计量经济学第1章计量经济学概述-第7章自相关性

计量经济学（Econometrics）2026/11/41第一章计量经济学概述介绍计量经济学的起源和发展了解计量经济学的学科性质、基本概念与内容掌握建立计量经济学模型的主要步骤如何学习计量经济学22026/11/4§1什么是计量经济学（Econometrics）一、什么是计量经济学：计量经济学作为经济学的一个分支学科，于20世纪20年代末30年代初由R.Frish（费瑞希）创立。计量经济学的表述有多种形式，列举如下：费瑞希（Frisch，1936），经济计量学是经济资料分析中对数学和统计方法的应用。萨谬尔森（Samuelson）、科普曼斯（Koopmans）和斯通（Stone）（1954），经济计量学是在理论和观察同时发生的基础上，用适当的推理方法叙述的对实际经济现象的数量分析。马林沃德（Malinvaud，1966），经济计量学是在经济现象的研究中，对数学和统计方法的每一种应用。克赖斯特（Christ，1966），经济计量学是作为数量的经济陈述，它或者是解释我们已经见过的变量的动态，或者是预测（预告）我们尚未见到的动态，或者是两者都有。邹至庄（Chow，1983），经济计量学是为衡量经济关系而使用统计方法的艺术和科学。总结这些经典的阐述，我们认为经济计量学是一门科学地对经济现象进行描述的方法论学科，其描述方式为根据所研究的经济现象，建立经济计量模型，对模型进行估计、检验，从而说明或解释经济现象。32026/11/4计量经济学（Econometrics）：是经济理论、统计学和数学的结合。——拉格纳•弗里希计量经济学与其它相关学科的关系经济理论数学统计学以上分析可以把计量经济学概括为：计量经济学是一门有经济学、统计学和数学结合而成的交叉学科，它以经济学提供理论基础，统计学提供资料依据，数学提供研究方法的一门经济学，是经济的计量学或计量的经济学。2026/11/44二、计量经济学在经济学科中的地位克莱因（R.Klein）：计量经济学已经在经济学科中居于最重要的地位。萨缪尔森（P.Samuelson）：第二次大战后的经济是经济计量的时代。从世界诺贝尔经济学奖的获得者情况来看：截至2017年，79位获奖者中有23位直接因为对计量经济学发展的贡献而获奖。20多位担任过国际计量经济学会会长，50多位在获奖成果中应用了计量经济学。RagnarFrischNorway，1969JanTinbergentheetherlands，1969LawrenceR.KleinUSA，1980TrygveHaavelmoNorway，198952026/11/4三、计量经济学的发展概况国外计量经济学的发展20世纪40-50年代：计量经济学学科体系基本形成；20世纪60年代：开创金融计量经济学领域；20世纪70年代：宏观计量经济模型的研制与应用、非经典计量经济学的发展时期。我国计量经济学的发展1960年成立经济数学方法研究组；1979年中国数量经济研究会（中国数量经济学会）成立；1998年，教育部高等学校经济学科教学指导委员会将计量经济学列为经济学门类各专业核心课程。62026/11/4邹至庄李子奈林少宫TinbergenHaavelmoKleinLeontief经典计量经济学创立建立第1个应用模型建立概率论基础发展数据基础发展应用模型FrischStone建立投入产出模型72026/11/42026/11/48非经典计量经济学微观计量：选择性样本模型微观计量：离散选择模型时间序列：协整理论—现代宏观计量时间序列：ARCH—现代金融计量EngleHeckmanMcFaddenGranger四、计量经济学是一门经济学科从计量经济学的定义看从计量经济学在西方国家经济学科中的地位看从计量经济学与数理统计学的区别看从建立与应用计量经济学模型的全过程看从诺贝尔经济学奖看92026/11/4JamesJHeckmanUSA，2000DanielLMcFaddenUSA，2000CliveW.J.GrangerUK，2003RobertF.EngleUSA，2003五、计量经济学在经济学科中的重要性

