初等模型课件

初等模型一.比例代表制例：有A、B、C、D四個政黨，代表50萬選民，各政黨的選民數為：

A黨：199,000B黨：127,500C黨：124,000D黨：49,500要選出5名代表：

A黨：2席B黨：1席

C黨：1席D黨：0席缺少1席，如何分配這最後一席呢？

2.1

公平的席位分配1、大餘數法按每10萬選民1席分配後，按餘數大小排序，多餘的席位分給餘數較大的各黨。黨名代表選民數整數席餘數餘額席總席數

A199,000199,00012B127,500127,50001C124,000124,00001D49,500049,500112.1

公平的席位分配2、洪德(d

Hondt)規則分配辦法是：把各黨代表的選民數分別被1、2、3、…除，按所有商數的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數比D黨的人數還多，那麼給A黨3席、給D黨0席也是合理的。除數A黨B黨C黨D黨1199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500299,500(4)63,75062,00024,750366,333(5)42,50041,33316,500449,75031,875－－總席位31102.1

公平的席位分配3、北歐折衷方案作法與洪德規則類似，所採用的除數依次為1.4、3、5、7、…

A黨B黨C黨D黨

2

2

1

0三種分配方案，得到了完全不同的結果，最大餘數法顯然對小黨比較有利，洪德規則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對最大和最小黨都不利2.1

公平的席位分配二．份額分配法(QuotaMethod)一種以“相對公平”為標準的席位分配方法，來源於著名的“阿拉巴瑪悖論”(AlabamaParadox)。美國憲法第1條第2款對議會席位分配作了明確規定，議員數按各州相應的人數進行分配。最初議員數只有65席，因為議會有權改變它的席位數，到1910年，議會增加到435席。憲法並沒有規定席位的具體分配辦法，因此在1881年，當考慮重新分配席位時，發現用當時的最大餘數分配方法，阿拉巴瑪州在299個席位中獲得8個議席，而當總席位增加為300席時，它卻只能分得7個議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。2.1

公平的席位分配

某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數比例分配原則

表示某單位的席位數

表示某單位的人數

表示總人數

表示總席位數1問題的提出2.1

公平的席位分配問題20個席位的分配結果系別人數所占比例分配方案席位數甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4現丙系有6名學生分別轉到甲、乙系各3名。系別人數所占比例分配方案席位數甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064現象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平！）為了在表決提案時可能出現10：10的平局，再設一個席位。21個席位的分配結果系別人數所占比例分配方案席位數甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5701173現象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）慣例分配方法：按比例分配完取整數的名額後，剩下的名額按慣例分給小數部分較大者。存在不公平現象，能否給出更公平的分配席位的方案？2建模分析目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數量指標可用每席位代表的人數來衡量。系別人數席位數每席位代表的人數公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數席位數每席位代表的人數甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數席位數每席位代表的人數公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數席位數每席位代表的人數AB當席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。此值越小分配越趨於公平，但這並不是一個好的衡量標準。單位人數p席位數n每席位代表的人數絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對不公平表示每個席位代表的人數，總人數一定時，此值越大，代表的人數就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或對A是不公平的。定義“相對不公平”對A的相對不公平值；同理，可定義對B的相對不公平值為：對B的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數量指標制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3建模若A、B兩方已佔有席位數為用相對不公平值討論當席位增加1個時，應該給A還是B方。不失一般性，有下麵三種情形。情形1說明即使給A單位增加1席，仍對A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當對A不公平時，給A單位增加1席，對B又不公平。計算對B的相對不公平值情形3說明當對A不公平時，給B單位增加1席，對A不公平。計算對A的相對不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結論：當（*）成立時，增加的一個席位應分配給A單位，反之，應分配給B單位。記則增加的一個席位應分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已佔有席位數為4推廣有m方分配席位的情況設方人數為，已佔有個席位，當總席位增加1席時，計算則1席應分給Q值最大的一方。從開始，即每方至少應得到以1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）5舉例甲、乙、丙三系各有人數103，63，34，有21個席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4練習：學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學生要組織一個10人委員會，試用慣例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各樓的委員數，並比較結果。思考題：現有外形相同的１2個球，其中有一個的重量與其他11個不同。請用一架天平稱三次，將那個不同的球找出來。d’Hondt方法有k個單位，每單位的人數為pi

