八年级数学上册《含30°角的直角三角形的性质》课件

【R·数学八年级上册】第2课时含30°角的直角三角形的性质15.3.2等边三角形学习目标合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.情境导入a.量一量这个三角板的短直角边和斜边的长度.说一说你发现了什么？短直角边：6.9cm斜边：13.8cm短直角边的长是斜边长的一半b.将两个全等的含30°角的直角三角尺摆在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？CABD情境导入猜测：理由：①△ABD为等边三角形；②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称.如图，在△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A

所对的直角边BC

与斜边AB，你能得到什么结论？探究新知含30°角的直角三角形的性质探究ABC30°再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？仍然成立.你能证明你的结论吗？含30°角的直角三角形的性质已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：分析：2BC=AB构造长为2BC

的线段

ABC30°构造线段ABC30°DABC30°D证明：如图，延长BC

到D，使CD=BC，连接AD，则AC

是BD

的垂直平分线.所以AB=AD.又因为∠B=90°–∠BAC

=90°–30°=60°，所以△ABD

是等边三角形，所以BD=AB.方法①ABC30°D含30°角的直角三角形的性质

∴∠B=

90°–30°=60°.又BD=BC，∴△BCD

是等边三角形.∴BD=CD=BC，∠BCD=60°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB–∠BCD=30°.又∠A

=30°，∴∠A

=∠ACD.∴AD

=CD

=BC

=BD.证明：如图，在AB

边上截取BD

=BC，连接CD.在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，ABC30°D方法②含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在Rt△ABC

中，∵∠C

=90°，∠A

=30°，

几何语言：含30°角的直角三角形的性质ABC30°针对训练1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B

和∠A各是多少度？边AB

与BC

之间有什么关系？教材P84练习第1题解：∵∠C

=

90°，∠B

=

2∠A，∠A+∠B+∠C

=

180°，∴∠A+2∠A+90°=

180°.∴∠A

=

30°.∴∠B

=

2∠A

=

60°.∴AB

=

2BC.针对训练2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B

和∠A

各是多少度？教材P84练习第2题ABCD解：如图，延长BC至点D，使CD

=

BC，连接AD，则BD

=

2BC.∵AB

=

2BC，∴AB

=

BD.∵∠ACB

=

90°，CD

=

BC，∴AC是BD的垂直平分线.∴AD

=

AB

=

BD.∴△ABD是等边三角形.∴∠B

=

60°.∴∠CAB

=

90°–∠B

=

30°.教材P83例题例5图中是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB

的中点，立柱BC，DE

垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°.求立柱BC，DE

的长.教材P83例题解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，

随堂演练1.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（

）A.30° B.60°

C.150° D.30°或150°D随堂演练2.如图，∠AOB

=30°，点C

在射线OB

上，若OC

=6，则点C

到OA

的距离等于____.3ABCO随堂演练3.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC

的平分线BE

交AC

于点E.点D

为AB

上一点，且AD=AC，CD，BE

交于点M.（1）求∠DMB

的度数；（2）若CH⊥BE

于点H，求证：AB=4MH.随堂演练（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°.∵BE

是∠ABC

的平分线，∴∠ABE=∠CBE=30°.∵∠A=30°，AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠DMB=∠ADC–∠ABE=45°.随堂演练（2）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC.∵CH⊥BE，∠CBE=30°，∴BC=2CH，∴AB=4CH.在Rt△CHM中，∠CMH=∠DMB=45°，∴∠MCH=45°，∴CH=MH，∴AB=4MH.随堂演练4.如图，灯塔C

在海岛A

的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A

出发，以15nmile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B

处，此时测得灯塔C

在B

处的北偏东60°

方向.（1）求B

处到灯塔C

的距离；随堂演练解：(1)根据题意得∠BAC=90°–75°=15°，∠CBE=90°–60°=30°，AB=15×2=30

(nmile)，∴∠ACB=30°–15°=15°.∴∠BAC=∠ACB.∴BC=AB=30nmile.答：B

处到灯塔C

的距离为30nmile.随堂演练（2）已知在以灯塔C

为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.随堂演练

D课堂小结在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC30°

轴对称1.