从现代西方经济学的特征看从西方经济学的发展历史看从世界一流大学经济学课程表看从国际经济学刊物论文看从经济学的“世界先进水平”看2026/11/410RichardStoneGreatBritain，1984WassilyLeontiefUSA，1973ThomasJ.SargentUSA，2011ChristopherA.SimsUSA，2011美国经济学家尤金·法玛、彼得·汉森和罗伯特·希勒资产价格的实证分析§2计量经济学的研究内容与步骤一、计量经济学的内容体系计量经济模型是为了研究分析某个系统中经济变量之间的数量关系而采用的随机代数模型，是以数学形式对客观经济现象所作的描述和概括。分类从内容角度：理论计量经济学应用计量经济学从学科角度：狭义计量经济学广义计量经济学2026/11/411二、计量经济模型的研究步骤（一）理论计量经济模型的建立理论模型的建立主要依据有关生产、消费、投资、国际贸易与国际收支、金融市场、工资与价格、就业与通货膨胀等经济行为理论。如果模型是单方程的，则首先要确定被解释变量和所有可能的解释变量，然后在确定被解释变量和所有可能的解释变量之间的函数关系，最后确定解释变量符合经济意义的系数符号和系数大小的范围。如果模型是由多个方程构成的经济系统，则首先要确定内生变量和外生变量，然后再确定各个方程内生变量和外生变量之间的函数关系，最后确定各个方程内生变量和外生变量符合经济意义的系数符号和系数大小范围。计量经济模型的一般表达式：Y=f(X,β,u)2026/11/412（二）实际模型的确定和样本数据的收集实际模型的确定：由于经济数据的被动获得以及经济数据识别能力的低下等原因造成的现实障碍，使得最初设定的理论模型操作性较差，建模人员通过一定的技术努力后，在基本保证能够完成模型实证功能的条件下，选择相对有效的实际模型。样本数据的收集：样本数据的收集是经济计量建模的基础。首先，样本数据的可得性限制了事先设定的理论模型的实现，使得人们只能按照现实的数据确定实际模型。其次，收集样本数据的类型，主要是截面数据、时间序列数据、面板数据、虚变量数据、空间数据、结构与非结构数据等。样本数据的收集应注意两个问题：一是根据研究目的选择样本数据；二是样本数据的质量（完整性、准确性、可比性和一致性）。2026/11/413（三）模型的参数估计在获得经济样本数据，确定了实际模型之后，接下来的任务就是进行模型的参数估计，它是经济计量学的核心问题。进行模型的参数估计要涉及到各种经典统计方法和现代统计方法的选择问题。（四）模型的检验当得到模型参数的估计值以后，可以说经济计量模型基本建立起来了。但是，该模型能否解释人们所研究的经济现象的本质特征或所研究的经济活动中各因素之间的关系，能否进行模型的实际应用，必须通过各种检验加以确定。经济计量模型的检验有四个方面：经济意义检验；统计检验；经济计量学检验；模型的预测检验。2026/11/414（五）计量经济模型的应用

结构分析：用已经估计出的模型，对所研究的经济关系进行定量的分析，来说明经济变量之间的数量关系。分析当其它条件不变时，模型体系中的解释变量发生变动，对被解释变量的影响程度。结构分析所采用的主要方法是弹性分析、乘数分析与比较静态分析。政策评价：利用计量经济模型对各种可供选择的政策方案的实施后果进行模拟测算，从而对各种政策方案做出评价。分析整个经济系统对各种假设的政策条件的反应。经济预测：利用估计了参数的计量经济模型，由已知的或预先测定的解释变量，去预测被解释变量在所预测的样本范围以外的数值或可能范围。理论检验与发展：任何经济学理论，只有当它成功地解释了过去，才能为人们所接受。而计量经济学模型提供了一种检验经济理论的好方法，因此对理论假设的检验可以发现和发展理论。2026/11/415计量经济模型的建模步骤2026/11/416根据经济理论的分析建立计量经济模型收集并整理数据资料模型的参数估计模型检验：统计检验和计量经济检验否模型应用经济结构分析经济预测政策评价否2026/11/417一、干中学首先就是要对书中的例子、习题等在软件上实现。通过实践也许你就感觉：原本非常复杂的估计公式、抽象难懂的假设检验，用软件计算结果也就是分分秒秒的事！其次是对输出的结果，我们还应学会思考。如扰动项是一个不可观测的随机变量，在软件输出框中，它就是一串“数”。看到这串“数”，你应该想到什么呢？！通过对这串“数”的考察，也许就可以理解：（1）我们为什么要对扰动项进行假设？（2）这些假设中哪些已经满足，哪些还没有满足？（3）如何检验某些假设是否“满足”？（4）“满足”意味着什么？“不满足”又说明什么？（5）估计结果中，哪一个数据支持了我们的选择？（6）支持的“力度”有多大？（7）自己动手实现书中的例题和习题，能使我们具体体会到计量经济理论和这些数据分析结果的经济学含义。§3如何学习计量经济学2026/11/418第二，从我做起，自己动手计量经济学是对于观测到的实际经济现象的数量分析。基于计量经济学定义，“我”能观测到什么经济现象？如何使用计量经济的方法研究这一类经济现象？“从我做起”，就是自觉地观测“我”身边的经济现象：（1）如哪些同学的消费比较高，哪些同学的消费又比较低，由此所引出的问题，如何度量大学生的收入与消费的关系？（2）我们可以通过网络采集数据，使用这些数据估计收入与消费的模型。进一步，我们可专门对家庭收入较低（高）的同学发放问卷，以获得其消费的数据，使用此数据估计收入与消费的模型：（1）基于此，“我”也许能为学校的生活补贴政策提出建议。（2）再如，哪一家食堂的就餐人数多？如何解释这个现象？我们还应逐渐扩展观测的视野：（1）当前的通胀处于什么水平？（2）“我”对通胀的预期是什么？能否检验“我”的预期？（3）预期理论有哪些？“我”的预期属于哪一类？（4）如何检验我国预期的性质？总之，“从我做起”就是要自觉地观测自己能观测到的经济现象，思考相关的经济问题，特别是自己动手，搜集数据，建立和估计模型，分析检验结论。2026/11/419第三，正确理解数学与统计术语，用经济语言分析估计和检验结果一般认为，正确理解和运用假设检验，是计量经济学中最困难也是最重要的内容，就此提出和回答的问题是：（1）为什么要做假设检验？（2）软件输出中的假设检验试图说明什么？（3）如何理解统计量与统计量的值、统计量的值和对应的概率值或置信水平与分布函数的关系等等。一旦我们能用自己的语言将这些问题说清楚，也许就理解了假设检验。翻开计量经济学教科书或者计量经济学文献，不可避免的会出现大量的数学和统计学公式与推导等，我们不应恐惧也不应回避这些公式与推导，它们的实质是服务于度量经济关系。2026/11/420第四，敢于质疑和创新质疑什么？如何创新？（1）对估计和检验结果的“质疑”；（2）对经济理论的质疑；（3）对计量经济的理论和方法“质疑”。举例说明：（1）理论计量方法上的创新：假如你认为某个变量能显著解释另一个变量，或者某个变量应包含在模型中，但假设检验的结果与你的预期相反，你可以质疑检验统计量的分布是否存在问题，你甚至可以自己设计程序，对你所使用的检验统计量的分布进行仿真，以揭示这个统计量的分布的小样本性质。（2）计量方法应用上的创新：假如你观测通胀与货币的数据呈现出此高彼低以及循环往复的变化时，你可以质疑将这两个变量的关系设定为线性关系的研究文献，你基于我国的数据建立模型，估计和检验证实了这两个变量具有非线性关系。2026/11/421第五，坚持和乐于使用计量经济软件学习计量经济学、运用计量经济学研究经济问题，必须使用软件，即使计量经济理论的发展，也依靠软件。书中的例题习题和案例等，最基本的要求，是将例题和习题在软件上重复实现：（1）对估计和检验结果质疑；（2）通过操作软件而对“质疑”进行检验。坚持和乐于使用计量经济软件的益处：（1）通过使用软件，思考软件的输出结果实现“干中学”；（2）通过软件来实现“正确理解和运用计量和统计的理论和术语”；（3）我们还可以将本书中几乎所有的理论公式的推导，转变成计算机程序，运用仿真的方法证明理论结果，也就是将理论证明变为计算机证明，使之更加直观。如：验证无偏性。第二章概率与统计基础知识随机变量的概率分布及数学期望、方差、协方差和相关系数、偏度和峰度等概率分布的数字特征估计量优劣的评价标准一些常用的概率分布（四个分布）222026/11/4§1随机变量的概率分布及数字特征

