.如图,点B在线段AC上,D是AC的中点.若AB=a,BC=b,则BD=()A.12b-12a B.12a-12b C.b-12a 8.观察下列按一定规律排列的单项式:-a,0,a2,0,-a3,0,a4,0,…,则第2025个单项式为()A.-a2025 B.0 C.-a1013 D.a10139.如图,线段AB=24cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB运动,M为线段AP的中点,N为线段BP的中点.以下说法正确的是()①运动4s后,PB=2AM;②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变;③2BM-BP的值不变.A.①② B.③ C.①②③ D.②③10.已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是()A.20°或50° B.20°或60° C.30°或50° D.30°或60°二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:(-2)÷(-5)×15=.12.当m的值为时,5x3-2x-1与4mx+3的和不含x的一次项.

13.在手工制作课上,老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级一班共有学生50人,每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个.要求一个筒身配两个筒底,那么安排人剪筒身,才能使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套.

14.已知A,B,C三点在同一条直线上,若D,E分别为线段AB,BC的中点,且AB=80,BC=60,则线段DE的长为.

15.2024年元旦,小颖在一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品,如图所示.已知宣纸的长为108cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻两个字的字距相等,且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2,则这张长方形宣纸的面积为cm2.

16.如图,已知O是直线AE上一点,OC是一条射线,OB平分∠AOC,OD在∠COE内,∠COD=2∠DOE.若∠BOD=110°,则∠DOE的度数为.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4);(2)[12-(14−16(3)-1.53×0.75+0.53×34-3.4×0.7518.解下列方程:(1)4x+3=2(x-1)+1;(2)x-19.先化简,再求值:9x2-4(2x2-3xy+y2)+4y2,其中x=1,y=-1320.如图,M是线段AB的中点,N是线段BD的中点,AB=8cm,BN=3NC,CD=6cm,求线段MN的长.21.如图,A,B,C,D四点在同一条直线上,根据图形填空:(1)图中共有条线段;

(2)AD=++;

(3)AC+BD-=AD;

(4)若C是线段BD的中点,AD=12cm,AB=2BC,求线段AC的长.22.某班组织交通安全知识竞赛,共设有20道选择题,各题分值相同,每题必答.下表记录了其中5位参赛者的得分情况,根据表中信息回答下列问题:参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040(1)这次竞赛中答对一题得分,答错一题得分;

(2)若参赛者F共答对了m题,则他的得分是分;(用含m的式子表示)

(3)若参赛者G比参赛者H多答对2题,两人总得分为128分,求参赛者H答对了几道题?23.某服装批发商促销一种裤子和文化衫,在促销活动期间,裤子每条定价100元,文化衫每件定价50元,并向客户提供两种优惠方案.方案一:买一条裤子送一件文化衫;方案二:裤子和文化衫都按定价的80%付款.现某客户要购买30条裤子,x件(x>30)文化衫:(1)按方案一,购买裤子和文化衫共需付款(50x+1500)元;按方案二,购买裤子和文化衫共需付款元.(用含x的式子表示)