，總席位數為n。做法：用自然數1,2,3,…分別除以每單位的人數，從所得的數中由大到小取前n個，（這n個數來自各個單位人數用自然數相除的結果），這n個數中哪個單位有幾個所分席位就為幾個。進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數分別為

p1,p2,…,pm,記總人數為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應是N和p1,…,pm

的函數，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數，顯然應ni=qi

qi=Npi/P不全為整數時，ni

應滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問題在一次使用中錄影帶已經轉過大半，計數器讀數為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節目？2.2

錄影機計數器的用途經試驗，一盤標明180分鐘的錄影帶從頭走到尾，時間用了184分，計數器讀數從0000變到6061。錄影機計數器的工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭計數器錄影帶錄影帶運動方向問題背景要求不僅回答問題，而且建立計數器讀數與錄影帶轉過時間的關係。思考計數器讀數是均勻增長的嗎？主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數器錄影帶錄影帶運動方向錄影帶運動右輪盤半徑增大右輪轉速不是常數錄影帶運動速度是常數計數器讀數增長變慢問題分析觀察計數器讀數增長越來越慢！模型假設

錄影帶的運動速度是常數

v

；

計數器讀數

n與右輪轉數

m成正比，記

m=kn；

錄影帶厚度（加兩圈間空隙）為常數

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數n=0.建模目的建立時間t與讀數n之間的關係（設v,k,w,r為已知參數）模型建立建立t與n的函數關係有多種方法1.右輪盤轉第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等於錄像帶在時間t內移動的長度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等於錄影帶厚度乘以轉過的長度，即3.考察t到t+dt錄影帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立思考13種建模方法得到同一結果但仔細推算會發現稍有差別，請解釋。模型中有待定參數一種確定參數的辦法是測量或調查，請設計測量方法。思考2模型求解參數估計另一種確定參數的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數據即可。實際上，由於測試有誤差，最好用足夠多的數據作擬合現有一批測試數據：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得用最小二乘法模型檢驗應該另外測試一批數據檢驗模型：模型應用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄影帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節目。揭示了“t

與n之間呈二次函數關係”這一普遍規律，當錄影帶的狀態改變時，只需重新估計a,b

即可。2d牆室內T1室外T2dd牆l室內T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處於穩態材料均勻，熱傳導係數為常數建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導係數2.3

雙層玻璃窗的功效dd牆l室內T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內層玻璃的外側溫度Tb~外層玻璃的內側溫度k1~玻璃的熱傳導係數k2~空氣的熱傳導係數建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d牆室內T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結果分析Q1/Q2所以如此小，是由於層間空氣極低的熱傳導係數k2,而這要求空氣非常乾燥、不流通。房間通過天花板、牆壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大2.4

汽車刹車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規則：背景與問題

正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，後面與前車的距離應增一個車身的長度。

實現這個規則的簡便辦法是“2秒準則”：

後車司機從前車經過某一標誌開始默數

2秒鐘後到達同一標誌，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規則是否一樣；建立數學模型，尋求更好的駕駛規則。問題分析常識：刹車距離與車速有關10英里/小時(

16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規則不同刹車距離反應時間司機狀況制動系統靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車品質成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數反應距離制動距離常數假設與建模1.刹車距離d等於反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.刹車時使用最大制動力F，F作功等於汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的品質m成正比

反應時間t1的經驗估計值為0.75秒參數估計

利用交通部門提供的一組實際數據擬合k模型最小二乘法

k=0.06計算刹車距離、刹車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際刹車距離（英尺）計算刹車距離（英尺）刹車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)刹車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234

一個雨天，你有件急事需要從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校。假設剛剛出發雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2.5雨中行走問題1建模準備建模目標：在給定的降雨條件下，設計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度2）降雨大小用降雨強度釐米/時來描述，降雨強度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這裏可視其為一常量。3）風速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設及符號說明1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。3模型建立與計算1）不考慮雨的方向，此時，你的前後左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時間降雨強度模型中結論，淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能減少淋雨量。從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經仔細分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實際。原因：不考慮降雨的方向的假設，使問題過於簡化。2）考慮降雨方向。人前進的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時刻在單位體積的空間內，由雨滴所占的空間的比例數，也稱為降雨強度係數。所以，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關。問題轉化為給定，如何選擇使得最小。情形1結果表明：淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形2結果表明：淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形3

