云南新纪元云贵发展中心2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南新纪元云贵发展中心2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数在处存在导数为2，则（）A.2 B.1 C. D.6【答案】B【解析】由已知有，则.故选：B.2.曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则曲线在点处的切线斜率为.故选：B.3.一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：）关于时间t（单位：s）的函数关系为（），则在时刻，赛车的加速度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，则5秒时刻加速度为.故选：B.4.已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】图象可知，.故函数在处，切线的斜率为0，只有选项D满足条件.故选：D.5.已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由，因为是函数的极小值点，所以，即则当或时，，所以在上递增，则当时，，所以在上递减，即在时有极大值,故选：D.6.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(

)A.R B.2R C. D.【答案】C【解析】设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,所以V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,令V′=0,得h=R.当0<h<R时,V′>0;当<h<2R时,V′<0.因此当h=R时,圆锥体积最大.7.若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，则.令，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数过原点，最小值为；当时，，若，二次函数开口向下，值域无下界，不符合题意；若，则函数为单调递减的一次函数，不符合题意；若，函数图像为开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取到，则,解得,综上：函数的值域为，则实数a的取值范围是,故选：C.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，因为，所以，所以.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数在处存在导数，则的值（）A.与有关 B.与h有关 C.与无关 D.与h无关【答案】AD【解析】由导数的定义可知，，函数在处的导数与有关，与h无关，故选：AD．10.下列函数求导正确的是（）A.已知，则B.已知，则C.已知，则D.已知，则【答案】ABD【解析】对于A，已知，则，故正确；对于B，已知，则，故正确；对于C，已知，则，故错误；对于D，已知，则，故正确．故选：ABD.11.函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为，，由图可知，，，，则，故C错误；，，两式相减得，即，，则，所以，则，所以，故AB正确；则，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________．【答案】2π【解析】由，可得，当时，，即当时，气球体积的瞬时变化率为．故答案为：.13.直线与函数和的图象都相切，则______．【答案】【解析】设直线与函数图象的切点为，又，所以，直线的方程可表示为，即，故，设直线与函数图象的切点为，又，所以，直线的方程可表示为，即，故，所以，由可得，所以，解得，故，则，故.故答案为：.14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元．【答案】##1.5【解析】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，则，可得，当时，可得，函数单调递增；当时，可得，函数单调递减；所以当时，函数取得最大值，最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.15.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数．（1）求的值；（2）求不等式的解集．解：（1）因为函数，则，又因为图象在点处的切线与直线平行，所以，解得；（2）由（1）知，且恒成立，所以在上单调递增，则不等式等价于，解得.16.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.解：（1）因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以.（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.（3）由，得.，则，所以在处的瞬时变化率为-30.17.设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且.（1）求的值以及直线的方程.（2）当时，求函数的极值.解：（1）因为，则，故在处的切线方程，将直线的方程代入椭圆方程中，得，设，则，且，因为，所以，解得或，所以直线的方程为或.（2）函数的定义域为，由得，可得，令得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值．18.已知函数．（1）设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．（1）证明：由可得，故函数在是严格增函数，设，，，则，即，即直线的斜率大于0．（2）解：由题意得，设，，①当时，恒成立，符合题意；②当时，，（ⅰ）若，，所以在上是严格减函数，，满足题意；（ⅱ）若，注意到在时，，于是，故，不满足题意舍去；综上，实数的取值范围是．19.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若，证明：有2个零点；（3）若，求的取值范围.（1）解：当时，，定义域为，当时，单调递增，当时，单调递减．所以当时，有极大值，且极大值为，没有极小值.（2）证明：方法一：的定义域为，因为，所以当时，单调递增，当时，单调递减．当时，取到极大值，也是最大值.因为，所以，因为，所以在区间上有且只有1个零点，所以在区间上有且只有1个零点．因为，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，即，所以.所以在区间上有且只有1个零点，所以在区间上有且只有1个零点.综上所述，当时，有2个零点.方法二：的定义域为，由，得．令，则，当时，单调递增，当时，单调递减.所以当时，取到极大值，也是最大值.又，当时，，且，所以当时，直线与的图象有2个交点，即