2.1 认识一元二次方程（第2课时） 课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2.1认识一元二次方程（第2课时）一元二次方程的解及其估算北师大版·九年级上册2026—2027学年数学教学课件复习导入温故知新回顾旧知，完成下列填空：1.使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解（答案）2.一元二次方程(x+1)²−x=3(x²−2)化成一般形式是2x²−x−7=0（提示：展开、移项、合并同类项）3.近似数2.36精确到十分位约等于2.4（提示：四舍五入，看百分位）2复习导入一元二次方程的特点与一般形式一元二次方程的特点1只含有一个未知数2未知数的最高次数是23是整式方程💡判断一个方程是否为一元二次方程，三个条件缺一不可。三个条件同时满足，才是一元二次方程一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0其中：a——二次项系数，a≠0b——一次项系数c——常数项💡a、b、c为常数，b和c可以为0，但二次项系数a不能为0。3探究新知地毯宽度问题【问题情境】如图，一块矩形地面的长为8m，宽为5m。在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯，四周未铺地毯的条形区域宽度相同。求这个宽度x。【分析思路】设四周条形区域宽度为xm，则地毯的长为(8−2x)m，地毯的宽为(5−2x)m。根据"地毯面积=长×宽"列方程👇示意图地毯18m²长8m宽5mxxx(5−2x)mx根据题意，列方程得：(8−2x)(5−2x)=184探究新知分析花边宽度x的取值范围思考：x可以取哪些值？哪些值不可能？1x不可能小于0理由：花边的宽度不能为负数，所以x≥0。即x<0不可能。2x不可能大于或等于4地毯的长为(8−2x)m，长度必须为正：8−2x>0，解得x<4。3x不可能大于或等于2.5地毯的宽为(5−2x)m，宽度必须为正：5−2x>0，解得x<2.5。💡结合实际意义，我们逐步缩小了x的可能范围。示意图地毯面积18m²8m5mxx关键约束条件•8−2x>0（地毯长为正）•5−2x>0（地毯宽为正）•x>0（花边宽度为正）5探究新知确定x的大致范围综合以上分析：由8−2x>0，得x<4由5−2x>0，得x<2.5花边宽度为正，故x>0因此，x的大致范围是0<x<2.5数轴上的取值范围0122.534地毯示意图(8−2x)(5−2x)=188m5m接下来我们在这个范围内列表计算，寻找精确解。6探究新知列表计算，寻找精确解在0<x<2.5范围内，取x的值代入(8−2x)(5−2x)计算，寻找等于18的xx8−2x5−2x(8−2x)(5−2x)与18比较0.57428大于1816318✓等于18★1.55210小于182414小于18观察发现：当x=0.5时，乘积28>18；当x=1时，乘积恰好等于18。因此，所求花边的宽度为x=1m即四周花边的宽度为1米7探究新知一元二次方程解的概念什么是一元二次方程的解？📖定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解（也叫一元二次方程的根）⚠注意与一元一次方程不同，一元二次方程可能有不止一个解（根）。例如：x=1就是方程(8−2x)(5−2x)=18的解（根），因为代入后两边都等于18。做一做下面哪些数是方程x²−x−6=0的解？备选数：−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4xx²−x−6是否为解−24+2−6=0✓是−39+3−6=6≠0×−11+1−6=−4≠0×39−3−6=0✓是00−0−6=−6≠0×∴x=−2和x=3是方程的解（有两个解！）8探究新知·梯子滑动问题CH03▎问题情境如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？思考：你能根据勾股定理，列出关于底端滑动距离x的方程吗？①滑动前梯子底端距墙：√(10²−8²)=6m②滑动后顶端距地面7m，底端距墙(x+6)m▎示意图8m→7m墙6mx梯子10m地面滑动前位置滑动后位置列方程：7²+(x+6)²=10²→x²+12x−15=0底端滑动的距离x是这个一元二次方程的正根，下面我们通过估算来求解。09初步判断·底端也滑1米吗？CH03对方程x²+12x−15=0，我们先代入几个整数，做一个初步检验。①底端滑动1m？小明认为：顶端下滑1m，底端也滑动1m。代入x=1：左边=1²+12×1−15=−2≠0✗猜测错误，x≠1②底端滑动2m？会不会滑得更远，比如2米？代入x=2：左边=2²+12×2−15=13≠0✗不是2m，左边已远大于0③底端滑动3m？继续试更大的值。代入x=3：左边=3²+12×3−15=30≠0✗更不可能，偏离0越来越远④接下来的关键问题•x的大致范围在什么区间？•x的整数部分是几？•x的十分位是几？提示：x=1时左边=−2（<0），x=2时左边=13（>0），说明解在1与2之间，下页我们用列表法进一步逼近。10列表估算·确定大致范围CH03在0到2之间取若干值，计算x²+12x−15的值，观察它从负变正的位置。x(m)x²+12x−15的值0−150.5−8.751−2（<0）1.55.25（>0）补充：x=2时，x²+12x−15=13>0，与上页初步检验一致。结论：当x从1变到1.5时，代数式的值由−2变为5.25，说明1<x<1.5，即x的整数部分是1。11进一步细化·确定十分位CH03已经知道1<x<1.5，接下来在1.1~1.4之间取值，继续计算x²+12x−15。x(m)x²+12x−15的值1.1−0.59（<0）1.20.84（>0）1.32.291.43.76观察：x=1.1时结果仍为负，x=1.2时已为正，说明0点出现在1.1到1.2之间。结论：

