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第31节复数课标要求考题分析1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解复数相等的含义.3.掌握复数代数形式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年T2T12024年T2T12025年T1T2主干梳理•基础落实

【知识梳理】1.复数的有关概念(1)复数的定义把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集.实部是__,虚部是__.ab(2)复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R).

a=c且b=da=c且b=−d|z||a+bi|

(a+c)+(b+d)i(a−c)+(b−d)i(ac−bd)+(ad+bc)i(2)复数的运算律对任何z1,z2,z3∈C:①复数加法:交换律:z1+z2=z2+z1;结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).②复数乘法:交换律:z1·z2=z2·z1;结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号2,513,4

×××√

√

√

i

12,26考点探究•核心突破

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√

√

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√√√

【方法总结】复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=−1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.

√2.(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为(

)A.−1 B.0 C.1 D.6【解析】选C.z=(1+5i)i=−5+i,所以z的虚部为1.√考点三

复数的几何意义【例3】(1)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3−i)对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.(1+3i)(3−i)=6+8i,故对应的点在第一象限.√

√

√√

【方法总结】复数几何意义的解题策略(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.(2)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解:①|z−z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;②||z1|−|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.

√

√

√√√

(2)(一题多法)(2025·广州模拟)已知(1+i)z=4i,z是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则mn=_______.

−32

【方法总结】复数与方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式

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