此時，雨滴將從後面向你身上落下。出現這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上情形。因此，對於這種情況要另行討論。當行走速度慢於雨滴的水準運動速度，即這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為再次代如數據，得結果表明：當行走速度等於雨滴下落的水準速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背後落下，你應該以此時，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進，前後都沒淋雨。當行走速度快於雨滴的水準運動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為4結論若雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應以最大的速度向前跑；若雨是從你的背後落下，你應控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等於落雨速度的水準分量。5注意

關於模型的檢驗，請大家觀察、體會並驗證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設的重要性，模型的階段適應性。2.5

划艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發現與漿手數有某種關係。試建立數學模型揭示這種關係。問題準備調查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問題分析

前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力

前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數量之間的關係賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關係等作出假定

運用合適的物理定律建立模型模型假設1）艇形狀相同(l/b為常數),w0與n成正比2）v是常數，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態特性艇的動態特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特徵模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗tn12487.216.886.325.84••••與模型巧合！問題的提出：四足動物的軀幹的長度(不含頭尾)與它的體重有什麼關係？這個問題有一定的實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理構造因種類不同而異，如果陷入對生物學複雜生理結構的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價值的模型．這裏我們僅在十分粗賂的假設基礎上，利用類比方法，借助力學的某些結果，建立動物身長和體重間的比例關係。2.6

動物的身長和體重1、問題的分析與假設

把四足動物的軀幹看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。將這種圓柱體的軀幹類比作—根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學的一些研究結果。2、模型的建立：原理：動物在自身體重f作用下軀幹的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據對彈性粱的研究，有：進一步分析b/l的意義……3、生物學角度分析b/lb/l生理學意義：

b/l是動物軀幹的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀幹的需要，無疑是一種浪費。生物學進化角度：經過長期進化，對每一種動物而言b/l已經達到其最合適的數值，即b/l應視為與這種動物的尺寸無關的常數。4、結論（1）關係式：（前面分析）（2）另一些比例關係：（3）最終結論：

即體重與軀幹長度的4次方戊正比。這樣，對於某一種四足動物比如生豬，在根據統計數據確定出上述比例系數以後，就能從軀幹長度估計出動物的體重了。討論題：

大小包裝問題

在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構造模型解釋這種現象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關係。（2）給出單位重量價格c與w的關係，並解釋其實際意義。提示：價格由生產成本，包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比有的與表面積成正比，還有與w無關的因素。提要：決定商品價格的主要因素：生產成本、包裝成本、其他成本。單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低

問題:

我們每個人都有跑步的經歷,有人會因此而疲憊不堪,但有誰會想:怎麼跑步能使我們消耗的能量最少?2.7跑步與走路時如何節省能量

假設:(1)跑步所花費的時間分成兩部分:第一部分為兩條腿同時離地的時間；第二部分為一條腿或兩條腿同時落地的時間。於是人體重心運動軌跡如圖。根據經驗：ABCdhab（2）假設跑步是勻速的，設為，則跑步是消耗的總能量為2.8、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個，排成如下圖所示的圓圓，然後在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完後撤掉原來所放的棋子。再重複以上的過程，問這樣重複進行下去各棋子的顏色會怎樣變化呢?2、最終結論是什麼？

可完全用數學的推理方法說明最多經過8次變換，各棋子的顏色都會變黑。3、分析注意：規則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數符號規則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，並且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。4、符號運算規則規則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號⊙，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１5、各次顏色的確定

可見：最多經過8次變換以後，各個數都變成了+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以後重複上述過程，顏色也就不再變化了。問題：要用40塊方形瓷磚鋪如右圖所示形狀的地面,但當時市場上只有長方形瓷磚,每塊大小等於方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚,試著鋪地面,結果弄來弄去始終無法鋪好。試問是這人的功夫不到家還是這個問題根本無解？2.9鋪瓷磚問題首先必須分析是否可能用20塊長方形瓷磚鋪成如圖所示的地面。為此，在圖上黑白相間地染色。發現共有19個白格和21個黑格。鋪上19塊後，總要剩下2個黑格無法鋪，因為一塊長方形瓷磚無法蓋住兩個黑格。唯一的解決辦法就是把最後一塊分兩為兩塊。這種方法在數學上稱為奇偶校驗，即可認為塗黑格子是偶數，塗白格子的是奇數，同色的格子有相同的奇偶性。一塊長方形瓷磚只能覆蓋奇偶性相反的一對方格，只有在剩下的兩個方格具有相反的奇偶性時，才可能把最後一塊長方形瓷磚鋪上。顯然這該問題是無解的。即任何改變鋪設方式的努力都是徒勞。

