2026-2027学年重庆市部分校高三上学期定时训练数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知，，，则（）A. B.C. D.3.已知函数，则（）A. B.C. D.4.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数的大致图像是（）A. B.C. D.6.设函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8.若函数，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.与表示同一个函数D.函数的单调减区间是10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.有三个零点B.当时，C.D.过点可以作条直线与曲线相切11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是以4为周期的周期函数C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则________．13.已知，，则的最小值为________．14.设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立．若，则实数的取值范围为________．四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知幂函数在上单调递减，函数．（1）求实数的值；（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围．16.某服装品牌公司计划在周边某城市开设加盟分店，为了确定在该城市开设分店的个数，该公司对已有个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（个）（万元）（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测若开设家分店，这家分店的年收入之和是多少？（2）若该公司最终决定在某城市选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该品牌服装．完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？不下单下单合计分店一分店二合计参考公式：，，，其中．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．18.围棋擂台赛“著名演员守擂”是赛事中最紧张的高强度对决环节，通常有一擂主与多位挑战者进行多轮棋艺较量．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．（1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．求该擂主连胜三局的概率．（2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：19.已知函数，，其中为正实数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，和的几何平均数为，算术平均数为．①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；②当时，证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以2.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用和作为中间量，比较的大小即可得解.解答过程：函数单调递增，又，所以，即；函数单调递减，又，所以，即；函数单调递增，又，所以，即，所以.3.已知函数，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由得.当时，则.4.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：先求出两个不等式的解集，然后判断充分性和必要性即可.解答过程：解分式不等式得，而的解集为，设集合，集合，可得是的真子集.如果，一定能推出，充分性成立；如果不一定推出，必要性不成立，由此可知，“”是“”的充分而不必要条件.5.函数的大致图像是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用奇函数的性质排除C，D，利用对数函数的性质排除B即可.解答过程：易得的定义域为，因为，所以，则是奇函数，关于原点对称，故C，D错误，令，解得，而当时，，故B错误.故选：A6.设函数，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先构造，并对其求导，再通过导函数判断单调性，再代入求得零点，最后再注意定义域的取值范围.解答过程：令，对求导得，因为，，，，，，所以，故函数在定义域内单调递减，又，所以当时；因的定义域为，则的定义域为且，所以成立的的取值范围为.7.已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围.解答过程：因为.所以或.当时，，此时方程无解；当时，，即，解得.因为为偶函数，所以有两解，分别为和.又方程恰有4个不同的实根，所以也有两个不同于和的两根.作出函数的草图如下：要使有两个不同于和的两根，则或且.8.若函数，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：构造函数，通过单调性对不等式进行转化即可得出a的取值范围.解答过程.若，恒成立；若，设，，在上单调递增，则当时，恒成立；所以在上恒成立令，，当时，,故在上为减函数，当时，,故在上为增函数，故在时取得最小值，所以，所以，即.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.与表示同一个函数D.函数的单调减区间是答案：ACD解析：思路：根据不等式的性质、函数的定义以及对数函数的单调区间逐项判断即可.解答过程：对于A，由于，可知，而，所以，A正确；对于B，若中有一个为0，那么不等式无意义，B错误；对于C，函数的定义域为，而的定义域为，且表达式相同，所以与表示同一个函数，C正确；对于D，要使函数有意义，则，即，解得或，要求的单调递减区间，即求函数的单调递增区间，根据抛物线的性质可知，的单调递增区间为，结合对数函数的定义域可得函数的单调减区间为，D正确.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.有三个零点B.当时，C.D.