中考数学压轴题

中考初中数学压轴题精选（有答案）

一.解答题（共30小题）

1.（2014.攀枝花）如图，以点P（-1,0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两

点（A在D的下方），AD=2近,将4ABC绕点P旋转180°,得到△MCB.

（1）求B、C两点的坐标；

（2）谓在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线I从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线I与CM交点为E,点Q为

BE的中点，过点E作EG±BC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程中NMQG的大小是否变化若不变，求出NMQG的度

数；若变化，请说明理由.

2.（2014.苏州〉如图，已知IJLI,00与I,I都相切，＜30的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与I,

12121

I?重合，AB=4jjcm,AD=4cm,若。0与矩形ABCD沿1同时向右移动，O0的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动

速度为4cm/s,设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接0A、AC,则N0AC的度数为______________°;

（2）如图②，两个图形移动一段时间后，至怅。0的位置，矩形ABCD到达ABCD的位置，此时点0,A,C

1111111

恰好在同一直线上，求圆心。移动的距离（即00的长）；

1

（3）在移动过程中，圆心0到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）,当dV2时，求t

的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）.

A

3.（2014-泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数尸-且+b（b为常数，b>0）的图象与x轴、y轴分别

4

相交于点A、B,半径为4的。0与x轴正半轴相交于点C,与y轴相交于点D、E,点D在点E上方.

（1）若直线AB与CD有两个交点F、G.

①求NCFE的度数；

②用含b的代数式表示FG2,并直接写出b的取值范围；

（2）设b25,在线段AB上是否存在点P,使NCPEN5。若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2014.上海）如图1,已知在平行四边形ABCD中，AB=5,BC=8,cosB=-1点P是边BC上的动点，以CP为半

径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G.

图1芸2

(1)当圆c经过点A时，求CP的长；

(?)连接AP,当AP〃CG时，求弦FF的长；

(3)当AAGE是等腰三角形时，求圆C的半径长.

5.(2014-常州)在平面直角坐标系xOy中，点M(6,6),以点M为圆心，0M长为半径作。M.使。M与直线

0M的另一交点为点B,与x轴，y轴的另一交点分别为点D,A(如图)，连接AM.点P是标上的动点.

(1)写出NAMB的度数；

(2)点Q在射线0P上，且0P・0Q=20,过点Q作QC垂直于直线0M,垂足为C,直线QC交x轴于点E.

①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；

②连接QD,设点Q的纵坐标为t,AQ0D的面积为S.求S与t的函数关系式及S的取值范围.

6.(2014•漳州)阅读材料：如图1,在AAOB中，Z0=90°,0A=03,点P在AB边上，PE_LOA于点E,PF_LOB于

点、F,则PE+PF=0A.(此结论不必证明，可直接应用)

(1)【理解与应用】

如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点0,点P在AB边上，PE_LOA于点E,PFLOB于点F,则

PE+PF的值为.

(2)【类比与推理】

如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=4,AD=3,点P在AB

边上，PE/70B交AC于点E,PF/70A交BD于点F,求PE+PF的值；

(3)【柘展与延伸】

(2)如图②，在AABC中，NABC=60'，BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，

RC边上存在一点0,使NF0F=90°,求此时R。的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来

监视边AB,现只要使NAMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA二NE=ND=90°,AB=270m,

AE=400n,ED=285叫CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=600若存在，请求出符合条件的DM的长，若

不存在，请说明理由.

(2)若AB=5,AP=BP,求PD的长;

(3)在点P运动过程中，设舒x,tanZAFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)

11.(2014.宁波)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案:

方案一：直接锯一个半径最大的圆；

方案二：圆心0、0分别在CD、AB±,半径分别是0C、0A,锯两个外切的半圆拼成一个圆；

1212

方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；

方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.

(1)写出方案一中圆的半径；

(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大

(3)在方案四中，设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.

①求V关于x的出数解析式；

②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.

