2.7 抛物线及其方程 小结 教案（表格式）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册

课程基本信息课题2.7抛物线及其方程小结教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版出版社：人民教育出版社出版日期：2020年8月教学目标教学目标：梳理抛物线的定义、标准方程及其几何性质的知识教学重点：抛物线相关知识与方法的巩固应用教学难点：解决抛物线的复杂相关问题教学过程时间教学环节主要师生活动5分知识梳理一、抛物线的定义：一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线.二、抛物线的标准方程：y2=2px①；y2x2=2py③；x2②③④这四种形式之一.三、抛物线的几何性质：一般地，如果抛物线C的标准方程是y2则可以根据方程①来得到抛物线的一些几何性质.（1）范围由方程①可知，2px≥0，又因为p>0，所以x≥0.因此，除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的右侧.另外，当x无限增大时，y也无限增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示.此时，称抛物线C的开口向右（或朝右）.（2）对称性如果(x，y)是方程①的一组解，则不难看出，(x，−y)也是方程的解，这说明抛物线C关于x轴对称，如图所示.（3）顶点在方程y2=2px中，令y=0，得x=0；令x=0，得y=0.可知抛物线C与x轴、y轴都相交于原点(0，0).（4）离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用e表示.根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率e=1如果抛物线的标准方程是y2=−2px

(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)可以看出，②③④所表示抛物线，顶点坐标、离心率与①所表示的抛物线是相同的，但是：②y2=−2px

(p>0)所表示的抛物线中，x≤0，除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的左侧，抛物线的开口向左（或朝左），抛物线关于③x2=2pyp>0所表示的抛物线中，y≥0，除顶点外，抛物线上的其余点都在x轴的上方，抛物线的开口向上（或朝上），抛物线关于④x2=−2py(p>0)所表示的抛物线中，y≤0，除顶点外，抛物线上的其余点都在x轴的下方，抛物线的开口向下（或朝下），抛物线关于15分知识与方法的巩固应用分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：（1）抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上；x2=8y解（1）由已知可得焦点坐标为(0，2)，因此抛物线的标准方程具有x2x（2）抛物线的焦点是双曲线y2解（2）因为双曲线y29−x216=1中，c=如果抛物线的焦点坐标为(0，−5)，则抛物线的标准方程具有x2=−2py

的形式，且p=

10，此时抛如果抛物线的焦点坐标为(0，5)，则抛物线的标准方程具有x2=2py

的形式，且p=10

例2已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为(4，0)，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且OA⊥OP，求解由条件可知，直线l的方程为x=4，因此点A的横坐标为4.设P的坐标为x，y，则点A的坐标为4OA=4，y，OP=(x，y).因为

OA⊥例3设抛物线y2=2px

(p>0)上一点M的横坐标为x0，证明M证明如图，由抛物线的定义可知，MF=MN，得到MN即MF等于点M的横坐标x0与p所以M到抛物线焦点的距离为x0+p2总结图（1），可知M到抛物线焦点的距离为−x0图（2），可知M到抛物线焦点的距离为y0图（3），可知M到抛物线焦点的距离为−y0此结论可以直接应用.例4过抛物线y2=2px

(p>0)的焦点为F的直线与抛物线相交于A，B两点，从A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，证明依题意F(p2，0)，分析：要证∠A1FFA1=(−pFA设直线为x=my+p2，由x=my+p2y可