过点可以作条直线与曲线相切答案：BCD解析：思路：选项A，因式分解，重根只计个零点；选项B，换元法，令，确定的取值范围，利用函数单调性和极值求值域；选项C，利用为定值，再结合倒序相加法求值；选项D，设切点，写出切线方程，再将点代入，解出，即可判断切线数量.解答过程：对函数求导得，令，解得或，则的单调递增区间为，；令，解得，则的单调递减区间为，极大值，极小值.选项A，，则（二重根），，所以有两个零点，A错误.选项B，令，当时，则.当时，单调递减，，；当时，单调递增，，所以时，，，故，即，B正确.选项C，由题，则，所以，令，则，所以，则，C正确.选项D，设切点，则切线方程为，代入，得，则，整理得，解得（二重根）或，故过点可以作条直线与曲线相切，D正确.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是以4为周期的周期函数C.D.答案：AD解析：思路：A选项，由可得，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；B选项，先求出的周期，再由可得的周期；C选项，令可得；D选项，根据及可类推出即可求解.解答过程：对于A：因为为奇函数，所以，又，所以，所以，所以，又为偶函数，则，所以，则的图象关于直线对称，故A正确；对于B：因为，所以，又为奇函数，所以，所以，又为偶函数，，所以，则，即，即，所以是以8为周期的周期函数，由于，则，即也是以8为周期的周期函数，故B错误；对于C：由于为奇函数，则，令，则，所以，故C错误；对于D：由于，，则，，依次类推：，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则________．答案：19解析：解答过程：由，得，所以.13.已知，，则的最小值为________．答案：##解析：解答过程：由，，得，当且仅当时取等号，所以的最小值为.14.设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立．若，则实数的取值范围为________．答案：解析：思路：构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，根据奇偶性和单调性解不等式即可.解答过程：对任意的有恒成立，所以，令，则，所以为偶函数，又，因为在上成立，所以在上成立，所以在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，，，所以，解得，所以实数的取值范围为四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知幂函数在上单调递减，函数．（1）求实数的值；（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围．答案：（1）．（2）解析：思路：(1)结合幂函数的定义与单调性求解；（2）利用函数性质得到，，再利用得到，结合子集知识求解.（1）由题意得，，解得或，当时，，在上单调递减，满足题意；当时，，此时在上单调递增，不满足题意.综上，.（2）由（1）知，，又，则...，解得，即实数的取值范围为.16.某服装品牌公司计划在周边某城市开设加盟分店，为了确定在该城市开设分店的个数，该公司对已有个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（个）（万元）（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测若开设家分店，这家分店的年收入之和是多少？（2）若该公司最终决定在某城市选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为人，其中人会购买该品牌服装．完成下列表格，依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？不下单下单合计分店一分店二合计参考公式：，，，其中．答案：（1）；预测这家分店的年收入之和是万元（2）认为两个分店的顾客下单率有差异.不下单下单合计分店一分店二合计解析：思路：（1）直接根据最小二乘法求回归方程，并用回归方程求预测值；（2）直接由独立性检验计算并判断可得.（1）因为，，，，，，所以回归方程，当时，，所以预测这家分店年收入之和是万元．（2）由题意填写列联表如下：不下单下单合计分店一分店二合计零假设为：假设两个分店的顾客下单率无差异，，即，所以依据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立，即认为两个分店的顾客下单率有差异，该推断犯错误的概率不超过.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）解析：思路：（1）由函数可得函数的定义域及导数，再分类讨论导数的正负可得函数的单调性；（2）将不等式变形为，再构造函数，利用导数求函数的最小值，从而可得所求值的范围.（1）由题意可知函数的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增；当时，由解得；由解得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，所以不等式化为，即.所以在上恒成立，只需即可，令，则，因为，所以，函数在上单调递增，所以，所以，即．因此实数的取值范围为18.围棋擂台赛“著名演员守擂”是赛事中最紧张的高强度对决环节，通常有一擂主与多位挑战者进行多轮棋艺较量．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙．（1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．求该擂主连胜三局的概率．（2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值；（ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：答案：（1）（2）（i）的分布列为：245期望的最大值为．（ii）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，所以因此，得，而，所以．解析：思路：（1）由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可．（2）（i）求出所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ii）设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解．（1）设该擂主连胜三局为事件，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B，C，D，则由题知，事件B，C，D相互独立，所以，所以该擂主连胜三局的概率为．（2）（i）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则，