12.（2C14.徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm,

AD二4cm,点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆0,点F为圆0与射线BD的公共点，连接EF、CF,

过点E作EG_LEF,EG与圆0相交于点G,连接CG.

（1）试说明四边形EFCG是矩形;

（2）当圆0与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中,

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值若存在，求出这个最大值或最小

值；若不存在，说明理由;

13.（2014*东昌府区三模）已知：如图，在aABC中，AB=BC,D是AC中点，BE平分NABD交AC于点E,点。是

AB上一点，。。过B、E两点，交BD干点G,交AB于点F.

（1）求证：AC与。0相切；

（2）当BD=6,sinC二4寸，求。0的半径.

14.（2014.安徼模拟）阅读材料：如图，4AB冲，AB=AC,P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r,

1

r,腰上的高为h,连接AP,则S+S=S,即：LB・r+Ac・r=&・h,「.r+r=h

2AABPAACP△ABC'工1。22]2

（D理解与应用

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形"，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任

一点”，即：已知边长为2的等边4ABC内任意一点P到各边的距离分别为r；r,r/试证明：

（2）类比与推理

边长为?的正方形内任意一点到各边的距离的和等于

（3）拓展与延伸

若边长为2的正n边形A,A,…An内部任意一点P到各边的距离为r,,r.-r,请问rfr

1212n1

否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值.

15.（2014.安徽名校一模）如图4ABC中/A=90",以AB为直径的30交BC于D,E为AC边中点，求证：DE是。0

的切线.

16.（2014.灌南县模拟）如图，AB是。0的直径，AC是弦，NACD二4NAOC,ADJ_CD于点D.

（1）求证：CDgOO的切线；

（2）若AB=10,AD=2,求AC的长.

17.（2014*普陀区二模）如图，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,点D为BC边上一动点（不与点B重合），过D

作射线DE交AB边于E,使NBDE=NA,以D为圆心、DC的长为半径作。D.

（1）设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域.

。）当GD与AB边相切时，求RD的长.

（3）如果。E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，0D与。E相切

18.（2014.江西模拟）如图，矩形ABCD的边AB=4,BC=3,一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆0

的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度.P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边

BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F.设点P的刻度数为n,NPAB二a.

（1）当n=136时，a=,求出a与n的关系式；

（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；

（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着a的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线

上时、在DC的延长线上时，对应的a值分别是多少（参考数据：°\）

（4）隹接BP,在P点的运动过程中，是否存在4ABP与4CEF相似的情况若存在，求出此时n的值以及相应的EF

的长；若不存在，请说明理由.

19.（2014-广东模）如图，正方形ABCD的边长是8cm,以正方形的中心。为圆心，□■为直径的半圆切AB于M、

Jr

切BC于N已知C为BG的中点，配交CD于H.P,Q同时从A出发，P以1cm/s的速度沿折线ADCG运动，Q以0m/s

2

的速速沿线段AG方向运动，P,Q中有一点到达终点时，整个运动停止.P,0运动的时间记为t.

（1）当廿4时，求证：APEF04MEF；

（2）当04tW8时，试判断PQ与CD的位置关系；

（3）当t>8时，是否存在t使得J：_=亚若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由.

EF2+16A/216

20.(2013*营口)如图，点C是以AB为直径的。0上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D.

(1)求证：AC平分NBAD；

(2)若CD=1,AC=J而，求。0的半径长.

21.(2013*襄阳)如图，^ABC内接于。0,且AB为。。的直径.NACB的平分线交。0于点D,过点D作。。的切

线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE_LCD于点E,过点B作BF_LCD于点F.

(1)求证：DP/7AB；

(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.

22.(2013•曲靖)如图，。。的直径AB=10,C、D是圆上的两点，且AC=CD二DB.设过点D的切线ED交AC的延

长线于点F.连接0C交AD于点G.

(1)求证：DF±AF.

。）求OR的长.

23.（2013•德阳）如图，已知AB是00直径，BC是。0的弦，弦EDLAB于点F,交BC于点G,过点C作。0的切

线与ED的延长线交于点P.

