2026年湖南长沙市雅礼教育集团2026年 九年级 一模数学试题

2026年湖南长沙市雅礼教育集团2026年九年级一模数学试题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（2026·长沙模拟）2026年是农历丙午马年，2026的倒数是()A．-2026 B．−12026 C．12．据文化和旅游部数据中心测算，2026年清明节假期3天，全国国内出游约1.35亿人次，同比增长6.8%．数据135000000A．1.35×106 B．13.5×107 C．3．（2024七上·榕城期中）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（）A． B．C． D．4．下列计算正确的是（）．A．a+3a=4a2 B．2a⋅3a=5a2 C．5．（2026·长沙一模）一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是()A．4 B．3 C．2 D．16．某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（）A．90 B．92.5 C．95 D．1007．如图，点A的坐标为3,2，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'BA．2,3 B．−2,3 C．2,−3 D．3,−28．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过x天相遇，可列方程为（）A．17x−19x=1 B．179．如图，四边形AOBC的顶点A,B,C在⊙O上，点E在BC的延长线上．若∠ACE=68°，则∠AOB的度数为（）A．112° B．126° C．136° D．158°10．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表：时间t（s）5101520253035温度计上的度数（°C）49312216141212下列说法中不正确的是（）A．当t=25s时，温度计上的度数是14°CB．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是时间t的函数C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变D．当温度计的度数为25°C时，经过的时间可能是18s二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（2021九上·瑞安开学考）若分式x−2x+2的值为0，则x的值为12．如图，DE∥BC，AD:DB=2:3，EC=6，则AE的长是．13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为200cm2的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为cm14．反比例函数y=6x的图象上三个点的坐标分别是−2,y1，3,y2，6,y3，则y115．（2026八下·珠海期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=．16．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有A，B，C三个路口，相邻路口间距为AB=400m，BC=300m．假设A，B，C各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，A路口绿灯亮起后20s，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后40s，C路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从A路口出发时A路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过A，B，C三个路口的“绿波速度”v的最大值是ms三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：|−318．先化简，再求值：2x+52x−5−xx−119．人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法：已知：直线AB及直线外一点C．求作：过点C作直线AB的平行线CD．作法：①过点C作一条直线EF，与直线AB相交于点E；②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交EF，AB于点M，N；③以点C为圆心，EM长为半径画弧，交CF于点M'④以点M'为圆心，MN长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点N⑤连接CN'，并两端延长为直线CD，则直线请你根据提供的材料完成下面的问题．（1）这种过直线外一点作平行线的方法的依据是（）（填选项）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS（2）请你证明CD∥AB．20．为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼．收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的25%（1）本次调查一共抽取__________名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为__________；（2）补全条形统计图；（3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率．21．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接CF．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠ABC=50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数．22．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元．（1）求A，B两种型号机车的单价；（2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=3424．如图，在⊙O中，AB为直径，点C在AB上方的半圆上，且点C不与点A，B重合．过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D．过点C作CE⊥AD，垂足为点E．连接AC，OE交于点G．（1）求证：△DAC∽△ABC；（2）记△ACE与△ABC的面积分别为S1，S2，若S1（3）若⊙O的半径为1，设AC+BC=x，y=1AE+CDAC25．在平面直角坐标系中，若抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的顶点为M，点N为该抛物线上不与点M重合的一点，连接MN．我们不妨约定：直线MN（1）若点A32,y为抛物线y=2（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且abc≠0）的顶点为M，与y轴交于点C，点C的“轴偏角”为45°，且直线CM与两坐标轴围成的平面图形的面积为12−4（3）已知抛物线y1=a1x2+b1x+c1（a1，b1，c1为常数且a1≠0）与抛物线y2=a2x2+b2x+c2（a

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．【答案】413．【答案】12014．【答案】y15．【答案】2416．【答案】17.517．【答案】解：原式==3．18．【答案】解：2x+52x−5当x=−3时，原式=3×−319．【答案】（1）A（2）证明：在△EMN和△CMEM=CM∴△EMN≌△CM∴∠MEN=∠M∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．20．【答案】（1）100；18°（2）解：如图，补全条形统计图：（3）解：画树状图如下：

∴一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，

∴两人恰好都选中同一景点的概率416=1421．【答案】（1）证明：∵E为AC的中点，

∴AE=CE，

在△AED和△CEF中，AE=CE∴△AED≌△CEF(SAS)，∴∠A=∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵CF∥AB，

∴∠A=∠ACF,∠ABC+∠BCF=180°，

∵∠ABC=50°，

∴∠BCF=130°，

∵CA平分∠BCF，

∴∠ACB=∠ACF=65°，

∴∠A=∠ACF=65°．22．【答案】（1）解：设A型机车单价为x万元/辆，B型机车单价为y万元/辆，

根据题意得x+2y=72x+y=8，

解得x=3答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆；（2）解：设购进A型机车a辆，则购进B型机车(50−a)辆，总利润为W万元，

则W=4.2−3a+2.8−2(50−a)=0.4a+40，

∵购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍，

∴a≤2(50−a)，

∴a≤1003，

又∵a为非负整数，

∴a的最大值为33，

∵0.4>0，

∴W随a的增大而增大，

∴当a=33时，W取得最大值，

此时50−a=1723．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，

∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

∴∠AEB=90°，∠AFD=90°

∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°

∴∠BAE=∠DAF；

（2）解：∵tan∠BAE=BEAE=34，AE=4，

∴BE=3，

∴在△ABE中，AB=AE2+BE2=5，

∴CD=AB=5

∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，

∴△ABE∽△ADF

∴BEAE24．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵AD是⊙O的切线，

∴AD⊥AB，即∠DAB=90°，

∴∠DAC+∠CAB=90°，

∴∠DAC=∠ABC，

又∵∠ACD=∠ACB=90°，

∴△DAC∽△ABC；（2）解：∵CE⊥AD，

∴∠AEC=∠ACB=90°，

∵∠EAC=∠ABC，

∴△ACE∽△BAC，

∴S1S2=ACAB2=925​，

∴ACAB=35，

设AC=3k，AB=5k，

∴BC=AB2−AC2=4k，

∵CE⊥AD，AD⊥AB，

∴CE∥AO，

∴△CGE∽△AGO，

∴CG（3）解：∵⊙O半径为1，

∴AO=1，AB=2，

∵∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2=4，

∵AC+BC=x，

∴x2=AC2+2AC⋅BC+BC2=4+2AC⋅BC，

∴AC⋅BC=x2−42，

∵△AEC∽△BCA，

∴AEBC=ACAB​，

∴AE=AC⋅BC2​，

∴1AE=2AC⋅BC​，

∵△DAC∽△ABC，

∴CDAC=ACBC​，ADAB=ACBC，

∴DA=AB⋅ACBC=2ACBC，

∴2DA=BCAC，

∵△CGE∽△AGO，

∴GOEG=OACE=1CE，

∴GO⋅CE=EG⋅OA，

∴25．【答案】（1）解：将x=32代入解析式y=2x2得：y=32，

∴A（32，32），

∵函数顶点坐标为O0,0，对称轴为y轴，

设线段OA与y轴的夹角为α，

∴tanα=3232=（2）解：∵抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∴抛物线的顶点M−b