2026-2027学年四川省成都市石室天府中学高三上学期开学定时训练试卷数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.2.集合，，则（）A. B. C. D.3.若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（）A. B.C. D.4.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A. B.6 C.8 D.105.已知为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.和可以不具有周期性7.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A. B. C. D.8.已知函数有两个不同的极值点，，若存在实数使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.10.下列命题中正确的是（）A.数据的第25百分位数是1B.若事件的概率满足且，则相互独立C.已知随机变量，若，则D.若随机变量，则11.对于函数，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（）A.若，则没有最低点B.若和都有最小值，则有最低点C.若有最低点，则和都有最小值D.若有最低点，则或有最小值三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______．13.的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________．14.在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．四、解答题15.在三棱柱中，侧面是菱形，，，.（1）求证：；（2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值.16.数列是等差数列且，，数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为.17.已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为．（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程．18.《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：（1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；（2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率；（3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：；（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：“”的否定是.2.集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为集合=，=，所以.3.若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由定义域得出恒成立，讨论，两种情况，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可得出实数m取值范围.解答过程：解：的定义域为R∴恒成立当m＝0时，不等式2＞0恒成立当m≠0时，则满足，得，得0＜m＜8综上0≤m＜8故选：A方法提示：本题主要考查了由定义域求参数的范围，属于中档题.4.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A. B.6 C.8 D.10答案：C解析：思路：分析可知函数的一个周期为6，根据周期性结合偶函数定义运算求解即可.解答过程：因为，可得，则，可知函数的一个周期为6，又因为函数为定义在上的偶函数，则，且当时，，所以.5.已知为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值解答过程：因为，则，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选：C6.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.和可以不具有周期性答案：B解析：思路：通过函数对称性的定义可判断AB选项；利用复合函数的求导法则以及函数的对称性可判断C选项；利用函数周期性的定义可判断D选项.解答过程：为偶函数，所以，即，所以的图象关于直线对称；为奇函数，所以，即，所以的图象关于点对称，因为，所以，因为，所以，即的图象关于点对称,因为，，所以，所以，所以的周期为.7.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.解答过程：[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．8.已知函数有两个不同的极值点，，若存在实数使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：分析可知在内有2个不相等的实数根，，参变分离结合函数图象可得，利用韦达定理整理可得，存在实数，使得，即可得结果.解答过程：由题意可知：函数的定义域为，且，若函数有两个不同的极值点，，则在内有2个不相等的实数根，，显然不合题意，即，可得，即与在内的图象有2个不同的交点，由图象可知：，解得，且，，由可得，即，可知存在实数，使得，且，则，可得，所以实数的取值范围为.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据作差法判断AB；根据基本不等式判断C；根据幂函数的单调性判断D.解答过程：对于A，由，得，则，所以，A正确.对于B，，因为，，所以，即，B错误.对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立，所以，C正确.对于D，因为，所以，则在上单调递增，又，所以，D错误.10.下列命题中正确的是（）A.数据的第25百分位数是1B.若事件的概率满足且，则相互独立C.已知随机变量，若，则D.若随机变量，则答案：BCD解析：思路：对于A：根据百分位数分析运算；对于B：根据条件概率和独立事件分析判断；对于C：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断.解答过程：对于选项：8个数据从小到大排列，由于，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；对于选项：由，可得，即，可得，所以相互独立，故B正确；对于选项C：因为，则，故C正确；对于选项D：因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，则，所以，故D正确；故选：BCD.11.对于函数，设．对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”．对于函数和，以下说法中正确的是（）A.若，则没有最低点B.若和都有最小值，则有最低点C.若有最低点，则和都有最小值D.若有最低点，则或有最小值答案：AD解析：思路：可以举反例证明选项B、C的命题均为假命题，对A、D，根据“最低点”的定义分析，再分类讨论即可.解答过程：A选项，因为，定义域，所以，当，，所以点集中纵坐标可以任意小，没有下界，因此不存在最低点，故A正确.B选项，取，定义域为；取，定义域为.两函数都有最小值0，但，，交集为空，空集没有最低点，故B错.C选项，取（无最小值），（有最小值0）；则，，交集，存在最低点但无最小值，故C错误.D选项，设的最低点为，则或，若，则且对任意有，即有最小值，同理若，则有最小值，故或有最小值，故D正确.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______．答案：解析：思路：先根据等比中项的性质求出，便可求出前五项积.解答过程：解：由题意得：根据等比数列性质得∴，∴．故13.的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________．答案：解析：思路：由题意求出，从而得到展开式的通项公式，令，带入即可求出答案.令，得，则常数项为.解答过程：由题意得，，得，则的展开式通项为，令，得，则常数项为.14.在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．答案：解析：思路：根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率.解答过程：因为，根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1则或，解得或无解；②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，则或，方程组均无解；综上所述：，，，所以离心率.四、解答题15.在三棱柱中，侧面是菱形，，，.（1）求证：；（2）已知，，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：(1)取中点为,连接,然后证明垂直平分即可；（2）先证明两两垂直，然后建立空间直角坐标系计算即可.（1）取中点为,连接，在三棱柱中，侧面是菱形，，则为正三角形，取中点为，则，又平面，所以平面，因为平面，所以，因为是中点，所以.（2）在边长为2的正中，，在中，，则，又，所以，所以，所以两两垂直.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为，则，令，则设直线与平面所成角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为.16.数列是等差数列且，，数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为.答案：（1），；（2）解析：思路：（1）根据等差数列的首项和公差求通项公式；根据与的关系求等比数列的通项公式；（2）根据数列特征，采用错位相减法求和.解答过程：（1）数列是等差数列且，，∴，解得，，∴∵，①∴，，②①-②，得∴又，解得∴是以3为首项，3为公比的等比数列，∴（2）∵，∴，①∵，②①﹣②，，∴方法提示：本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的定义、通项公式，错位相减法求和，考查了推理能力、运算能能力，属于中档题.17.已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为．（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据直线斜率得到方程，求出或16，舍去不合要求的解，得到抛物线方程；（2）直线l的斜率不存在时，不合要求，设出直线l的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据中点Q在直线上，得到方程，求出，根据斜率之积得到，从而得到答案.（1）由题意得，点在C上，故，直线的斜率为，即，所以，解得或16，当时，，满足要求，当时，，不合要求，故抛物线C的标准方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，线段的中点Q在直线上，不合要求，舍去，设直线l的方程为，联立得，设，则，则，故中点Q的纵坐标为，线段的中点Q在直线上，故，解得，故，，解得，，，，由（1）知，则，，化简得且，解得，故直线l的方程为.18.《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事.假设在一片草场上有若干村民和一名牧童.每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救.若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题：（1）当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望；（2）当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率；（3）假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为.在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为.记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式.答案：（1）2（2）（3）解析：思路：（1）利用二项分布的数学期望公式计算即得；（2）由题意，可知即为求，先求得，再由，利用组合数的性质与运算公式即得；（3）由题意化简得，推出数列是首项为，公比为的等比数列，从而求得的解析式.（1）当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为，设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即，所以救援人数的期望值.（2）当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救.所以本题即求.而，则.故（*）故.附注：（*）式的证明如下：因，则，即，故.（3）村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救.故正常情况下，村民前往营救的概率为，当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的