（1）求证：PC=PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、B0三者之间的数量关系，并

写出证明过程；

（3）在满足（2）的条件下，已知。0的半径为5,若点0到BC的距离为百寸，求弦ED的长.

24.（2013.贺州）已知：。。的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与。。相

切于点A,M.

（1）求证：点P是线段AC的中点；

（2）求sin/PMC的值.

25.（2013*兰州）已知，如图，直线MN交。。于A,B两点，AC是直径，AD平分NCAM交。。于D,过D作DE_LMN

于E.

（1）求证：DE是的切线;

(2)若DE=6cm,AE=3cm,求。0的半径.

26.(2013*南宁)如图，在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AB是。0的直径，。。交BC于点D,DEJ_AC于点E,

BE交。0于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.

(1)求证：DE是的切线；

(2)求tanNABE的值；

(3)若0A=2,求线段AP的长.

C

27.(2013-长沙)如图，Z\ABC中，以AB为直径的。。交AC于点D,NDBC二NBAC.

(1)求证：BC是的切线；

(2)若。0的半径为2,NBAC=3O°,求图中阴影部分的面积.

28.(2013-广安)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE_LAC,

垂足为点E,交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是。0的切线.1

(2)如果。0的半径为5,sinZADE=-1求BF的长.J/\

MEABN

nR

29.（2013-沈阳）如图，OC平分NMON,点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的。A与0M相切于点B,连

接BA并延长交。A于点D,交ON于点E.

（1）求证：ON是OA的切线；

（2）若NM0N=60°,求图中阴影部分的面积.（结果保留n）

30.（2013・宜宾）如图，AB是。0的直径，NB=NCAD.

（1）求证：AC是。0的切线；

（2）若点E是丽的中点，连接AE交BC于点F,当BD=5,CD=4时，求AF的值.

E

参考答案与试题解析

一.解答题（共30小题）

1.（2014攀枝花）如图，以点P（-1,0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两

点（A在D的下方），AD=26，将4ABC绕点P旋转180°,得到△MCB.

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求山点M的坐标；

（3）动直线I从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线I与CM交点为E,点Q为

BE的中点，过点E作EG±BC于G,连接MQ、QG.请问在旋转过程中NMQG的大小是否变化若不变，求出NMQG的度

数；若变化，请说明理由.

考点：圆的综合题.

专题：压轴题.

分析：（1）连接PA,运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标.

（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M,连接MB、MC即可；易证四

边形ACMB是矩形；过点M作MH_LBC,垂足为H,易证△MHP经ZXAOP,从而求出MH、0H的长，进而得到点M

的坐标.

（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到NMQG=2NMBG.易得N0CA=60°,

从而得到NMBG=60",进而得到NMQG=120",所以NMQG是定值.

解答：解（1）连接PA,如图1所示.

•.,PO±AD,

/.AO=DO.

VAD=2>/3,

.*.0A=V3.

•.•点P坐标为(-1,0),

/.0P=1.

*',PA=7OP2+OA2=2-

.•.BP二CP=2.

.,.B(-3,0),C(1,0).

(2)连接AP,延长AP交。P于点M,连接MB、

MC.如图2所示，线段MB、NC即为所求作.

四边形ACMB是矩

形.理由如下：

VAMCB由4ABC绕点P旋转180°所得，

.•・四边形ACMB是平行四边形.

VBC是。P的直径，

ZCAB=90°.

・•.平行四边形ACMB是矩形.

过点M作MH_LBC,垂足为H,如图2所

示.在△MHP和AAOP中，

VZMHP=ZAOP,ZHPM=ZOPA,MP=AP,

.,.△MHP^AAOP.

,-.MH=0A=V3,PH=P0=1.

.-.0H=2.

•••点M的坐标为(-2,V3).

(3)在旋转过程中NMQG的大小不变.

•••四边形ACMB是矩形，

.•・NBMC=90°.

VEG±BO,

ZBGE-900.

ZBMC=ZBGE=90°.

