2026秋北师9年级数学导教导学案7 微专题1　中点四边形

微专题1中点四边形中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫作中点四边形.1.如图，顺次连接四边形ABCD的各边的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．∵E，H分别是AB，AD的中点，∴四边形EFGH是平行四边形．∴EH

FG.证明：如图，连接BD.∴EH

BD.同理FG

BD，2.如图，E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点，四边形EFGH是什么特殊的四边形？请证明．如图，连接BD.解：四边形EFGH是平行四边形，证明如下：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴四边形EFGH是平行四边形．∴EH

FG.∴EH

BD.同理FG

BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，3.如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH是菱形．证明：如图，连接BD，AC.∴EH

BD.同理FG

BD，EF

AC.∴EH

FG.∴四边形EFGH是平行四边形．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD. ∴EH＝EF.∴四边形EFGH是菱形.4.如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别是各边的中点．四边形EFGH是什么特殊的四边形？请证明．解：四边形EFGH是菱形，证明如下：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH

FG.∴EH

BD.同理FG

BD，∴四边形EFGH是平行四边形．∵E，F分别是AB，BC的中点，又∵AC＝BD，∴EH＝EF，∴四边形EFGH是菱形．∴EF＝

AC，5.如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD各边中点.求证：四边形EFGH是矩形．∵H，G分别是AD，DC的中点，∴HG

AC.证明：如图，连接BD，AC交于点O.∴HG

EF.∴四边形EFGH是平行四边形．同理EF

AC，HE

DB，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°. 又∵HG∥AC，HE∥DB，∴∠EHG＝90°. ∴四边形EFGH是矩形．6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵H，G分别是AD，CD的中点，∴HG

AC.

同理EF

AC,∴HG

EF.∴四边形EFGH是平行四边形. ∵G，F分别是CD，BC的中点，∴GF∥DB. 又∵AC⊥BD，∴∠DOC＝90°. ∴∠HGF＝90°.∴四边形EFGH是矩形.课堂总结：平行四边形平行四边形菱形矩形正方形7.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是

()A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形B8.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点.若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是(

)A.AC＝BD

B.AB＝CD

C.AC⊥BD

D.∠ABC＋∠DCB＝90°B9.(BS九上P23T9)如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点．(1)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？请说明理由．解：当四边形ABCD满足对角线相等时，四边形EFGH是菱形．理由如下：如图，连接AC，BD.∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线．∴EF＝AC，EF∥AC.∵G，H分别为CD，AD的中点，∴GH是△ADC的中位线．∴GH＝AC，GH∥AC.∴EF＝GH，EF∥GH.∴四边形EFGH是平行四边形．∵E，H分别为AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∵AC＝BD，∴EF＝EH.∴EH＝BD.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？请说明理由．解：当四边形ABCD满足对角线互相垂直时，四边形EFGH是矩形．理由如下：由(1)可得四边形EFGH是平行四边形，EF∥AC∥GH，EH∥FG∥BD.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°.∴四边形EFGH是矩形．10.如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是边AD上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.

(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PFEH是矩形?请予以证明.解：AD＝2AB.证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∠B＝∠C＝90°.∵E是BC的中点，AD＝2AB，∴AB＝BE＝EC＝CD.则△ABE，△DCE是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.∵PF⊥AE，PH⊥DE，∴∠PFE＝90°，∠PHE＝90°.∴∠PFE＝∠FEH＝∠PHE＝90°.∴四边形PFEH是矩形．(2)在(1)中，动点P运动到什么位置时，矩形PFEH变为正方形？为什么？

解：点P是AD的中点时，矩形PFEH变为正方形.理由如下：

由(1)可得∠AEB＝∠DEC＝45°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC