浙江省杭州市拱墅区2026年上学期九年级期中数学试卷附答案

上学期九年级期中数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（）．A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，3．下列事件是必然事件的是（）A．车辆随机到达一个路口遇到红灯B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上C．任意画一个三角形其内角和是D．早上的太阳从西方升起4．已知的半径为3，点在外，则的长可以是（）A．1 B．2 C．3 D．45．将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（）A． B．C． D．6．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（）A． B．C． D．7．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（）A． B． C． D．18．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（）A． B． C． D．9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（）A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）11．1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据：投掷次数1005001000500010000相交次数2813827313542698相交频率0.280.2760.2730.27080.2698据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为．（精确到0.01）12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是m．13．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为．（用含的代数式表示）14．如图，在中，，，则扇形的面积为．15．如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则的长度为．16．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则；若，则．三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程）17．已知线段a，b满足，且．（1）求a，b，c的值．（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x．18．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．（1）甲选择“校园安全”主题的概率为______；（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．19．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．（1）如图1，点、、、均在格点上，是线段，的交点，求证：点为线段的中点；（2）如图2，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画出点，使得．20．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点．（1）求的面积；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）当时，求的取值范围．21．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．（1）若，求的度数；（2）若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数．22．喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务：背景素材素材1每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．素材2当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．问题解决任务1当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件______件，每天的利润是______元；任务2当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售单价；任务3若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，求此时每天获得的利润．23．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点．（1）求与的关系；（2）若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式；（3）若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围．24．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，．（1）求证：；（2）如图2，，，①若恰好经过圆心，求线段的长；②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值．

答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】0.2712．【答案】1013．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】​​​​​​​；​​​​​​​17．【答案】（1）解：设，则：，

∴，

∴，

∴；（2）∵线段x是线段b，c的比例中项，∴，且，

∴．18．【答案】（1）（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，画树状图为：，共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，则甲和乙选择不同主题的概率为．19．【答案】（1）证明：由题意可得：，，

∴，，

∴，

∴，

∴点为线段的中点.（2）解：如图，取格点，且，，，连接交于，则即为所求.20．【答案】（1）解：在二次函数中，

当时，，即，则，

解得或，

∴，，

∴；

在二次函数中，

当时，则，

∴点，即，

∴．（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或.​​​​（3）解：∵二次很熟的对称轴为直线：，

∴函数最大值为：，

当时，，当时，，

当时，的取值范围为：.21．【答案】（1）解：如图，

∵，

∴，

∴，

∵，则，而，

∴，

∵，，

∴.（2）解：解：如图，连接、、，

∵分为的两部分，

∴，

若点F在优弧上，

∴；

若点F在劣弧上，

∴．​​​​​22．【答案】任务1：36，1152；

任务2：解：设降价x元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元．

则．

解得或．

∵优惠力度最大即降价最多，则，

∴售价为元．

任务3：解：设降价x元，每天的利润为y元，则

∵，

∴二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，

∵销售单价为偶数，销售单价为，

∴为偶数，则x为偶数，

要优惠力度最大，即x尽可能大，且x为偶数，因此取，

当时，元，

即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元。23．【答案】（1）解：，

∴其顶点为，

将点和代入得，

，

则，即，

∴与的关系为；（2）解：∵对称轴是直线，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得，

，

∴二次函数的解析式为；​​​​​（3）解：由（1）知，

∴，

∴，

解得，

又∵抛物线的开口方向向上，

∴，

∴，

则，

∴，

∴．

故的取值范围为．​​​​24．【答案】（1）证明：∵是的直径，