•••点Q是BE的中点，

.*.QM=QF=QB=QG.

，点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如匿3所示.

，ZMQG=2ZMBG.

•/ZC0A=90°,0C=1,GA二代

*'•tanN0cA=。

oc

7.Z0CA=60°.

/.ZMBC=ZBCA=60°.

/.ZMQG=120°.

「•在旋转过程中NMQG的大小不变，始终等于120°.

图3

点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的

三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强.证明点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解

决第三小题的关键.

2.(2014苏州)如图，已知ILI,00与I,I都相切，。。的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB分别与I,

12121

I?重合，AB=4j&m,AD=4cm,若。0与矩形ABCD沿1同时向右移动，。0的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动

速度为4cm/s,设移动时间为t(s)

(1)如图①，连接0A、AC,则N0AC的度数为105°；

(2)如图②，两个图形移动一段时间后，至肱。0的位置，矩形ABCD到达ABCD的位置，此时点0,A,C

1111111

恰好在同一直线上，求圆心0移动的距离(即00的长)；

1

(3)在移动过程中，圆心0到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm),当dV2时，求t

的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).

考点：圆的综合题.

专题：几何综合题；压轴题.

分析：(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出N0AD=45°,NDAC=60°,进而得出答案；

(2)首先得出，NCAD=60°,再利用AE二AA-00-2=t-2,求出t的值，进而得出00=3t得出答案即

1111111

可；

<3)①当直线AC与O0第一次相切时，设移动时间为t,②当直线AC与00第二次相切时，设移动时间

1

为t,分别求出即可.

2

解答：解(1)Tl_U,。0与I,I都相切，

1212

Z0AD=45°,

AB=4V3°m，AD=4cm,

••.CD=4岳m,

.…/i一R

..tan21DAG-■一\).“

AD4

/.ZDAC=60°,

/.ZOAC的度数为:Z0AD+ZDAfi=105°,

故答案为：105；

(2)如图位置二，当0,A,C恰好在同一直线上时，设00与I的切点为E,

11111

连接0E,可得0E=2,0E±l,

iii1

在RtZ\ADC中，VAD=4,0D=4\/3,

1111111v

/.tanZCAD=\[3,/.ZCAD=60°,

111▼111

在RtZiAOE中，Z0AE=ZCAD=60°,

iiii,1i

.,.AE=——2。一2”

,tan603

VAE=AA-00-2=t-2,

111

.t_2=2V3

3

3

.,.00=3t=273+6；

（3）①当直线AC与（DO第一次相切时，设移动时间为t,

1

如图，此时。0移动到。0的位置，矩形ABCD移动到ABCD的位置,

22222

设O。与直线I,AC分别相切丁点F,G,连接OF,OG,0A,

21222222

/.0F±l,OG±AC,

21222

由(2)得，ZCAD=60°,ZGAF=120°,

/.Z0AF=60°,

SRtAA202F中，02F=2,.,.A2F=^^,

22223

V00=3t,A「=AAlAr=4t,2^3

212213

At=2-2"

13

②当直线AC与00第二次相切时，设移动时间为t,

2

记第一次相切时为位置一，点。，A,C共线时位置二，第二次相切时为位置三，

111

由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，

...至兔-（2=t-心应2）,

3323

解得：上2=2+26，

综上所述，当dV2时，t的取值范围是：2-2近VtV2+2\/5.

3

点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.

3.（2014泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数尸-*+b（b为常数，b>0）的图象与x轴、y轴分别

相交于点A、B,半径为4的00与X轴正半轴相交于点C,与y轴相交于点D、E,点D在点E上方.

（1）若直线AB与CD有两个交点F、G.

①求NCFE的度数；

②用含b的代数式表示FG2,并直接写出b的取值范围;

（2）设b25,在线段AB上是否存在点P,使NCPE=45°若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

考点：圆的综合题.

专题：几何综合题；压轴题.

