湖南长沙市第一中学2027届高三上学期月考试卷三数学试卷

选择题(8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项A.-B.C.D.3.已 A. B. C.4.的展开式中，的系数为 A. B. C.D.5.已知命题 A.p和q都是真命 B.和q都是真命C.p和都是真命 D.和都是真命 ， B. C. D.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n(n≥4)次，用表示没有出现连续三次正面朝上的概率，则 选择题(3618分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.60分) B. D.已知直线4x+3y-12=0与x轴、y轴交于A，B两点，点P为圆C:上的动点， ABCPAB1P2当∠PBA最小时， B.C.的最大值 D.没有最小填空题(3515分 且面积为则椭圆E的离心率为 ．若对任 ，存 ，使 在处的切线 如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于f(x) .给定正实数m和定点，已知P，N两点分别在x轴和y轴上运动，且满O为坐标原点.Q的轨迹方程(m表示过点作直线与点Q的轨迹交于A，B两点求的最小值过点E作的垂线与点Q的轨迹交于C，D两点， 的取值范围(用m表示 （1）若，求数列前9项的和（2（i） …，时量:120分 满分:150选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1. A.- B. C. D.【答案】【分析】利用诱导公式，将给定大角度转化为常见锐角的正切值求解【详解】所 故2.A.【答案】B.C. D.【分析】由复数除法即可求解【详解】因为，所以已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则 A. B. C. D.【答案】【分析】借助等差数列的性质计算即可得【详解】因为，所以的展开式中，的系数为 A.B.A.B.C.【答案】令，得，所求项系数为已知命题p：，；命题q：，，则 p和q都是真命 B.和q都是真命C.p和都是真命 D.和都是真命【答案】【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解【详解】对于而言，，则有，是假命题，是真命题，对于而言，，则，是真命题是假命题，函数的图象大致是 【答案】【分析】通过求函数的零点，再利用导数研究函数的单调性，即可确定最终图象【详解】令，即，解得或所以函数的图象过原点和点令，解得当时，，函数单调递增综上所述，只有选项A的图象满足函数的各个特征， B. C. D.【答案】【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点【详解】 的中点分别 ，上、下底面的中心分别 设，内切球半径为，因为，棱台的高为，同 内切球与平面相切，切点在上在等腰梯形中 在梯形中 由②③得，代入得， 此棱台的表面积是：8.n(n≥4)A.B.【答案】【分析】当投掷n（）次时，分3种情况，一是第n次出现反面，二是第n次出现反面，第n-1次出现反面，三是第n次出现正面，第n-1次出现正面，求得的递推公式求解.【详解】设为连续投掷次硬币没有出现连续三次正面的概率易知 ，当投掷四次连续出现三次正面向上的情况有：正正正正，正正正反反正正正，所 当投掷n（）次时，共分3种情况：一是如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面的概二是如果第n次出现正面，第n-1次出现反面，这时不出现连续三次正面的概率是nn-1n-2选择题(3618分.合题目要求.60分9.，若⊆，则实数的取值可以是 B.D.【答案】，得A，而，故知，故A正确B，无解 ，由空集是任何集合的子集 ，故CCDD错误 ABCPAB1P2当∠PBA最小时，【答案】【分析】先求出A、B坐标及圆C的圆心、半径，用点到直线距离公式验证A，用圆上点到直线的距离范围验证B，用点到圆心和切线长公式验证C，用圆的参数方程、向量数量积坐标运算、辅助角公式验证【详解】由题直线与坐标轴交点，，圆圆心，半径对于A，圆心到直线的距离 ，直线与圆相离，A错误；对于B，圆上点到直线的距离范围是，距离为1时，平行于且距离为1的直线中，靠近圆心的直线到的距离为，与圆交2远离圆心的直线到的距离 ，与圆无交点，共满足条件的点有2个，B正确，CD则最大值为，D正确在中所对的边分别为，的面积若则下列结论一定正的有（ ） B.C.的最大值 D.