(2026年)高中数学知识点总结(新高考地区)全文

(2026年)高中数学知识点总结(新高考地区)全文集合与常用逻辑用语集合集合是高中数学的基础概念之一。集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。例如，由1，2，3组成的集合可表示为{1描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。一般形式为{x|x满足的条件}。比如，不等式xVenn图法：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种直观的图形表示有助于理解集合之间的关系。集合间的基本关系子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B。例如，真子集：如果A⊆B，且存在元素x∈B，但x∉A，则称集合A是集合相等：如果A⊆B且B⊆集合的基本运算交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B。例如，A={1并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B。对于上述A和B，补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U常用逻辑用语命题能够判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。例如，“2+3=命题可分为简单命题和复合命题。复合命题是由简单命题通过“或”“且”“非”等逻辑联结词构成的命题。充分条件与必要条件充分条件：如果p⇒q，则p是q的充分条件。也就是说，有p就一定有q。例如，“x>必要条件：如果q⇒p，则p是q的必要条件。即没有p就一定没有充要条件：如果p⇔q，则p是全称量词与存在量词全称量词：“所有”“任意”“一切”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题。例如，“对任意x∈R，存在量词：“存在”“至少有一个”“有些”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题。比如，“存在x∈R，使得函数概念与性质函数的概念设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中，x函数的表示方法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。例如，y=图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。通过函数图象可以直观地看出函数的性质。列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。常用于离散的数据。函数的基本性质单调性设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)求函数单调性的方法有定义法、导数法等。奇偶性设函数f(x)的定义域关于原点对称，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(−x)=−奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。周期性对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f指数函数、对数函数与幂函数指数函数定义：一般地，函数y=ax（a>0，且a性质当a>1时，指数函数y=ax在R上是增函数；当0指数函数的图象都过点(0对数函数定义：一般地，函数y=logax（a>0，且性质当a>1时，对数函数y=logax在(0对数函数的图象都过点(1幂函数定义：一般地，函数y=xα（α性质幂函数的图象会因α的不同而有不同的形状和性质。当α>0时，幂函数在[0,+三角函数任意角和弧度制任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。按旋转方向可分为正角、负角和零角。终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。弧度与角度的换算公式为：三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sin三角函数的图象与性质正弦函数y定义域为R，值域为[−周期为2π在[−π2余弦函数y定义域为R，值域为[−周期为2π，是偶函数，图象关于y在[2kπ正切函数y定义域为{x|x周期为π，是奇函数，图象关于原点对称。在(−三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角公式数列数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{等差数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。通项公式：an=a1+前n项和公式：Sn等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠通项公式：an=a1q前n项和公式：当q=1时，Sn=n平面向量平面向量的基本概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量的模：向量的大小叫做向量的模，记作|a零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量。平面向量的线性运算向量加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。a+b的结果是以a，b为邻边的平行四边形的对角线（三角形法则是将b的起点与a的终点相连，a+b是从向量减法：a−b=a+向量数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λ平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a性质立体几何初步空间几何体棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。空间点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。空间中直线与直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线。空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。空间中平面与平面的位置关系：平行、相交。空间几何体的表面积与体积棱柱、棱锥、棱台的表面积：各个面的面积之和。圆柱、圆锥、圆台的表面积：S圆柱=2πr(r+l)（r为底面半径，l柱体、锥体、台体的体积：V柱体=Sh（S为底面积，h为高）；V锥体=1球的表面积与体积：S=4πR2平面解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)。当过两点P1(x1,直线的方程点斜式：y−y0=k斜截式：y=kx+b（k两点式：y−截距式：xa+yb=1（a≠0且b≠一般式：Ax+By+C=圆与方程圆的标准方程：(x−a)2圆的一般方程：x2+y2+Dx直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，可通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：d<r时相交；d=圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，可通过两圆的圆心距d与两圆半径R，r（R≥r）的大小关系判断：d>R+r时外离；d=概率与统计概率随机事件的概率必然事件：在一定条件下必然要发生的事件。不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。古典概型的概率公式：P(A)=mn，其中几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。几何概型的概率公式：P(统计抽样方法简单随机抽样：从总体N个个体中随机地抽取n个个体作为样本，每个个体被抽到的概率相等。常见的方法有抽签法和随机数法。系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本。分层抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。用样本估计总体频率分布直方图：通过频率分布直方图可以直观地看出数据的分布情况。频率=频数样本容量，小长方形的面积样本的数字特征众数：一组数据中出现次数最多的数据。中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为中位数。平均数：x=方差：s2=1导数及其应用导数的概念平均变化率：函数y=f(x)从x导数的定义：函数y=f(x)导