高考数学一轮复习第八章直线与圆、圆锥曲线第51节抛物线课件

第51节抛物线课标要求考题分析1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质(范围、对称性、顶点).2.了解抛物线的简单应用.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年T22T102024年−T102025年T10T6主干梳理•基础落实【知识梳理】1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的_____,直线l叫作抛物线的_____.相等焦点准线2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离顶点坐标_______对称轴________焦点坐标______________________________准线方程___________________离心率e=1O(0,0)

x轴y轴【常用结论】已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论:

【知能自测】1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(

)(2)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(

)类型回源教材澄清盲点题号2,3,41×√

××

√

√4.(选择性必修第一册P134·例3变式)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(−2,−4),则该抛物线的标准方程为____________________.

【解析】设抛物线方程为y2=2px(p≠0)或x2=2py(p≠0).将P(−2,−4)代入,分别得方程为y2=−8x或x2=−y.y2=−8x或x2=−y考点探究•核心突破考点一

抛物线的定义及应用【例1】(1)(2026·青岛模拟)在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(−2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为(

)A.y2=2x

B.y2=4xC.y2=−4x

D.y2=−8x【解析】选D.由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与定点(−2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(−2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=−8x.√

【方法总结】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.【对点训练】1.(2023·北京卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若点M到直线x=−3的距离为5,则|MF|=(

)A.7 B.6 C.5 D.4√【解析】选D.如图所示,因为点M到直线x=−3的距离|MR|=5,所以点M到直线x=−2的距离|MN|=4.又抛物线上点M到准线x=−2的距离和到焦点F的距离相等,故|MF|=|MN|=4.2.(2025·广州模拟)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=________.

4

考点二

抛物线的标准方程【例2】(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的标准方程为(

)A.y2=4x或y2=8x

B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x√

(2)(一题多法)(2021·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为____________.

【方法总结】求抛物线的标准方程的方法(1)直接法:直接利用题中已知条件确定参数p.(2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0).[注意]参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题.【对点训练】1.(2025·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程为(

)A.x2=4y

B.x2=−4yC.x2=−2y D.x2=2y√

y2=4x

√√√

√√√

【方法总结】抛物线性质的应用技巧(1)使用抛物线的性质解决有关问题时,关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的