第一章 空间向量与立体几何 空间向量的数量积及最值（题型专练）（解析版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何空间向量的数量积及最值（题型突破）题型01求空间向量的夹角1.核心逻辑

（1）变形余弦公式，通过余弦正负区分锐角、直角、钝角、平角。

（2）坐标法：用坐标分别求出、、，再代入余弦公式求夹角。2.解题步骤

（1）分步求出、、三个基础量；

①代入余弦公式算出；

②结合反三角函数求出夹角，夹角范围固定。

（2）坐标法

①用坐标计算两向量数量积；

②分别算出两个向量的模；

③代入余弦公式，写出夹角。3.易错提醒

混淆向量夹角与三角形内角；公式分母只写单个模，遗漏相乘。【例3】（2026高二·全国·暑假作业）若，则_________．【答案】【详解】设，依题意，，解得同理可得，则，因此，所以．【变式3-1】（2026高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，，，，所以，，故，所以向量与夹角的余弦值为.

【变式3-2】（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.

【答案】【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果.【详解】因为平面平面，，且平面平面，平面，可得平面，又因为平面，则，即，，，则，，且，，，因为，则，即，又因为，可得，所以向量与夹角的余弦值为.故答案为：.【变式3-3】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：

(1)的长；(2)直线与AC所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】选取基底向量，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值.【详解】（1）设，由题意可得，，所以，所以，即的长为；（2）因为，所以，又，所以，所以直线与所成角的余弦值为.▌题型02求空间向量的模1.核心逻辑

（1）恒等式；和差模公式，必须先平方再开根号。

（2）坐标法：向量三个坐标分别平方求和，再开算术平方根。2.解题步骤

（1）对目标向量整体平方，转化为数量积运算；

①展开平方式子，代入已知模长、数量积；

②算出平方结果，开算术平方根，模长只保留非负根。

（2）坐标法

①提取向量坐标；

②计算；

③整体开根号得到向量模长。3.易错提醒

计算时漏掉交叉项；开方后误取负值。【例2】（2026高二·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【详解】由向量加法得，所以.【变式2-1】（2026高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解.【详解】

以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以，所以，所以．【变式2-2】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.(1)设，试用向量表示；(2)求线段的长度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可；（2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解，【详解】（1）.（2）依题意，，则.【变式2-3】（2026高二·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，平方后求解即可．【详解】点是的重心，以为起点，则，，，故选：D．题型03计算空间向量数量积1.核心逻辑

（1）依靠数量积定义式与运算律展开计算；满足交换律、分配律、数乘结合律；互相垂直的向量数量积直接为0，简化运算。

（2）坐标法：已知两个向量坐标时，对应坐标相乘后全部相加，快速算出实数结果。2.解题步骤

（1）拆分复杂向量组合，用分配律全部展开；

①式子中出现垂直向量，直接替换为0简化；

②代入已知模长、夹角余弦值，化简算出最终实数。

（2）坐标法

①写出两个向量坐标；

②分别计算三组坐标乘积；

③三组乘积相加，得到数量积数值。3.易错提醒

数量积运算结果是实数，不是向量；展开多项式时容易漏项、符号写错。【例1】（2026高二·福建漳州·期末）已知向量，则等于（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】A【详解】，故选项A正确．【变式1-1】（2026高二·甘肃兰州·期中）已知向量，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案.【详解】由题意，所以.【变式1-2】（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解.【详解】因为分别是的中点，所以，所以.故选：C【变式1-3】（2026高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（

）A． B．8 C．-4 D．4【答案】C【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】因为，，所以.故选：C.▌题型04由空间向量夹角求参数1.核心逻辑

（1）已知夹角条件，代入余弦等式或不等式；直角满足，锐角，钝角。

（2）坐标法：向量坐标含参数，用参数表示、、，列方程或不等式求解。2.解题步骤

（1）用参数表示、、；

①根据夹角要求列出等式或不等式；

②求解参数，检验模长不能为0，剔除增根。

（2）坐标法

①写出含参向量坐标，计算数量积与两个模；

②结合夹角条件列关系式；

③解方程/不等式，钝角需额外排除两向量反向共线的情况。3.易错提醒

求钝角只写，忽略反向共线；不检验模长不为0造成分母无意义。【例4】（2026高二·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】若共线则存在实数使得，则，即，方程组无解，即不存在实数使得共线.所以若与的夹角为锐角，则，解得.故实数的取值范围是.【变式4-1】（2026高二·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则【答案】C【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D.【详解】对于A：因为，且，所以，即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；对于B：若，则，解得，故B错误；对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；对于D：因为，，若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；故选：C【变式4-2】【多选】（2026高二·广东潮州·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若为钝角，则D．若在上的投影向量为，则【答案】BD【分析】利用空间向量平行建立方程，求解参数判断A，利用空间向量垂直求解方程判断B利用夹角为钝角并结合空间向量数量积的坐标运算可判断C，利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D即可.【详解】由题意得向量，对于A，若，则，解得，故A错误；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，若为钝角，则且，解得且，故C错误，对于D，若在上的投影向量为，即，则，解得，故D正确．故选：BD．【变式4-3】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】以为原点建系，根据得出即可判断.【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，因为，所以，则，则，故，因为为钝角，所以，即，又一元二次函数，，所以恒成立，故，得，故只有B选项满足题意.故选：B