分析：Q）连接CD,EA,利用同一条弦所对的圆周角相等求行NCFE=45°,

（2）作OMLAB点M,连接0F,利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM?,再求出

FGS再根据式子写出b的范围，

（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P,使NCPEN5。，再利用AAPOs4AOB和△AMPS/\A0B相似得出

点p的坐标，再求出OP所在的直线解析

/.ZCFE^ZC0E=45<,,（圆周角定理）

②方法一：

A0M所在的直线函数式为：y二04,

•,.FG2=4FM?=4X⑷-(鸟)？-(4)2]=64-史b?=64X(1-AbO,

25252525

;直线AB与桎有两个交点F、G.

，4WbV5,

.*.FG2=64X(1-(4WbV5)

方法二:

•・•直线的函数式为：y=-&+b,

4

••.B的坐标为（0,b）,A的坐标为（务，0）,

•,-AB=7OB2+OA2=^5,

二.sinNMAO二里夫士

AO卷5

4

.-.0M=-b,

5

，在RTAOMF中，

FM=]/0F2-0I^42-(|b)2

VFG=2FM,

/.FG2=4FM2=4(42-骂2)=64--^2=64X(1-Ab2),

252525

•・.直线AB与而有两个交点F、G.

，4WbV5,

...FG2=64X(1-(4WbV5)

（2）如图,

（备用图）

当b=5时，直线与圆相切，

•••在直角坐标系中，NCOE=90°,

NCPE=N0DC=45°,

••・存在点P,使NCPE=45°,

连接0P,

VP是切点,

.,.0P±AB,

.,.△APO^AAOB,

.OP-AP

-OBAO1

2Q

•.-0P=r=4,0B=5,A0=—,

3

,••AB=病凝后号）嚼

作PMJLAO交AO于点M,设P的坐标为（x,y）,

VAAMP^AAOB,

PfLAP

BOAB

16

x=0M=Jop2_（＜）2=^

•••点P的坐标为（丝，学）.

55

点评：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，利用三角形相似求出点P的坐标.

4.(2014.上海)如图1,已知在平行四边形ABCD中，AB=5,BC=8,cosB=-1点P是边BC上的动点，以CP为半

径的E1C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧)，射线CE与射线BA交于点G.

(2)连接AP,当AP〃CG时，求弦EF的长；

(3)当AAGE是等腰三角形时，求圆C的半径长.

考点：圆的综合

题.专题：压轴题.

分析：(1)当点A在。C上时，点E和点A重合，过点A作AH±EC于H,直接利用勾股定理求出AC进而得出答

案；

(2)首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；

(3)ZGAE*ZBGC,只能NAGE二NAEG,利用AD〃BC,得出△GAEs/\GBC,进而求出即

可.解答：解(1)如图1,设。。的半径为r,

当点A在。C上时，点E和点A重合，过点A作AH_LBC±H,

「.BH=AB・cosB=4,

/.AH=3,CH=4,

•••ALJAF+CHN,

二.此时CP=r二5；

(2)如图2,若AP〃CE,APCE为平行四边形，

•.,CE=CP,

二•四边形APCE是菱形，

连接ACxEP,则AC_LEP,

.,.AM=CM=~,

由(1)知，AB=AC,则NACB二NB,

•.•pUpr-pvuc-1CM,.-।25

cosZACB8

(3)如图3：过点C作CN_LAD于点N,设AQ_LBC,

•.•世cosB,AB二5,

AB

二.BQ二4,AN二QC二BC-BQ=4.

4

,/cosB—,

5

ZB<45a,

ZBCG<90°,

/.ZBGC>45°,

/.ZBGC>ZB=ZGAE,即/BGCHNGAE,

又ZAEG=NBCG2NACB=ZB=ZGAE,

.•.当/AEG二NGAE时，A、E、G重合，则AAGE不存

在.即NAEGHNGAE

了.只能NAGE二NAEG,

VADZ/BC,

/.△GAE^AGBC,

.AE.AGnnAEAE

CBBG8AE+5

解得:AE=3,EN=AN-AE=1,

CEWEN2+cN&J32+1」技。

BQP

图3

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出

△AGE是等腰三角形时只能NAGE二NAEG进而求出是解题关键.

