上海市松江区2026年九年级上学期期中数学试卷附答案

九年级上学期期中数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．延长线段至点C，使得，那么的值为（）A． B． C． D．22．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．扩大2倍 B．保持不变C．缩小到原来的 D．以上都有可能3．已知、为非零向量，下列说法中，不正确的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．4．已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（）A． B． C． D．5．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（）A． B．C． D．6．以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：命题甲：矩形与矩形相似．命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项．关于这两个命题，下列判断正确的是（）A．命题甲是真命题，命题乙是假命题B．命题甲是假命题，命题乙是真命题C．命题甲、命题乙都是真命题D．命题甲、命题乙都是假命题二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分．7．如果，且，那么．8．在比例尺为的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为千米．9．已知点C是线段的黄金分割点，且，，那么（结果保留根号）10．已知和相似，，，那么的最大内角的度数为．11．两个相似三角形中，我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为．12．已知向量的长度为3，与单位向量方向相反，那么向量可用向量表示为．13．如图，已知，，，那么．14．已知中，，，，那么的长为．15．如图，已知中，，，，，那么的长为．16．如图，D是边上一点，点E、F分别是和的重心，如，，用、的线性组合表示，那么．17．如图，点A、B、C均在的正方形网格的格点上，那么的正弦值为．18．已知矩形中，，E是边上一点，，将沿着所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接并延长交边于点G，连接，如果与相似，那么边的长为．三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．计算：20．如图，已知向量、（1）化简：；（2）作出化简后的向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）21．如图，已知中，是边上的中线，点E、F分别在边上，且，与相交于点（1）求证：；（2）连接，若，，，求的长．22．如图，已知中，是的角平分线，，（1）求的长；（2）求的值．23．如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接．（1）求证：；（2）若，求证：．24．为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验．如图所示，盒子的直截面是边长为的正方形，实验过程中，光线只在该截面内传播．盒子左边距离B点的点E处盒子右边距离D点的点F处各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离B点的点M处有一个可调整高度的挡板（1）如图1，小丽控制激光笔发出光线从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板的高度；（2）如图2，小丽调整光线入射角度，使光线入射到面的点G处，经反射后从点F处射出，求此时的正切值；（3）小杰取出挡板，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面和面的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在面上的入射点到点A的距离．25．如图，已知中，D是边的中点，E是边上一点，，，连接交于点（1）求的值；（2）如图2，若，，求的长；（3）若，且是等腰三角形，求的长．

答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】88．【答案】9．【答案】10．【答案】11．【答案】12．【答案】13．【答案】814．【答案】615．【答案】16．【答案】17．【答案】18．【答案】9或19．【答案】解：20．【答案】（1）解：（2）如图，即为所求．21．【答案】（1）证明：中，是边上的中线，，，与相交于点，，，，，，，，，（2）解：，，是的中点，，，，，，，，解得：，，的长为22．【答案】（1）解：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，（舍去），

∴，

∴的长为（2）解：过点作于点

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：23．【答案】（1）证明：，，，，∽，，，，（2）证明：∽，，，，，∽，，，24．【答案】（1）解：如图：过E作交于点G，交于点H，，，，，，解得：，．答：挡板的高度为（2）解：，，，，即，解得：，（3）光线在面上的入射点到点A的距离为或25．【答案】（1）解：如图：作交于G，

，，，，

∴，，

，

是的中点，

，

，

（2）解：如图2，是的中点，，

∵，，

∴

，，

，

，

，

，

，即，

，

，

，

设，，则，

，

，

，

，解得：（已舍去负值），

（3）解：①如图2，当时，

由（1）得：，

，