高考数学一轮复习第六章数列第33节等差数列课件

第33节等差数列课标要求考题分析1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年T7,T20T182024年T19T122025年T16T7主干梳理•基础落实

【知识梳理】1.等差数列的有关概念定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于____________,那么这个数列就叫作等差数列,即an+1−an=d(n∈N*,d为常数)通项公式设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=__________等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,__叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=_____同一个常数a1+(n−1)dAa+b2.等差数列的前n项和公式已知条件前n项和公式a1,an,na1,d,nna1d

7.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.8.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.9.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数),这里公差d=2A.

【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号312,4

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考点探究•核心突破

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12(3)(2024·新课标Ⅱ卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=__________.

【解析】设an=a1+(n−1)d,则由条件得2a1+5d=7,4a1+7d=5,解得a1=−4,d=3,则S10=5(2a1+9d)=95.95【方法总结】解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换求解.

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【对点训练】(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2−10n,则下列结论正确的有(

)A.{an}是递减数列 B.{an}是等差数列C.{Sn}是递增数列 D.S9<0√√【解析】选BD.Sn=n2−10n,当n=1时,a1=S1=1−10=−9;当n≥2时,an=Sn−Sn−1=(n2−10n)−[(n−1)2−10(n−1)]=2n−11,注意到n=1时也满足a1=2×1−11,所以数列{an}的通项公式为an=2n−11,n∈N*,an+1−an=2,{an}是递增数列,A选项错误;B选项正确;S1=1−10=−9,S2=22−20=−16,S1>S2,{Sn}不是递增数列,C选项错误;S9=92−10×9=−9<0,D选项正确.

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√角度2

等差数列的前n项和的性质及应用【例4】(1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为90,则它的前3m项和为(

)A.130 B.150 C.180 D.210【解析】选C.因为等差数列{an}的前n项和Sn中,Sm,S2m−Sm,S3m−S2m也成等差数列,即30,60,S3m−90成等差数列,所以S3m−90=2×60−30,所以S3m=180.√

√【对点训练】1.(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=−5,则S6=(

)A.−20 B.−15 C.−10 D.−5【解析】选B.因为{an}是等差数列,所以S3,S6−S3,S9−S6为等差数列,即30,51−30,S9−51成等差数列,所以2×(51−30)=30+(S9−51),解得S9=63.√

√角度3

等差数列前n项和的最值【例5】(1)(2025·烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,且S3=S16,则Sn取最大值时,n=(

)A.9 B.10C.9或10 D.10或11√

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【对点训练】1.等差数列{an}中,a1>0,S7=S9,则使得前n项的和最大的n值为(

)A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.在等差数列{an}中,a1>0,由S7=S9,可得a8+a9=0,所以a8>0,a9<0,且数列{an}为递减数列,所以使得前n项的和最大的n值为8.√2