232026/11/42026/11/424§2估计量优劣的评价标准无偏性有效性一致性渐进无偏性2026/11/425一、正态分布§3

一些常用的概率分布三、t(n)分布（学生分布）2026/11/426四、F分布五、常见统计量的分布第三章一元线性回归模型一元线性回归模型的表达及模型假设模型的参数估计对参数的性质进行讨论模型的统计检验模型的预测Eviews的使用方法272026/11/4一个引例消费这个随机变量在总体上是变异的或者是变化的。为什么有的家庭的消费水平低，有的家庭的消费水平高——收入水平、家庭成员的消费习惯、家庭所在的地理位置等影响消费。经济学理论认为，可支配收入的高低，决定了消费支出的水平。以上的分析说明，在4亿家庭消费这个总体中，消费与收入这两个变量之间，存在某种关系。回归分析的目的就是要描述总体中变量之间的关系。为此，我们首先应准确理解总体回归模型。2026/11/4282026/11/429

X为每周家庭收入，总体：Y为家庭每周消费支出，单位为元。60户居民家庭每周家庭收入与消费支出数据

对应不同收入水平的60户家庭的每周消费Y

40801201602006080100120140160180200220240260280家庭每周收入X2026/11/430下图说明，收入X从80变化至280，这一变化解释了消费Y的总体的条件期望（均值）从65、89等变化至173。也就是说，X的变化解释了Y的总体的条件期望的变化（总体的平均变化）。或者说，X的变化，决定了Y的总体的平均变化。而X的变化解释（或决定）了Y的总体的平均变化，这正是回归分析的意义所在。因此，称这条线为总体回归模型。由于它是一条直线，故也称为总体回归直线。2026/11/431总体回归直线是X的函数，于是，根据条件期望的定义，Y的总体回归直线可以表述为：

引入随机扰动项U，以描述随机因素对消费Y的影响,

在给定X的条件下，Ui等于Yi与其总体条件均值的“距离”

从而可得变量Y为被解释变量，X为解释变量。或者Y称为因变量，X称为自变量，或Y称为回归元，X称为回归子。ui为随机扰动项或随机误差项。β1是总体回归直线的斜率，而β0为截距。为方便，将β0和β1统称为回归参数。计量经济学中的线性模型或线性总体，一般是指对参数而言的线性模型，或者是可以转换为关于参数是线性的模型。

一元线性回归模型是指模型中只有一个解释变量的模型，也称为简单线性回归模型，其一般形式是：Y为被解释变量，X为解释变量。因为模型中共有两个变量，所以，模型也被称为双变量线性回归模型，β0与β1为待估参数，ui为随机误差项或随机扰动项。

