第一章 空间向量与立体几何 利用空间向量解决立体几何中的轨迹问题（题型专练）（原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何利用空间向量解决立体几何中的轨迹问题（题型突破）题型01距离（长度）有关的动态轨迹问题1.核心逻辑

动点到定点、定直线、定平面距离为定值，利用空间距离向量公式列方程，根据方程识别球面、圆等轨迹。2.解题步骤(1)建立坐标系，设动点；(2)代入距离向量公式：两点距离、点到直线距离、点到平面距离；(3)化简等式，得到坐标方程；(4)结合几何体，确定轨迹是圆、圆弧、球面或者球面的一部分。3.易错提醒

点到直线距离不要直接用向量模长代替，必须使用勾股形式的距离公式。【例3】【多选】（2026·重庆·模拟预测）在正方体中，，空间任意一点满足，则（

）A．点的轨迹在正方体内的部分的面积为B．直线与所成角的最大值为C．的最小值为3D．面积的最小值为【变式3-1】【多选】（2026高一·山西太原·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（

）A．若，则点的轨迹长度为B．平面截正方体得到的几何体的体积的最小值为C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为D．若与的夹角为为线段上的动点，则的最小值为4【变式3-2】【多选】（2026高二·安徽·期中）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（

）A．存在点使得平面B．直线与平面所成角的正弦值范围是C．异面直线与间的距离为D．当时，点的轨迹长度为【变式3-3】（2026高二·湖南长沙·期中）在直三棱柱中，，点分别是线段的中点，动点P在三角形及其内部，且满足．(1)证明：直线平面(2)求动点P的轨迹及其长度；(3)求直线BP和平面所成角的正弦值的最大值．【变式3-4】（2026高二·江苏南通·阶段检测）在棱长为的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为______．【变式3-5】【多选】（2026·江西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（

）

A．存在点，使B．若，则动点的轨迹长度为C．当点在线段上时，直线与平面平行D．当点在线段上时，直线与平面所成角的正弦值可以为【变式3-6】【多选】（26-27高二·全国·暑假作业）如图，四面体中，，，，，为该四面体表面上一点（包含边界），则（

）

A．若，，则点存在且唯一B．若，则点在内的轨迹长度为C．若，则的最小值为1D．的最小值为【变式3-7】（2026·广东江门·模拟预测）如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心．(1)证明：平面．(2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度.▌题型02垂直中的动态轨迹问题1.核心逻辑

动点满足线线垂直、线面垂直，利用向量点积为0建立等式，得到动点坐标方程，判断轨迹形状。2.解题步骤(1)建系，设动点；(2)由垂直条件得到向量数量积等于0；(3)展开数量积运算，化简方程；(4)根据空间几何体范围，截取有效轨迹。3.易错提醒

混淆线面垂直与线面平行向量条件：垂直是方向向量与法向量共线；平行是方向向量与法向量点积为0。【例2】【多选】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且，则下列结论正确的有（

）

A．点的轨迹长度大小为B．三棱锥的体积随着的位置变化而变化C．当点位于点时，异面直线与所成角最小，且最小值为D．为直线上一点，则的最小值为【变式2-1】【多选】（2026·河南·模拟预测）正方体棱长为，下列说法中正确的有（

）A．若点在底面（含边界）内，且，则的轨迹的长度为B．空间中，点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为C．平面截正方体所得截面多边形是直角梯形D．平面将正方体分成两个几何体的体积分别为，且，则【变式2-2】（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧.将绕直线AC向上旋转至，点F为BC的中点.(1)证明:；(2)若，点G在三棱锥的表面上恒有，试求G的轨迹长度；(3)在绕直线AC旋转至的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围.【变式2-3】【多选】（2026·江西·模拟预测）在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．异面直线AC与所成角的大小为B．过A，F，C的平面截正方体所得的截面图形的周长为C．若P是正方形内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹长度为2D．若P是棱的中点，则四面体外接球表面积为【变式2-4】【多选】（2026高三·福建·期中）已知正方体的棱长为1，动点在底面内，且，则（

）A．平面B．的轨迹长度为C．恰有一个点，满足D．与平面所成角的正弦值的最大值为【变式2-5】（2026高一·北京丰台·期末）在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（

）A．点M可以是线段BC的中点B．点M的轨迹长度为C．存在点M，使得点B到平面的距离为D．任意点平面，都有平面【变式2-6】【多选】（2026·广东茂名·模拟预测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（

）A．存在使得B．若，则的轨迹长度为C．若平面，则四棱锥的外接球的体积的最大值为D．若，则的面积的最小值为【变式2-7】【多选】（2026高二·四川·期末）已知正四面体的棱长为，体心为，为空间动点，下列说法正确的有（

）

A．该四面体的体积为B．若在边上（不包括端点），则到的距离的取值范围为C．若在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为D．若，则的取值范围为▌题型03平行中的动态轨迹问题1.核心逻辑

动点满足线线平行、线面平行条件，利用向量平行（共线）关系约束动点坐标，化简得到动点满足的方程，识别轨迹的几何图形。2.解题步骤(1)建立空间直角坐标系，设出动点坐标；(2)根据平行条件写出向量关系式：线线平行对应向量共线，线面平行对应向量与平面法向量垂直；(3)展开运算，得到的约束方程；(4)结合几何体空间范围，判断轨迹是直线、线段、平面还是平面内的部分图形。3.易错提醒

忽略几何体边界限制，把轨迹直接当成完整直线或平面，实际轨迹往往只是线段。【例1】【多选】（2026高二·浙江温州·期末）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（

）A．若直线平面，点P的轨迹长度为B．若，则直线与所成角的取值范围是C．若，则平面平面D．若，则的最小值为【变式1-1】（2026高二·云南昭通·期末）如图，在长方体中，，点分别为的中点，点M为长方形内一动点（含边界）．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)若直线平面，求点M的轨迹长度．【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（

）

A． B． C． D．【变式1-3】（2026·山东枣庄·模拟预测）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【变式1-4】（2026高二·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________.【变式1-5】（2026高三·江西宜春·期末）如图，四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为的中点，平面平面.