没有最小【答案】【分析】对于A，利用三角形面积公式得即可判断；对于B，利用余弦定理及化简判断对于C利用辅助角公式即可判断对于利用基本不等式及即可计算小值.【详解】对于选项A，由，得，即只有当时，才有，显然题设条件不够，A错误；对于选项B，由余弦定理得，若则，此时 ，方程无正实数解，所 所 ，故B正确对于选项C（当时，取到最大值为，故C正确；对于选项D， 所以 时 取得最小值，故D错误填空题(3515分已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积 【分析】由题意作图，根据等腰直角三角形的性质，求得圆锥的底面半径以及母线长，利用圆锥表面积公式，可得答案. 所以圆锥表面积故答案为：已知椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为A，为锐角三角形且面积为则椭圆E的离心率为 【分析先利用三角形面积公式建立的等量关系再结合锐角三角形的约束条件求解离心率舍去符合要求的解即可。【详解】椭圆的焦点在轴上，半焦距c满足，上焦点、下因为的底为，高为点到轴的距离，所以面积，所 由题上、下焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，知为等腰三角形，，仅需顶角即，将，得，即，整理即， 所 不合题意，舍去符合题意， 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式，并构造函数，利用函数值域的包含关系列式求解得对任意，存在，，即 当时，，此 ，无解当时，，此时或， 所以的取值范围 解答题(577分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知，，分别是内角，，所对的边，且满，若为边上靠近的三等分点，，求求的值 的最大值【答案（1）（2） （2）根据，两边平方整理得到，再利用基本不等式求解【详解（1）因为由正弦定理 即所以由余弦定理得得（2）由题意 两边平方 整理 ， 于是 所以求的最大值要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；个定理都有可能用到．解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于求证：平面∵平面，过的平面交平面于∴，又∵，∴四边形为菱∴，∵平面，平面，∴平面又∵四边形为菱形，∴同 平面（2合空间向量的坐标运算，即可得到结果.2于点∴平∵∴且，平，所以平面 平 ，所 平 ，在三角形中， ，在三角形中，由等面积法可得法二：建系：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系17.判断函数f(x)（2）若函数f(x)有两个极值 ，证明【答案（1）当时，函数有1个极值点；2于 从而，即，等号当且仅当时成立【分析（1）在定义域内研的符号，按参数比较二次式根的正负及其是否发生变号，分类得到极值点个数．（2由两个极值点是的两个正根利用韦达定理消去把所证式化为关的对数不等式再用判断其最小值．1函数的定义域为， 由于， 同号当时，方程的两个根和，故在正根两侧由负变正，函数有1个极值点．当时，，函数在上递减，在上递增，因而有1个极值点．的符号依次为正、负、正，故函数有2当时 ，在两侧不变号，故没有极值点当时，对一切成立，故，没有极值点．综上，当时有1个极值点； 时有2个极值点当时有0个极值点18.给定正实数m和定点，已知P，N两点分别在x轴和y轴上运动，且满O为坐标原点.Q的轨迹方程(m表示过点作直线与点Q的轨迹交于A，B两点求的最小值过点E作的垂线与点Q的轨迹交于C，D两点，求的取值范围(用m表示（2（i）（ii）【分析（1）设出的坐标，由两个向量条件建立坐标关系并消去参数，求出的轨迹1设，，由，得，由，得 反之，对任意满足的点，取、，则、满足题设两个量条件，故轨迹没有遗漏．2将轨迹参数化为，其中若，则为轴，只与抛物线交于一点，所 ，其当时取等，此时，为直线，与抛物线交于、，故最小值为若为竖直线，则为轴，只与抛物线交于一点；若为轴，则也只交于一点．因此可设为斜率的直线，的方向向量可分别取、，且设，，， ，从而当时取得最大值，故所求取值范围为19.设无穷数列满足：且对任意， （1）若，求数列前9项的和（2（i）（ii）求值 请给出证明（2（i），有若，若，综上，对任意，（3）存 ，证明如下 拆成组，第所以对任 ，即可适当选取，使所以，所以存在，使得等式成立，证毕【分析（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，进而即可求出前项（2（i）先