一、基本假定假定1：零均值假定---即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，即2026/11/432§1一元线性回归模型的表达及模型假设假定2：同方差（等方差）假定，即假定3：无自相关假定，即假定4：解释变量是外生变量。解释变量X是外生变量，是指在重复抽样中，X取固定不变的值。这一假定意味着我们的回归分析是条件回归分析，就是以解释变量X的给定值作为条件的。根据这一假定，有解释变量X与随机扰动项ui不相关，即：说明：在线性模型的推导过程中这一假设等同于解释变量是确定性变量。2026/11/433假定5：随机干扰项服从正态分布，即

ui~N(0,，

2)；

yi

N(β0+β1xi

，

)模型暗含假设回归模型对参数（系数）而言是线性模型：所谓线性回归模型是指关于参数是线性的模型。无论关于变量是线性还是非线性的模型，只要它关于参数（系数）是线性模型，都称为线性回归模型。比如：第一个模型变量、参数均为“线性”，这是线性回归模型；第二个模型参数“线性”，变量“非线性”，这也是线性回归模型；第三个模型变量“线性”，参数“非线性”，这就是一个非线性回归模型。模型是正确设定的：模型对变量和函数形式没有设定偏误。2026/11/434YXX1X2Xnf(u)随机误差项基本假定示意图以上这些对随机扰动项的假定是由德国数学家高斯（Gauss）最早提出的，也称为线性回归模型的经典假定或高斯假定，满足上述假定的线性回归模型，称为经典线性回归模型。高斯（Gauss）（1777－1855）浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神。数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。高斯2026/11/4352026/11/436§2一元线性回归模型的参数估计估计出的参数要使残差的平方和最小,求解这一最小化问题，根据求极值的原理，应满足一、普通最小二乘法（OLS）2026/11/437可得到以下正规方程（Normalequation）：通过解上述正规方程组可以得到OLS估计量（estimator)：样本回归模型：

总体回归直线：样本回归直线：总体回归模型：残差二、残差的性质2026/11/438由最小二乘的正规方程残差的性质如下三、估计量的变形（模型的斜率）高斯-马尔柯夫定理：在CLRM假定下，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量有最小方差，即OLS是BLUE（BestLinearUnbiasedEstimator）。先给出几个有用的公式：一、线性性：估计量是被解释变量或随机干扰项的线性函数。二、无偏性：证明：因为因此三、有效性2026/11/439§3回归参数最小二乘估计量的统计性质2026/11/440同理，截距的方差以及截距和斜率的协方差为：2026/11/441有效性证明（以β1的估计量为例）：综上所述，满足经典假设的一元线性回归模型的OLS估计量是有效估计量。一、模型方差的估计量2026/11/442§4参数估计量的抽样分布及模型方差的估计量下面分别求出各自的期望值：2026/11/443整理得到：这样，模型方差的无偏估计量为：二、估计量的抽样分布由于估计量是随机干扰项的线性函数，根据随机服从正态分布的假设，估计量在方差已知时服从正态分布，即：2026/11/444当模型方差未知时，用其无偏估计量代替：得到参数估计量的抽样分布为：一、回归参数的统计检验---t检验2026/11/445§5回归参数的统计检验及区间估计二、回归参数的区间估计0接受域-atc2n,2拒绝

H0区域-atc2n,2拒绝

H0区域置信度为（1-α），β1的区间估计：置信度为（1-α），β0的区间估计：一、平方和分解公式2026/11/446§6回归方程的拟合优度及显著性检验总离差平方和回归平方和残差平方和自由度二、拟合优度（样本决定系数）2026/11/447三、模型的拟合优度检验来源自由度df平方和SS均方MSF回归1RSSRMS=RSS/1F=RMS/EMS残差n-2ESSEMS=ESS/(n-2)

总和n-1TSS

回归分析的方差分析表(ANOVA）四、F与R2的关系一、点预测以

Ŷf

作为条件均值

E(Y|X=Xf)

或个值

Yf

的点预测值。1、均值

E(Yf)

的点预测

对总体回归函数

E(Y|X=Xi)=β0+β1Xi，当X=Xf

时，E(Y|X=Xf)=β0+β1Xf通过样本回归函数求得的拟合值为：于是可见，Ŷf是条件均值E(Y|X=Xf)的无偏估计。2、个值Yf

的点预测。对总体模型

，当X=Xf

时Ŷf

是Yf

点预测的预测误差均值为零，即§7预测2026/11/448二、区间预测关键问题是确定

Ŷf与

E(Yf)或个值

Yf之间的偏差的分布情况，即估计预测误差的分布情况。1、总体均值的预测区间2026/11/4492026/11/4502、yt的预测区间给定显著性水平α，由t分布表查临界值，可得置信度为（1-α）的Yf的预测区间为：2026/11/451

影响预测区间大小的因素（1）误差项的方差或标准差的大小：

误差项的方差或标准差越大，预测区间越大；反之越小。（2）样本容量n的大小：

样本容量越大，预测区间越窄，预测精度越高。区间预测的特点：（1）Y个值的置信区间宽于均值置信区间。（2）置信区间的宽度从样本均值处向两边对称地增加。2026/11/452§8Eviews软件介绍

Eviews软件安装数据输入模型估计结果输出2026/11/453第四章多元线性回归模型多元线性回归模型的表达及模型假设模型的参数估计对参数的性质进行讨论模型的统计检验模型的预测案例分析542026/11/4一、线性回归模型的一般形式其中

