30.3 正多边形与圆-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#人教版九年级下册30.3正多边形与圆专项练习##知识梳理###1.概念-**正多边形**：各边相等、各角也相等的多边形。-正多边形和圆的关系：把一个圆分成$n(n\ge3)$等份，依次连接各分点，得到这个圆的**内接正$n$边形**；这个圆叫做正多边形的**外接圆**。###2.相关名称设正$n$边形外接圆半径为$R$（也叫正多边形的**半径**）-**中心**：外接圆圆心-**中心角**：相邻两个顶点与中心连线的夹角$$\boldsymbol{\theta=\dfrac{360^\circ}{n}}$$-**边心距$r$**：中心到正多边形一边的距离（也是内切圆半径）-边长$a_n$、半径$R$、边心距$r$构成直角三角形：$$\boldsymbol{\left(\dfrac{a_n}{2}\right)^2+r^2=R^2}$$###3.常用公式-正$n$边形内角：$\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}$-正$n$边形外角：$\dfrac{360^\circ}{n}$（外角=中心角）-周长：$C=n\cdota_n$-面积：$S=\dfrac12\timesC\timesr$（周长×边心距÷2）###4.重点特例-正六边形：边长=外接圆半径$a_6=R$；中心角$60^\circ$-正方形：中心角$90^\circ$；$a_4=\sqrt2R$-正三角形：中心角$120^\circ$；$a_3=\sqrt3R$###✅易错提醒1.各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形）；各角相等也不一定（如矩形），必须**边、角都相等**。2.区分：外接圆半径$R$、边心距$r$（内切圆半径）。3.计算一律拆成等腰三角形，再作垂线分成两个全等直角三角形。---##一、选择题（每题4分，共24分）1.正六边形的中心角是（）A.45°B.60°C.90°D.120°2.下列说法正确的是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.各角相等的多边形是正多边形C.圆内接矩形是正多边形D.圆内接菱形是正多边形3.一个正多边形中心角是45°，它的边数为（）A.6B.7C.8D.94.正六边形外接圆半径为4，则它的边长为（）A.2B.4C.$4\sqrt3$D.85.正方形外接圆半径为2，则正方形边长为（）A.2B.$\sqrt2$C.$2\sqrt2$D.46.正五边形每个内角的度数是（）A.72°B.108°C.120°D.135°##二、填空题（每题4分，共24分）7.正八边形的中心角等于________°。8.正多边形中心角为30°，则这个正多边形是正____边形。9.正六边形边长为5，则它的边心距为________。10.半径为$R$的圆内接正三角形边长为________。11.正十边形每个外角等于________°。12.正方形边心距为3，则正方形外接圆半径为________。##三、解答题（共52分）13.（10分）已知正六边形外接圆半径$\(R=6\)$，求它的边长、边心距和面积。14.（10分）一个正多边形，每个内角是144°，求它的边数和中心角。15.（10分）正方形外接圆半径为4，求正方形的边长、边心距。16.（10分）正三角形外接圆半径$\(R=4\)$，求它的边长、边心距。17.（12分）正六边形边长为$\(a=4\)$，求：（1）外接圆半径；（2）边心距；（3）面积。---##参考答案与解析1.B解析：$\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$2.D解析：圆内接菱形四边相等，对角相等，且圆内接四边形对角互补，所以四个角都相等，是正方形（正四边形）。3.C解析：$n=\dfrac{360^\circ}{45^\circ}=8$4.B解析：正六边形边长等于外接圆半径5.C解析：半边长$=\sqrt{2^2-(\sqrt2)^2}$，半边长$=\sqrt2$，边长$=2\sqrt2$6.B解析：$\dfrac{(5-2)\times180^\circ}{5}=108^\circ$7.45解析：$360\div8=45$8.12解析：$360\div30=12$9.$\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt3}{2}}$解析：$r=\dfrac{\sqrt3}{2}\times5$10.$\boldsymbol{\sqrt3R}$11.36解析：外角和360°，$360\div10=36$12.$\boldsymbol{3\sqrt2}$解析：边心距是等腰直角三角形直角边3，斜边$R=3\sqrt2$13.解：正六边形边长$a=\(R=6\)$边心距$r=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3$面积：6个等边三角形，$S=6\times\dfrac{\sqrt3}{4}\times6^2=54\sqrt3$答：边长6，边心距$3\sqrt3$，面积$54\sqrt3$。14.解：外角$=180^\circ-144^\circ=36^\circ$边数$n=\dfrac{360^\circ}{36^\circ}=10$中心角$=\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$答：正十边形，中心角36°。15.解：半边长$=\sqrt{4^2-r^2}$，中心角90°，半中心角45°边心距$r=4\sin45^\circ=2\sqrt2$，半边长$=2\sqrt2$，边长$=4\sqrt2$答：边长$4\sqrt2$，边心距$2\sqrt2$。16.解：半中心角60°，边心距$r=R\cdot\cos60^\circ=4\times\dfrac12=2$半边长$=R\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3$，边长$=4\sqrt3$答：边长$4\sqrt3$，边心距2。17.解：（1）正六边形边长等于外接圆半径，$\(R=4\)$（2）边心距$r=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3$（3）$S=\dfrac12\times(6\times4)\times2\sqrt3=24\sqrt3$答：外接圆半径4，边心距$2\sqrt3$，面积$24\sqrt3$。---下一节：**30.4弧长和扇形面积、圆锥的侧面积和全面积**，要不要继续这套同格式练习题？人教版（新教材）数学九年级上册30.3正多边形与圆授课教师：.