5.(2014.常州)在平面直角坐标系xOy中，点M(泥,&)，以点M为圆心，0M长为半任作。M.使0M与直线

0M的另一交点为点B,与x轴，y轴的另一交点分别为点D,A(如图)，连接AM.点P是标上的动点.

(1)写出NAMB的度数；

(2)点Q在射线0P上，且0P・0Q=20,过点Q作QC垂直于直线0M,垂足为C,直线QC交x轴于点E.

①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；

②连接QD,设点。的纵坐标为3AQOD的面积为9.求S与十的函数关系式及S的取值范围.

考点：圆的综合题.

专题：几何综合题；压轴题.

分析：(1)首先过点M作MH_LOD于点H,由点M(J2,6)，可得NM0H=45°,0H=MH二最，继而求得NA0M=45°,

又由OM=AM,可得AAOM是等腰直角三角形，继而可求得NAMB的度数；

(2)①由0H二MH二量,MHJ_OD,即可求得0D与0M的值，继而可得0B的长，又由动点P与点B重合时,0P・0Q=20,

可求得0Q的长，继而求得答案；

②由0D=2v/2,0的纵坐标为十，即可得S二工乂2料弋二&t，然后分别从当动点P与R点重合时，过点。

乙

作QF_Lx轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答

案.解答：解：(1)过点M作MH_L0D于点H,

;点M(&,扬,

」.0H=MH=

/.ZM0D=45°,

,/ZA0D=90°,

/.ZA0M=45°,

•「OM=AM,

Z0AM=ZA0M=45°,

/.ZAM0=90°,

NAMB=90°；

(2)①•「OH二MH±OD,

•••0M=加居HF=2,0D=20H=2>/2,

.,.0B=4,

:动点P与点B重合时，UP・0Q=20,

/.0Q=5,

Z0QE=90o,ZP0E=45°,

，0E=5亚,

・・・E点坐标为(5圾,0)

②:。。二2旗,Q的纵坐标为t,

•i•s=1x272t=V2t.

乙

如图2,当动点P与B点重合时，过点Q作QF_Lx轴，垂足为F点，

,.■0P=4,OP*0Q=20,

0Q—59

Z0FC=90°,ZQ0D=45°,

.•.t=QF二卬

2

此时S二近乂呼二5；

如图3,当动点P与A点重合时，Q点在y轴上,

，0P=2废，

,/0P00=20,

.*.t=0Q=5x/2,

ii匕时s=V2x572=10；

AS的取值范围为5WSW取.

点评:此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法,

注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

6.（2014漳州）阅读材料：如图1,在aAOB中，Z0=90°,0A=0B,点P在AB边上，PE_LOA于点E,PFJLOB于

点F,则PE+PF=0A.（此结论不必证明，可直接应用）

I【理解与应用】

如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点0,点P在AB边上，PEJLOA于点E,PFJ_OB于点F,则

PE+PF的值为一JL.

5【类比与推理】

如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=4,AD=3,点P在AB边上，PE〃OB交AC于点E,PF〃OA交BD

于点F,求PE+PF的值；

3【拓展与延伸】

如图4,00的半径为4,A,B,C,D是。0上的四点，过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上，PE//BC

交AC于点E,PF〃AD于点F,当NADG=NBCH=30°时，PE+PF是否为定值若是，请求出这个定值；若不是，请说明

理由.

考点：圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性

质.

专题：压轴题；探究型.

分析：Q）易证：OA=OB,NA0B=90°,直接运用阅读材料中的结论即可解决问题.

(2)易证：OA=OB=OC=OD=-^然后由条件PE〃OB,PFZ/AO可证△AEPs/iAOB,ABFP^ABOA,从而可得

等髓喷I'进而求出EP+F嗯

（3）易证：AD=BC=4.仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4,因而PE+PF是定

值.解答：解（1）如图2,

丁四边形ABCD是正方形,

/.OA=OB=OC=OD,ZABC=ZA0B=90°.