为被解释变量的第i个样本观测值，

为第j个解释变量的第i个样本观测值，

为随机干扰项。令则线性回归模型的矩阵形式为或其中模型的表达形式2026/11/455§1多元线性回归模型的表达及模型假设

二、影响随机干扰项的因素

省略变量、非线性、度量误差、不可预测影响等。三、模型假定假定1：零均值假定---即在给定解释变量的条件下，随机扰动项的条件均值为零，即假定2：2026/11/456

假设3

X为确定的矩阵，若为随机变量，则假设4

解释变量观测值矩阵列满秩暗含假设5

随机干扰项矩阵u服从多元正态分布假设暗含模型为线性模型且设定正确、所有变量没有设定误差。2026/11/4572026/11/458§2多元线性回归模型的参数估计2026/11/459残差为2026/11/460可以验证：正规方程为模型参数的最小二乘估计为：矩阵求导形式：一阶条件：二阶条件：几个表达式：一、线性性：估计量是被解释变量或随机干扰项的线性函数。二、无偏性：三、有效性：2026/11/461§3

回归参数最小二乘估计量的统计性质2026/11/462估计量的方差估计量的方差协方差矩阵表达设任意无偏估计由于是无偏估计可得这样因为任意无偏估计的方差协方差矩阵为2026/11/463有效性的证明由于DDT是非负定矩阵（主对角线元素为平方和），主对角线元素均大于零一、平方和分解公式2026/11/464§4σ2的估计量和拟合优度R2总离差平方和回归平方和残差平方和自由度二、拟合优度（样本决定系数）2026/11/465三、修正拟合优度（调整样本决定系数）四、σ2的估计量2026/11/466五、平方和的表达1、数据中心化2、平方和的表达2026/11/467RSS表达式推导一、参数估计量的抽样分布由于估计量是随机干扰项的线性函数，根据随机服从正态分布的假设，估计量在方差已知时服从正态分布，即：2026/11/468当模型方差未知时，用其无偏估计量代替：§5回归参数的显著性检验和置信区间得到参数估计量的抽样分布为：二、回归参数的统计检验---t检验2026/11/469二、回归参数的区间估计0接受域-atc2n,2拒绝

H0区域-atc2n,2拒绝

H0区域这样，置信度为（1-α）βi的区间估计为：

2026/11/470一、模型的拟合优度检验来源自由度df平方和SS均方MSF回归kRSSRMS=RSS/kF=RMS/EMS残差n-k-1ESSEMS=ESS/(n-k-1)

总和n-1TSS

回归分析的方差分析表(ANOVA）二、F与R2的关系§6模型的拟合优度检验---F检验一、模型形式及假设二、模型参数的OLS估计目标函数正规方程2026/11/471§7二元线性回归模型模型假设同多元模型2026/11/472正规方程正规方程矩阵形式系数矩阵进行变换令三、模型参数的抽样分布（以β1为例）2026/11/473这样有解方程2026/11/474期望方差2026/11/475交叉项期望值为零同理模型方差已知模型方差未知时，用其无偏估计量代替：2026/11/476四、模型检验1、系数检验2、拟合优度检验

3、方差分析表4、平方和的计算来源自由度df平方和SS均方MSF回归2RSSRMS=RSS/2F=RMS/EMS残差n-3ESSEMS=ESS/(n-3)

总和n-1TSS

一、点预测对于模型

给定样本以外的解释变量的观测值，可以得到被解释变量的预测值：它可以是总体均值E(Yf)

或个值Yf

的预测值。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Yf)和Yf的置信区间。二、区间预测1、对预测期因变量期望值的情况2026/11/477§8多元线性回归模型的预测2、对预测期因变量当期值的情况2026/11/478第五章相关分析变量相关的概念相关系数的概念和计算相关系数与回归系数、样本拟合优度的关系以及相关系数的显著性检验偏相关系数与复相关系数的概念792026/11/4§1相关的概念一、概念:相关指两个或两个以上变量间的非确定性关系。二、类型：1、按强度分完全相关：变量间存在函数关系。高度相关（强相关）：变量间近似存在函数关系.弱相关：变量间有关系但不明显。零相关：变量间不存在任何关系。高度相关零相关弱相关2026/11/4802、按变量个数分:简单相关：指两个变量间相关多重相关（复相关和偏相关）：指三个或三个以上变量间的相关。3、按符号分：正相关、负相关、零相关4、按形式分：线性相关、非线性相关非线性相关

负相关2026/11/481三、相关系数：表示两个变量之间的线性相关程度。定义为：以样本方差和样本协方差估计X、Y的方差和协方差，样本相关系数为：2026/11/482

相关系数的取值范围：（1）当两个变量严格服从线性关系时，∣

∣=1；（2）当两个变量不存在线性关系时，

=0；（3）相关系数的一般取值范围是[-1，1]。当Cov(xt,yt)>0时，则

>0(正相关)；当Cov(xt,yt)<0时，则

<0(负相关)；若Cov(xt,yt)=0，则

=0(零相关)。四、相关分析与回归分析的关系1、区别：（1）回归分析强调变量间的因果关系，相关分析不关心因果关系。（2）相关分析中两变量关系具有对称性，但回归分析中两变量的关系具有指向性。（3）相关分析是对变量间不确定性依赖关系密切程度的度量，回归分析研究一个因变量对一个或多个解释变量的依赖关系，其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前者的均值。2026/11/4832、联系：（1）样本相关系数与回归系数的关系（一元线性回归）（2）相关系数与决定系数的关系2026/11/484五、样本相关系数的显著性检验二、样本偏相关系数的计算思路：