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9年级（

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2026/11/4

第三十章直线与圆的位置关系

同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.多边形是否有外接圆、内切圆呢？三角形的外接圆三角形的内切圆……正方形正五边方形探索新知图形名称边的关系角的关系……………………四条边相等三个角相等（60°）三条边相等四个角相等（90°）六条边相等五个角相等（108°）五条边相等六个角相等（120°）等边三角形正方形正五边形正六边形各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？矩形不符合各边相等菱形不符合各角相等正多边形各边相等各角相等缺一不可说一说你还能找出哪些正多边形呢？【教材P106练习第1题】是正多边形3条4条5条6条正多边形都是

图形，一个正n边形共有

条对称轴，每条对称轴都通过n边形的

.边数是偶数的正多边形还是

，它的中心就是对称中心.轴对称n中心中心对称图形有没有对称轴？想一想观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形的图形吗?你知道正多边形与圆的关系吗？把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？弧相等弦相等圆周角相等（多边形的边相等）（多边形的角相等）多边形是正多边形如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？【单击圆跳转几何画板】将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形.∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明.证明：∵AB=BC=CD=DE=EA⌒⌒⌒⌒⌒∴BCE=CDA=3AB⌒⌒⌒OABCDEOABCDE

正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.中心边心距中心角半径外接圆的圆心外接圆的半径正多边形的每一条边所对的圆心角弦心距正多边形的中心正多边形的半径正多边形的中心角正多边形的边心距O圆心半径圆心角弦心距弦O中心半径边心距中心角类比学习圆内接正多边形知识点1

与正多边形有关的计算

CA.4

B.6

C.8

D.12返回（第2题）

B

返回（第3题）

C

返回1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。【教材P163练习第1题】解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.思考证明一个多边形是正多边形的方法：证明多边形的各角都相等，各边都相等.证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等.正n边形的一个内角的度数是____________；中心角是___________；正多边形的中心角与外角的大小关系是________；正多边形的中心角与内角的大小关系是________.相等互补想一想例延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为6m的正八边形(如图).求塔基的面积（结果保留小数点后一位).ABOPCDEFGH

ABOPCDEFGH添加辅助线的方法：连半径，得中心角；作边心距，构造直角三角形方法归纳圆内接正多边形的辅助线边心距r半径R中心角一半边长一半实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.动手操作操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的6个等分点；O60°60°F60°E60°D60°C60°AB解：方法1

（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O

；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．（2）用量角器画∠AOB＝＝60°，再用圆规依次截取

，得到圆的6个等分点；ABOCDEF

方法2

（1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O

；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．还有其他方法吗？对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．ABOCDEF

方法3先作一个⊙O，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABC·90°72°120°复习巩固1.完成下表中有关正多边形的计算:状元成才路正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积360°4612.要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，所选圆形铁片的半径至少是多少？a

状元成才路3.正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？解：正多边形都是轴对称图形.若正多边形的边数是偶数，则对称轴是各对角顶点连线所在的直线和各对边中点连线所在的直线；若正多边形的边数是奇数,则对称轴是各边中点和对角顶点连线所在的直线。边数是偶数的正多边形是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心状元成才路4.如图，F,G,H,I,J分别是正五边形ABCDE各边的中点，求证:五边形FGHIJ是正五边形.ABC