問題：哥尼斯堡（今俄羅斯加裏寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。18世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來，如圖所示。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這就是著名七橋問題。ABCD2.10

哥尼斯堡七橋問題這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋樑的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D四個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖所示。問題可以轉化成從四個點中的任意一個出發，每條線只能走一次，最後回到這一點。即能不能用一筆就把這個圖形畫出來。除起點和終點處，一筆劃中出現在交點處的邊總是一進一出的，故交點的度數總和為偶數。即從每一點出發的線的條數只能是偶數，而圖中每一點處都只有奇數條線，故不可能！一般結論：(1)連接奇數個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現一筆劃；(2)連接奇數個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發，可以實現一筆劃而停在另一陸地(3)每個陸地都連接有偶數個橋時，則從任一陸地出發都能實現一筆劃，而回到出發點。小結:歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆劃出來的圖形所應具有的條件。問題：均勻正方體骰子的六個面分別刻有1,2,3,4,5,6的字樣,將一對骰子拋25次決定勝負。問將賭注押在“至少出現一次雙六”或“完全不出現雙六”的哪一種上面有利？2.11

賭博問題從數學上看是確定哪一種事件發生的概率大。記A為“至少出現一個雙六”這一事件，則為“完全不出現雙六”事件。故有記Ai為第i次拋擲這對骰子時出現雙六這一事件，則一對骰子拋擲一次可視為1次隨機實驗，拋擲25次可視為25次獨立隨機實驗，所以問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)佔有X,Y的數量。設交換前甲佔有X的數量為x0,乙佔有Y的數量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲佔有(x,y)，乙佔有(x0-x,y0-y)xyyo0xo••2.12

實物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲佔有(x1,y1)與佔有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。於是形成一族無差別曲線（無數條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質：

單調減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點)

互不相交在p1點佔有x少、y多，寧願以較多的

y換取較少的x;在p2點佔有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低於AB上的點p兩族曲線切點連線記作ABABp

交換方案的進一步確定交換方案~交換後甲的佔有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.13

量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度

l的量綱記L=[l]品質

m的量綱記M=[m]時間t

的量綱記T=[t]動力學中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數

k

的量綱[k]對無量綱量

，[

]=1(=L0M0T0)2.13.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關係例：單擺運動lmgm求擺動週期t

的運算式設物理量t,m,l,g

之間有關系式

1,

2,

3

為待定係數，

為無量綱量(1)的量綱運算式對比對x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什麼假設這種形式設p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運動中t,m,l,g

的一般運算式y1~y4為待定常數,

為無量綱量設f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價,F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量綱,n

m,q1,q2,

,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個基本解，記作為m-r

個相互獨立的無量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3個基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個無量綱量

F(

1,

2,

3)=0與

(g,l,,v,s,f)=0等價為得到阻力f的顯式運算式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價量綱分析法的評注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構造

結果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關重要的基本量綱個數n;選哪些基本量綱有目的地構造Ay=0的基本解

方法的普適性函數F和無量綱量未定不需要特定的專業知識2.12.2量綱分析在物理模擬中的應用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(f1未知，其他已知)注意：二者的

相同

按一定尺寸比例造模型船，量測f，可算出f1~物理模擬2.12.3無量綱化例：火箭發射m1m2xrv0g星球表面豎直發射。初速v,星球半徑r,表面重力加速度g研究火箭高度x隨時間t

的變化規律t=0時x=0,火箭品質m1,星球品質m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個獨立參數用無量綱化方法減少獨立參數個數[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變數x,t和獨立參數r,v,g的量綱用參數r,v,g的組合,分別構造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特徵尺度）—無量綱變數如利用新變數將被簡化