1.1<x<1.2，因此x的整数部分是1，十分位是1。若要更精确，可继续在1.1~1.2之间按百分位逼近。12梯子滑动问题与估算估算一元二次方程解的步骤通过前面的探究，我们可以把"估算法"归纳为以下四个步骤：①定范围根据实际问题的具体情况，确定未知数的大致取值范围；例如：长度为正，x>0；由8-2x>0、5-2x>0得到上界。②缩范围在大致范围内，结合题意进一步排除不可能的取值，缩小范围；例如：由x=1、2、3时代数式的符号，判断解在哪个小区间内。③列表算在缩小后的范围内，均匀取点列表，计算代数式的对应值；观察代数式的值的正负变化，锁定解所在的更小区间。④逐步逼近不断缩小取值间隔，使代数式值逐步接近0，得到所需精度的近似解。例如：先确定整数部分，再确定十分位、百分位……直到满足精度要求。13梯子滑动问题与估算精确到百分位的估算继续估算方程x²+12x−15=0的解。已知1.1<x<1.2，即整数部分为1、十分位为1；进一步计算百分位：x1.111.121.131.141.151.16x²+12x−15−0.47−0.32−0.17−0.02+0.12+0.27符号−−−−++观察：当x=1.14时代数式值为−0.02（负），当x=1.15时代数式值为+0.12（正），说明解介于两者之间。结论由此可知1.14<x<1.15，所以百分位上的数字是4。因此，精确到十分位时，x≈1.1；若继续同样的方法，还可以精确到百分位、千分位……14达标检测第1题·利用方程的根求参数题目若关于x的一元二次方程(m−2)x²+x+m²−4=0的一个根为0，求m的值。解题过程1代入根的条件因为x=0是方程的根，将x=0代入方程，得(m−2)·0+0+m²−4=0，即m²−4=0，解得m=2或m=−2。2注意隐含条件：二次项系数不为0原方程是一元二次方程，必须m−2≠0，即m≠2。因此m=2应舍去。答：m的值为m=−2。💡温馨提示：遇到"一个根为0"这类问题，先代入求值，再勿忘"一元二次方程二次项系数不为0"这一前提。15达标检测2.1第2课时解的判断练习例2判断x=2和x=3是不是一元二次方程x²−x=6的解。①当x=2时：左边=2²−2=4−2=2≠6（右边）∴x=2不是方程的解②当x=3时：左边=3²−3=9−3=6=6（右边）∴x=3是方程的解方法总结：判断一个数是不是方程的解，只需将该数代入方程左右两边，看两边的值是否相等——代入验证法16达标检测2.1第2课时连续整数问题（教材P34）例3五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数吗？提示：可以先列出方程，再用列表逼近的方法找出满足条件的整数。1设未知数设这五个连续整数中的第一个数为x，则后四个数依次为：x+1，x+2，x+3，x+4。2根据题意列方程根据"前三个数平方和=后两个数平方和"：x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²化简得：x²−8x−20=03列表估算求解xx²−8x−20判断−20✓是解100✓是解✓结论方程的解为：x₁=−2，x₂=10这五个连续整数是：−2,−1,0,1,2或10,11,12,13,1417达标检测2.1第2课时表格法判断解的范围（选择题）例4根据下表中对应值，判断方程x²−x−1.1=0的一个解的范围是（）。选项：A1.4<x<1.5（值为−0.26，同号）B1.6<x<1.7（−0.14→+0.09，异号）✓C1.7<x<1.8（值为+0.09，同号）D1.5<x<1.6（值为−0.26→−0.14，同号）表格数据：xx²−x−1.11.4−0.541.5−0.351.6−0.141.7+0.09解题依据：当x从1.6变到1.7时，代数式值从−0.14变为+0.09（异号），说明1.6与1.7之间必有一个x使代数式等于0，即方程的一个解在此区间内，故选B。18课堂小结CH05·课堂小结与作业一、一元二次方程的解（根）核心定义使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。要点提醒1与一元一次方程不同，一元二次方程可能不止一个解。2实例回顾：在地毯问题中，x=1使得方程(8−2x)(5−2x)=18左右两边相等，因此x=1是该方程的解，对应四周条形区域宽度为1米。19/21课堂小结CH05·课堂小结与作业二、一元二次方程解的估算方法当方程的解不是整数时，我们采用"逐步逼近"的思想，按以下四步进行