(2)计算一下,购买多少件文化衫时,两种优惠方案付款一样?(3)若两种优惠方案可同时使用,当x=40时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?若能,请直接写出该购买方案下共需付款的数目.24.现有一副三角尺AOB和COD按如图所示的方式放置,它们的直角顶点O重合,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(1)若∠BOC=30°,求∠BOE的度数;(2)若∠BOC=α°,求∠BOF的度数(用含α的式子表示);(3)在(2)的条件下,求∠EOF的度数,并说明∠EOF的度数是否随α的变化而变化.综合训练1.B2.A3.D4.C5.C解析:因为A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,所以2A-B=2(x2y+2x+3)-(-2x2y+4x)=2x2y+4x+6+2x2y-4x=(2x2y+2x2y)+(4x-4x)+6=4x2y+6,故选C.6.A解析:因为∠α+∠β=90°,且∠α=35°40',所以∠β=90°-∠α=54°20'.7.A解析:因为AB=a,BC=b,所以AC=AB+BC=a+b.因为D是AC的中点,所以CD=12AC=12a+1因为BC=b,所以BD=BC-CD=b-12a+18.D解析:根据题意,知偶数位置对应的单项式均为0.奇数位置对应的单项式中,第1项,系数为-1,指数为1+12=1;第3项,系数为1,指数为1+32=2;第5项,系数为-1,指数为1+52=3;第7项,系数为1,指数为1+72=4;则第2025个单项式的系数为1,指数为1+20252=1故选D.9.D解析:运动4s后,AP=2×4=8(cm),PB=AB-AP=16(cm).因为M为线段AP的中点,所以AM=12AP=4所以4AM=PB,故①错误;设运动ts,则AP=2tcm,PB=24-2t(其中t大于或等于0,且t<12)cm,因为M为线段AP的中点,N为BP的中点,所以AM=PM=12AP=tcm,PN=BN=12PB=12-t所以PM+MN=PM+PM+PN=12+t(cm).所以PM+MN的值随着运动时间的改变而改变,故②正确;因为BM=AB-AM=24-t(cm),PB=24-2t(t大于或等于0,且t<12)(cm),所以2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24(cm),所以2BM-BP的值不变,故③正确.故选D.10.C解析:分为两种情况:如图1,当∠AOB在∠AOC内部时,图1因为∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,所以∠AOC=80°.因为OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°,∠AOM=∠COM=12∠AOC=所以∠MOD=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°.如图2,当∠AOB在∠AOC外部时,图2因为∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,所以∠AOC=80°.因为OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°,∠AOM=∠COM=12∠AOC=所以∠MOD=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°.综上所述,∠MOD的度数为30°或50°.11.225解析:原式=2×112.12解析:5x3-2x-1+4mx+3=5x3+(4m-2)x+2,由和不含x的一次项,知4m-2=0,解得m=113.30解析:设x人剪筒身,则(50-x)人剪筒底,根据每小时剪出的筒身与筒底恰好配套,列得方程2×40x=120(50-x),解得x=30.安排30人剪筒身,才能使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套.14.70或10解析:因为D是线段AB的中点,AB=80,所以AD=BD=12AB=40因为E是线段BC的中点,BC=60,所以BE=CE=12BC=30分两种情况讨论:如图1,当点C在线段AB的延长线上时,DE=BD+BE=70.图1如图2,当点C在线段AB上时,DE=BD-BE=10.图2故答案为70或10.15.3888解析:因为边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2,所以设边空宽为3xcm,则字宽、字距分别为6xcm,2xcm.因为宣纸的长为108cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻两个字的字距相等,所以3x×2+6x×4+2x×3=108,解得x=3,所以宣纸的宽为3x×2+6x=12x=36(cm).所以这张长方形宣纸的面积为108×36=3888(cm2).16.40°解析:因为OB平分∠AOC,所以∠COB=12∠AOC因为∠COD=2∠DOE,所以∠COE=3∠DOE.因为∠AOC+∠COE=180°,所以∠AOC=180°-∠COE=180°-3∠DOE.所以∠COB=12(180°-3∠DOE)=90°-32∠因为∠BOD=110°,即∠COB+∠COD=110°,所以90°-32∠DOE+2∠DOE=110°所以∠DOE=40°.故答案为40°.17.解:(1)(+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4)=4.3+4-2.3-4=2.(2)12-14=12-14=12×(-12)-14×(-12)+16×=-6+3-2=-5.(3)-1.53×0.75+0.53×34-3.4×0.=34×(-1.53+0.53-3.=34×(-4.=-3.3.18.解:(1)去括号,得4x+3=2x-2+1.移项,得4x-2x=-2+1-3.合并同类项,得2x=-4.系数化为1,得x=-2.(2)去分母,得2(x-1)-(x+2)=3(4-x).去括号,得2x-2-x-2=12-3x.移项,得2x-x+3x=12+2+2.合并同类项,得4x=16.系数化为1,得x=4.19.解:9x2-4(2x2-3xy+y2)+4y2=9x2-8x2+12xy-4y2+4y2=x2+12xy,当x=1,y=-13时,原式=12+12×1×-1320.解:因为M是线段AB的中点,AB=8cm,所以MB=12AB=4cm因为N是线段BD的中点,所以BN=ND.因为BN=3NC,所以3NC=ND=NC+CD.所以CD=2NC.因为CD=6cm,所以NC=3cm.所以BN=9cm.所以MN=BM+BN=4+9=13(cm).21.解:(1)6(2)ABBCCD(3)BC(4)因为C是线段BD的中点,且AB=2BC,所以BD=2BC=2CD=AB.设BC