▌题型05求投影向量1.核心逻辑

（1）在上投影向量：；

（2）坐标法：坐标算出投影系数，再乘坐标得到投影向量。2.解题步骤

（1）计算与；

①算出投影系数，再乘以得到投影向量。

（2）坐标法

①用坐标计算、；

②求出系数；

③系数乘的坐标，写出投影向量坐标。【例5】（2026高二·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，．(1)求，，；(2)求向量与所成夹角的余弦值；(3)求在上的投影向量（用坐标表示）．【答案】(1)，，(2)(3)【详解】（1），，，，又，，.因此，，.（2），.，..因此向量与所成夹角的余弦值为.（3）在上的投影向量为.【变式5-1】（2026高二·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______.【答案】【详解】根据向量坐标的计算公式，，根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为，即.【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案.【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得，则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，则，所以在上的投影向量为.故选：C.【变式5-3】（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为.【详解】因为在正方体中，,所以正三角形，过点作，垂足为.则，所以向量在上的投影向量为.故选：B▌题型06利用数量积证明垂直关系1.核心逻辑

（1）两个非零向量垂直的充要条件；线线、线面垂直均可转化为方向向量数量积为0。

（2）坐标法：两向量坐标对应相乘相加，结果等于0即可证垂直。2.解题步骤

（1）选取两条直线对应的方向向量；

①展开并化简两个向量的数量积；

②计算结果等于0，补充说明两向量均非零，得出垂直结论。

（2）坐标法

①写出两条直线方向向量的坐标；

②计算坐标形式的数量积；

③结果为0，直接判定向量垂直，对应直线垂直。3.易错提醒

不说明向量为非零向量；仅观察坐标符号，不完整计算数量积。【例6】（2026高一·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】C【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可.【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误；对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误；对于C，当时，，，故C正确；对于D，当时，，，故D错误.【变式6-1】（2026高二·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（

）A．－9 B．－1 C．1 D．9【答案】B【详解】由于，故，故，，故的竖坐标为.【变式6-2】（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点．(1)求的长；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可；（2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可.【详解】（1）因为，，所以是等边三角形，所以，又因为N是的中点，所以,在中，.（2）由已知，所以，所以.【变式6-3】（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点.(1)若对角线的长度为时，求的值；(2)求证：.【答案】(1)(2)由题意得，

则，故.【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解；（2），由数量积的运算律证明即可.【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底，且，

，则，故.（2）略▌题型07求空间向量数量积的最值1.核心逻辑

（1）模固定时，；含参数向量通过平方、配方求取值范围。

（2）坐标法：向量含参数时，数量积转化为关于参数的二次函数，配方法求最值。2.解题步骤

（1）把数量积整理为含或含参数的代数式；

①利用确定上下边界；

②写出最大值、最小值，标注取等时向量位置关系。

（2）坐标法

①用坐标写出数量积关于参数的二次函数；

②配方，结合参数取值范围确定最值；

③验证取等条件对应的参数真实存在。3.易错提醒

忽略限制，算出超出合理范围的最值。【例7】（2026高二·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________.【答案】【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围.【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱，如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，其中，，又，，所以，，，当，且或1时，取得最大值1，当，且时，取最小值，所以的取值范围为.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，又，，所以的取值范围为.【变式7-1】（2026高二·天津·阶段检测）P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到向量和，利用向量的数量积化简得到，结合，即可求解.【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体的棱长为2，且为上底面上一点，可设，其中，且，所以，则，因为，可得，所以取得最小值为，最大值为，所以取值范围为.故选：C.【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为1.(1)求的值；(2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.（2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解.【详解】（1）依题意，．（2）取中点，则．而，则，所以．【变式7-3】（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长，所以，所以，又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以所以，所以，所以的最大值是.▌题型08求空间向量模的最值1.核心逻辑

（1）模的最值等价于模平方的最值，结合取值范围约束求解。

（2）坐标法：向量坐标含参数，模平方是二次函数，配方求出平方最值后再开算术平方根。2.解题步骤

（1）对目标向量整体平方，展开为数量积组合；

①结合求出平方的最大、最小值；

②对平方最值开算术平方根，得到模长最值。

（2）坐标法

①写出含参向量坐标，计算模的平方；

②二次函数配方，确定平方区间；

③开根号得到模的最值，标注参数取等条件。3.易错提醒

求出模平方的最值后，忘记开根号直接当作模长答案。【例8】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________．【答案】0【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标,，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为．【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，，，，所以当时，，．因为，，所以，所以，，．所以，所以，．当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为．所以．故答案为：0，

【变式8-1】（2026高二·江苏扬州·期中）在边长为2的