§2偏相关系数2026/11/485以一阶偏相关系数为例，它与相应的简单相关系数的关系为:2026/11/486复相关系数：在研究y与多个变量x1,x2,…,xk之间的相关关系时，度量其中一个变量y与其它所有变量相关程度的指标。§2复相关系数2026/11/487样本复相关系数的计算思路：2026/11/488第六章异方差模型掌握异方差的含义及产生原因理解异方差性存在的后果掌握检验异方差的方法掌握处理和消除异方差的方法892026/11/4一、异方差的含义对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。矩阵形式异方差通常有三种表现形式：（1）递增型（2）递减型（3）复杂型2026/11/490§1异方差性的含义及产生原因

2I.

二、产生异方差的原因1、解释变量的遗漏。2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。3、异常观测值的出现。4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。2026/11/491

几个异方差例子我国各省份的教育支出与GDP之间关系的回归模型；打字出错个数与打字练习时间关系的回归模型；本科毕业生毕业后的年薪和年限关系的回归模型。§2异方差性的后果一、异方差不影响线性无偏一致性以一元线性回归模型为例，对模型yt=β0+β1xi+ui

，当模型为异方差时，即Var(ui)=

i2

，有可见OLS估计量仍具无偏性。

二、对模型参数估计值有效性的影响忽略异方差，而使用同方差假定下的方差公式，方差估计结果就是有偏的，其

OLS估计量不具有有效性。2026/11/492三、对模型参数估计值显著性检验的影响在异方差情况下，随机误差项方差的估计量并非是方差的无偏估计量,且导致用估计的方差也出现偏误。而单个系数的显著性检验中，构造的t统计量会发生变化，其检验结论自然是不可靠的。而且，基于OLS估计的结果，利用有偏的方差构造的F检验统计量也是不可靠的。

所以,存在异方差干扰时,原有的t-检验和F-检验程序失效。总之忽略异方差后果：方差增大、检验失效、预测精度降低。2026/11/493§3异方差性的检验（诊断）当随机干扰项的方差未知时，首先需要解决的一个问题是方差的估计问题。在实际应用中，一般方差利用模型估计的残差平方替代，标准差利用残差替代。这样异方差检验首先需要对原先进行OLS估计，得到残差后再进行检验。检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。2026/11/494一、图示检验法1、用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进行初步判断2、用X-Y的散点图进行判断，看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）3、用残差图进行初步判断(按解释变量排序)2026/11/495二、斯皮尔曼（Spearman）等级相关检验法基本原理:通过检验随机误差项的绝对值与解释变量观测值之间的相关系数是否为零，来反映随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性的强弱，从而说明异方差性是否存在。检验方法的步骤（以一元线性回归为例）：第一步：对原模型应用OLS估计，得到模型残差第二步：将残差绝对值和解释变量观测值按解释变量值升序排序后赋予等级，等级就是顺序号（相同的取平均），然后计算的等级差第三步：计算的等级相关系数（n是样本容量）第四步：对总体相关系数进行显著性检验，对给定的显著性水平α，检验规则为：若说明样本数据异方差显著。2026/11/496

三、戈特菲尔德—奎恩特（Goldfeld-Quandt,G-Q）检验法G-Q检验的前提条件：G-Q检验适用于大样本。要求观测值的数目至少是参数的两倍；随机项没有自相关且服从正态分布。G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。划分方法是：把成对（组）的观测值按解释变量的大小顺序排列，略去c个处于中心位置的观测值（通常n

30时，取c

n/4），余下的n-c个观测值自然分成容量相等，(n-c)/2的两个子样本。

{x1,x2,…,xi-1,xi,xi+1,…,xn-1,xn}2026/11/497

n1=(n-c)/2

c=n/4

n2=(n-c)/2G—Q检验步骤：第一步：把样本按解释变量Xi观测值大小顺序排列；第二步：略去中间的c个样本，把样本分别为两边容量相同的两个子样本；第三步：提出检验假设第四步：分别对两个子样本进行OLS回归，得到两个残差平方和，即第五步：计算统计量F第六步：在给定的显著性水平下进行判断是否存在异方差。注意：（1）当模型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差；（2）对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序；（3）G—Q检验仅适用于检验递增或递减型异方差；（4）检验结果与数据剔除个数c的选取有关；（5）G—Q检验无法判定异方差的具体形式。2026/11/498四、帕克（Park）检验和格莱泽(Glejser）检验基本思想：假设方差与解释变量之间存在着某种关系。由普通最小二乘法得到残差后，取其绝对值或平方项与某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合优度判断是否存在异方差。帕克检验：假定方差和解释变量存在下列关系，用样本回归并做显著性检验。格莱泽(Glejser）检验：假定方差与某一解释变量Xik有关，可以对以下形式分别做回归，并对每一种形式进行显著性检验。Glejser和Park检验的特点是：①既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。②一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。③当原模型含有多个解释变量值时，可以拟合成多变量回归形式。2026/11/499五、怀特（H.White）检验法1980年，加州大学圣地亚哥分校的经济学家赫尔伯特·怀特提出了一种最具一般性的异方差检验方法。怀特检验的思想：通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差，即检验残差平方与解释变量可能的组合的显著性。检验的前提条件是适用于大样本。怀特检验步骤（以二元线性回归模型为例）1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序列2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变量以及解释变量的平方项和交叉积项做辅助回归；3、用卡方检验来检验该方程的总体显著性。可以证明，在同方差假设下LM统计量，R2为模型的可决系数，h为模型解释变量的个数4、比较判断：若样本计算的nR2值大于给定显著性水平下的临界值（p值较小），则拒绝同方差假设，否则不拒绝。2026/11/4100六、拉格朗日乘数检验（LM）1、LM检验构建：设线性模型为：