•「AB=BC=2,

「,AC=2近

/.0A=V2.

•.•OA=OB,ZA0B=90°,PE±OA,PF±OB,

.,.PE+PF=0A=V2.

(2)如图3,

•••四边形ABCD是矩形，

.,.OA=OB=OC=OD,NDAB=90°.

TAB=4,AD=3,

.,.BD=5.

/.0A=0B=0C=0D=-^

2

VPE/70B,PF/7A0,

/.△AEP^AAOB,ABFP^ABOA.

,_EP_APFP_BP

.而而K而

.EPFP-APBP-.

*'OBOAAB^B-'

EPFP

.号号

~2~2

.,.EP+FP=­.

2

••.PE+PF的值为|.

(3)当NADG=NBCH二30。时，PE+PF是定

值.理由：连接OA、OB、OC、OD,如图4

VDG与00相切,

/.ZGDA=ZABD.

TNADG=30°,

/.ZABD=30°.

/.ZA0D=2ZABD=60°.

,/OA=OD,

.-.△AOD是等边三角形.

/.AD=0A=4.

同理可得：RC=4.

•」PE〃BC,PF/7AD,

.'.△AEP^AACB,ABFP^ABDA.

.PE^APPF^PB

••瓦而而下

.PEPF-AP-PB^

,,BCADAB^B-,

.PE.PF,.

4工

-,.PE+PF=4.

，当/人。6二/8(^二30°时，PE+PF=4.

图2

点评：本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质

等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性.要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本

题的关键.

7.(2014云南)已知如图平面直角坐标系中，点0是坐标原点，矩形ABC0是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、

C(0,4).点D在y轴上，且点D的坐标为(0,-5)，点P是直线AC上的一动点.

(1)当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式(关系式);

(2)当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与AABC

相似的点M若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径

长为与，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形

DEPF若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由.

考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性

质.

专题：综合题；压轴题；存在型；分类讨论.

分析：Q)只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.

(2)由于△DOM与AABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出0M的长,

即可求出点M的坐标.

=2S二岳E.由NDEP=90°得DE?=DP?-PE?二DP?-25.根据“点到

⑶易证s△/s潮.从而有S

四边形D6PFAPED24

直线之间，垂线段最短”可得：当DP±AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小.借

助于三角形相似，即可求出DP_LAC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值.

解答：解(1)过点P作PH〃OA,交0C于点H,如图1所示.

•/PHZ/OA,

/.△CHP^ACOA.

.HP_CELCP

,'l0ACOCA,

••.点p是AC中点,

.*.CP=2CA.

2

VA(3,0)、C(0,4),

/.0A=3,0C=4.

.•・HP=&CH=2.

2

.,.0H=2.

••,PH/ZOA,ZC0A=90°,

ZCHP=ZC0A=90°.

•••点P的坐标为(g2).

2

设直线DP的解析式为尸kx+b,

VD(0,-5),P(&2)在直线DP上,

b二-5

3

和b=2

14

b二一5

・•・直线DP的解析式为尸“x-5.

3

(2)①若△DOMs^ABC,图2(1)所示，

VADOM^AABC,

.DO-OM

■,ABBC-

•・•点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.-5),

.•・BC=3,AB=4,0D=5.

.50M

"43,

.•.0M二茹.

4

•••点M在x轴的正半轴上，

•••点M的坐标为(毕，0)

4

②若△DOMsaCBA,如图2(2)所示，

VADOM^ACBA,

,D00K

,,CBBA,

・「BC=3,AB=4,OD=5,

.5,OM

TT

3

•••点M在X轴的正半轴上，

•••点M的坐标为（挈，0）.

综上所述：若ADOM与4CBA相似，则点M的坐标为（英，0）或（丝，0）.

43

（3）,•-0A=3,0C=4,ZA0C=90°,

/.AC=5.

/,PE=PF=-1C="|

•.・