(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离；(3)在平面内是否存在一点，使得直线平面，若不存在，请说明理由；若存在，说明点的轨迹，并求出轨迹和点所确定的平面与平面夹角的余弦值.【变式1-6】【多选】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（

）A．存在动点，使平面B．若平面，则动点的轨迹长度为C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为【变式1-7】【多选】（2026高三·山东菏泽·阶段检测）在棱长为的正方体中，点是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（

）A．存在点，使得B．若平面

，则点的轨迹长度为C．若所成的角为，则点P的轨迹长度为D．若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为．▌题型04角度有关的动态轨迹问题1.核心逻辑

动点相关的异面直线夹角、线面角为定值，借助向量夹角公式建立等式，化简得到动点约束条件。2.解题步骤(1)建系，设动点；(2)写出相关方向向量、平面法向量；(3)利用夹角公式列出等式；(4)化简方程，结合几何体范围得到轨迹。3.易错提醒

线面角和向量夹角不要等同，线面角是方向向量和法向量夹角的余角，注意取绝对值。【例4】【多选】（2026高二·广东广州·期末）在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（

）A．若，则平面平面B．若，有且仅有一个点，使得平面C．若，则异面直线和所成角的取值范围是D．若与平面所成角为，则动点P的轨迹长为【变式4-1】【多选】（2026高二·广东·期末）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（

）A．当时，三棱锥的体积为B．当时，的最小值为C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为D．当时，的取值范围是【变式4-2】【多选】（2026高二·江苏南通·期末）边长为2的正方体中，动点满足，.则下列结论正确的是（

）A．平面B．四面体的体积为C．设直线与所成角为，则的最大值为D．若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为【变式4-3】【多选】（2026高二·江苏南通·期中）棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（

）A．直线与底面所成角的正切值为B．异面直线与的距离为C．若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为D．若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为【变式4-4】【多选】（2026·浙江宁波·模拟预测）正四棱台的高为，，，点均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为，则（

）A．点的轨迹的长度为B．直线与所成角的正切值的最小值为C．线段的长度的最小值为D．点到直线的距离大于【变式4-5】【多选】（2026高二·江苏南京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为正方形内的动点，则（

）A．平面B．C．二面角的余弦值为D．当直线与平面所成角的正切值为时，点的轨迹的长度为【变式4-6】【多选】（2026高二·湖南郴州·期末）在棱长为的正方体中，点是上靠近点的三等分点，点是的中点，是四边形内一点（不包括边界），且满足，则下列选项中正确的是（

）A．过点、、的平面截正方体的截面为四边形B．平面与平面所成二面角的平面角的正切值为C．点的轨迹长度为D．的取值范围为【变式4-7】【多选】（2026·江苏·模拟预测）棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（

）A．平面PMN截正方体表面所得截面为五边形B．平面与平面所成锐二面角的余弦值为C．若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为D．若，交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转45°得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为▌题型05与向量关系式有关的轨迹问题1.核心逻辑

给出动点满足的向量等式（向量线性运算、数量积等式），把向量全部坐标化，化简得到动点坐标满足方程，判断轨迹。2.解题步骤(1)建立空间直角坐标系，写出各定点坐标，设动点；(2)将题目给出的向量等式全部转化为坐标运算；(3)消参、化简，得到关于的方程；(4)结合立体图形空间限制，得到实际轨迹。3.易错提醒

向量运算坐标转换出错，忽略动点只能在几何体表面或者棱上运动的限制条件。【例5】【多选】（2026高二·四川绵阳·期中）在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（

）A．当时，点P的轨迹为线段B．当时，有且仅有一个点P使得C．当时，三棱锥的体积为定值D．当时，有且仅有一个点P使得平面【变式5-1】【多选】（2026·辽宁大连·模拟预测）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角为，是的中点，动点满足（其中，），且，则（

）A． B．点轨迹的长度为C．当线段的长度最大时，， D．当线段的长度最小时，，【变式5-2】（2026高二·重庆·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2026高二·湖南永州·期末）在正方体中，，点为正方体表面上一动点，若，则点的轨迹长度为___________．【变式5-4】【多选】（2026高二·浙江湖州·期末）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点（含端点），则（

）A．平面B．直线可能相交于同一点C．平面与平面可能平行D．正方体表面上满足的动点的轨迹长度为【变式5-5】（2026高二·上海·期中）已知空间直角坐标系，若动点满足，若均取遍，则点的轨迹形成的几何体的体积为__________．【变式5-6】（2026高二·湖南长沙·阶段检测）已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【变式5-7】（2