如果我们没有设定σi的具体形式，则需要估计的

σ有n个，回归系数有k个，即共有(n+k)个参数需要估计，显然，仅有n个样本数据是无法估计出(n+k)个参数的，因此我们需要对误差方差做简化假设。一般地常用的假设形式有：Breusch-Pagan-Godfrey（BPG）：Glejser：Harvey：其中，q为未知系数的数量；Z为决定异方差的比例因子，一般地，Z的全部或其中的一部分可能是模型中的变量X。为检验模型线性回归模型是否存在异方差，只需对假设的形式进行检验即可，构造原假设和备选假设为：接受原假设表明方差是不随Z的变化而变化的同方差，而拒绝原假设接受备选假设则表明存在异方差。由于无法观察到随机扰动项，假设形式中的方差用残差平方替代。2026/11/41012、LM检验步骤Step1：对原模型进行OLS估计，求得相应的估计值

和残差

ei；Step2：将估计所得的残差

ei

取平方，由于它是

的一个合理估计量，因此将它代入辅助回归方程（或将ei

取绝对值代入），求得

α

的OLS

估计值及未校正的判定系数R2；Step3：计算检验统计量LM=nR2，且

，其中n为估计辅助回归方程时使用的观测值的数量；Step4：根据LM检验的判定规则检验，即对给定的显著性水平α，LM统计值大于临界值，就拒绝原假设，否则不拒绝。此外，我们注意到对原假设

的假设检验也等价于对模型做拟合优度的F检验。说明：White检验是一种特殊的LM检验，其辅助回归方程为：2026/11/4102§4异方差性的解决办法GLS是对满足普通最小二乘假定的转换变量的OLS，即先将原始变量转换成满足经典模型假定的转换变量，然后对其使用OLS程序的估计方法。相应估计量称为GLS估计量，这些估计量是满足BLUE。在异方差条件下，GLS实际上是一种加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS），该方法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。一、形式一：假定相异的方差已知，以一元线性回归模型为例，对于可以进行变量的变换，构造满足CLRM（经典线性回归模型）假定的回归方程。模型两边同时除以σi，得到模型满足经典假定。2026/11/4103变换后模型的OLS估计：目标函数令为了使加权平方和最小，一阶条件为2026/11/4104一阶条件正规方程

2026/11/4105在变换后的模型中满足同方差性，可用OLS法估计三、两个例子一元线性回归模型为例例子1：假定相异的方差是解释变量的已知函数形式为

例子2：假定相异的方差是解释变量的已知函数形式为2026/11/4106进行变换，模型两边同时除以Xi，模型变换为一元线性回归模型，且满足等方差假设。进行变换，模型两边同时除以Xi的开方模型变换为二元线性回归模型，且满足等方差假设。2026/11/4107§5广义最小二乘法（GLS）模型假设一个结论：正定矩阵和单位矩阵合同，即广义最小二乘法（GLS）当经典假设不成立时，我们的一个想法就是通过可逆变换，将不满足假设的模型变为满足假设，这样就可以利用前面讲的经典框架进行模型估计了，且估计量满足高斯马尔可夫性。模型进行线性变换2026/11/4108模型进行OLS估计参数的统计性质：线性性、无偏性、有效性第七章自相关性自相关性的含义，理解其产生原因理解自相关性存在的后果掌握检验自相关性的方法掌握处理和消除自相关性的方法1092026/11/4§1自相关的含义及其表现形式一、自相关的含义自相关又称为序列相关，实际中，如果变量在时间或空间的顺序有一定含义，就有可能存在序列相关，特别是在时间序列数据的研究中，数据的观测值往往是按照时间的先后自然排列，因此连续观测的时间序列数据就表现出内在的相关性。经典线性回归模型假定随机误差项不相关是指对于回归模型：当随机误差项不存在自相关时，随机误差项满足：当随机误差项存在自相关时，用符号表示就是：货币需求函数估计的残差图2026/11/4110二、自相关的表现形式假定随机误差项的自相关形式如下：其中，为自相关系数或自回归系数。为随机误差项，满足经典假定，且与不相关。上式表示随机误差项的一阶自相关。如果自相关系数ρ等于0，称之为误差项无自相关；如果ρ大于0，称之为误差项正自相关；如果ρ小于0，称之为误差项负自相关。除了一阶自相关外，自相关还有许多其它形式，例如：无自相关序列正自相关序列负自相关序列2026/11/4111三、自相关的来源（产生的原因）1、惯性：如宏观经济上升时，国内生产总值等大多数经济变量一般会存在惯性地持续上升趋势，这类惯性常常使得随机误差项具有自相关。2、模型的函数形式设定不正确：在经验分析中，模型的正确函数形式总是未知的，若回归模型所采用的函数形式与所研究问题的真实关系不一致，或者遗漏重要解释变量，随机误差项往往也会出现自相关。3、数据处理引起的自相关：估计回归模型时所使用的数据常常是公开发表的数据，这些数据往往是经过处理后的数据，如：季度数据往往由月度数据计算得来；通过所谓的“内插”或“外推”得到人口普查、卫生服务调查等数据；研究者为了需要对模型中的变量做差分变换。这些数据处理往往会引起随机误差项自相关。4、某些模型中的随机误差项的特性带来的自相关：回归模型中，随机误差项所包含的随机因素对被解释变量影响的部分。有些随机因素对经济的影响可能会延续至随后的若干期，这样就导致误差项具有自相关。2026/11/4112§2忽视自相关的后果如果误差项存在自相关，模型参数的最小二乘估计量将不再是BLUE，对回归参数的假设检验也不再可靠，具体而言，直接使用普通最小二乘法通常会带来如下结果：一、回归系数的最小二乘估计量仍具有无偏性对一元线性回归模型：无自相关情况下，的估计量为：二、估计的回归系数不再具有最小方差性经典假定下，的方差为：存在一阶自相关的方差为:=2026/11/4113

2026/11/4114一、图示法图示法是一种直观的自相关模型的诊断方法，它是把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项et，et作为ut随机项的真实估计值，再描绘残差et，的散点图，根据散点图来判断et的相关性。残差et的散点图通常有两种绘制方式。§3

自相关的检验正相关散点图负相关散点图2026/11/4115二、德宾—沃森(Durbin-Watson)的DW自相关检验1、DW检验的前提条件：（1）回归模型含有截距项；（2）解释变量是非随机的；（3）随机误差项的自相关形式为一阶自相关；（4）随机误差项被假定为正态分布；（5）不能把滞后因变量作为解释变量放在模型中；（6）统计数据比较完整，没有缺失数据，样本容量充分大。2、DW检验的基本原理和步骤：（1）给出原假设：，备选假设：（2）用残差构造DW检验统计量：样本容量充分大2026/11/4116自相关系数的取值范围为[-1,1]，则DW统计量的取值区间为[0,4]。（1）若误差项没有自相关，则对应DW统计量值为2。若计算得到的DW值大约为2，则表明误差项没有自相关；（2）若，表明误差项有完全正自相关，对应DW值等于0。因此DW值越接近于0，正自相关的迹象越明显；（3）若，随机误差项具有完全的负自相关，对应DW等于4。因此，DW值越接近于4，负自相关的迹象越明显。

DW统计量没有唯一的临界值帮助判断拒绝或不拒绝原假设，只有一个临界值的上限和临界值下限。将计算得到的DW值和上下限进行比较，从而容易判断误差项是否存在自相关。不同样本容量和解释变量对应的和可在附表中查得。具体判别规则如下图：2026/11/4117三、布罗施—戈弗雷检验(Breusch-Godfrey,简称BG)

对于回归模型：假设其误差项的自相关形式为:原假设为：备选假设：至少有一个不为0

检验过程如下：（1）使用OLS估计模型，得到残差记为e;（2）将上述估计的残差e与残差滞后值进行辅助回归，并计算辅助回归模型的可决系数R2；（3）在大样本下，渐进地有：

对于给定显著性水平α，若计算的大于的临界值，则拒绝原假设，认为至少有一个的值显著不为0，即存在自相关。BG检验在应用过程中有几点需要注意：

（1）若模型中的解释变量不是严格外生的，会有一个或多个解释变量与相关。（2）即使误差项服从q阶移动平均过程，BG检验也适用。（3）确定滞后阶数的方法。2026/11/4118四、博克斯—皮尔斯(Box-Pierce)的Q检验根据OLS估计的残差构造Q统计量：在残差无自相关的原假设下，上式所定义的统计量渐进服从自由度为p的分布。将计算的Q统计量值与临界值比较，从而接受或拒绝原假设。五、回归检验法回归检验法的步骤如下：①用给定样本估计模型并计算残差et

；②对残差序列et

,(t=1,2,…,T)用普通最小二乘法进行不同形式的回归拟合。如

et=

et–1+vt

；

et=

1

et–1+

2

et–2+vt

；

et

=

et-12+vt

；

et=

+vt

等等；③对上述各种拟合形式进行显著性检验，从而确定误差项ut存在哪一种形式的自相关。该检验法的优点：（1）适合于任何形式的自相关检验；（2）若结论存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与参数的估计值；缺点是计算量大。2026/11/4119按照产生自相关的原因不同，有以下几类处理方法：一是错误地设定模型的数学形式所致，这样修改模型的数学形式，探查方法是采用残差et

对解释变量的较高次幂进行回归；二是省略了重要解释变量所致，这样找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型，探查方法可以用残差et对那些可能影响因变量但又未列入模型的解释变量回归，并作显著性检验。三是误差项ut“真正”存在自相关，解决办法是变换原回归模型，使变换后的随机误差项消除自相关，进而利用普通最小二乘法估计回归参数，这种变换方法称作广义最小二乘法。一、已知

的情况设原回归模型是