下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的图形是(

B

)B12345678910112.

如图，将一张三角形纸片

ABC

沿过点

B

的直线折叠，使点

C

落在

AB

边上的点

E

处，折痕为

DB

，则下列结论一定正确的是(

D

)A.

AD

＝

BD

B.

AE

＝

AC

C.

ED

＋

EB

＝

DB

D.

AE

＋

CB

＝

AB

D12345678910113.

已知在平面直角坐标系中，

A

，

B

两点的坐标分别是(－2，3)和(2，

3)，有下列四个结论：①

A

，

B

关于

x

轴对称；②

A

，

B

关于

y

轴对称；③

A

，

B

之间的距离为6；④

A

，

B

之间的距离为4.其中正确的结论有

个.2

1234567891011

线段垂直平分线的判定4.

如图，

AD

为△

ABC

的角平分线，

DE

⊥

AC

于点

E

，

DF

⊥

AB

于点

F

，

EF

交

AD

于点

M

.

求证：

AD

垂直平分

EF

.

1234567891011

1234567891011

等腰三角形与等边三角形的性质与判定5.

(廊坊霸州市期中)如图，上午8时，渔船从

A

处出发，以20海里/

时的速度向正西方向航行，9时30分到达

B

处.从

A

处测得灯塔

C

在南偏

西30°方向，距

A

处30海里处.则

B

处到灯塔

C

的距离是(

C

)A.

20海里B.

25海里C.

30海里D.

35海里C1234567891011【解析】如图，连接

BC

.

∴∠

BAC

＝90°－∠1＝60°.∵

AC

＝30海里，∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等边三角形.∴

BC

＝

AC

＝30海里.12345678910116.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

边的垂直平分线与

AC

所在直线相交所

得的锐角为40°，求∠

B

的度数.解：此题分两种情况讨论：(1)如图1，

AB

边的垂直平分线与

AC

边交于点

D

，与

AB

边交于点

E

，

∠

ADE

＝40°，则∠

A

＝50°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－50°)÷2＝65°.1234567891011(2)如图2，

AB

边的垂直平分线与

CA

的延长线交于点

D

，与

AB

边交于

点

E

，∠

ADE

＝40°，则∠

DAE

＝50°.∴∠

BAC

＝130°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－130°)÷2＝25°.综上所述，∠

B

的度数为65°或25°.12345678910117.

如图，△

ABC

是等边三角形，

D

是边

BC

上(除

B

，

C

外)的任意一

点，∠

ADE

＝60°，且

DE

交△

ABC

的外角∠

ACF

的平分线

CE

于点

E

.

求证：(1)∠1＝∠2；证明：(1)∵△

ABC

是等边三角形，∠

ADE

＝60°，∴∠

ADE

＝∠

B

＝60°.又∵∠

ADC

＝∠2＋∠

ADE

＝∠1＋∠

B

，∴∠1＝∠2.1234567891011(2)

AD

＝

DE

.

证明：(2)如图，在

AB

上取一点

M

，使

BM

＝

BD

，连

接

MD

，则∠

BMD

＝∠

BDM

.

∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

B

＝∠

ACB

＝60°，

AB

＝

BC

.

∴∠

BMD

＝60°.∴∠

AMD

＝120°.1234567891011

1234567891011

含30°角的直角三角形的性质8.

(石家庄第48中学期末)如图，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

∠

ABC

＝60°，

BC

＝4

cm，

D

为

BC

的中点，若动点

E

以1

cm/s的速度

从

A

点出发，沿着

A

→

B

→

A

的方向运动，设

E

点的运动时间为

t

s(0≤

t

＜12)，连接

DE

，当△

BDE

是直角三角形时，

t

的值为(

D

)A.

4B.

7或9C.

4或9D.

4或7或9第8题图D1234567891011【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

＝60°，则∠

A

＝180°

－∠

ACB

－∠

ABC

＝30°，∵

BC

＝4

cm，∴

AB

＝2

BC

＝8

cm.∵

D

为

BC

中点，∴

BD

＝2

cm.∵0≤

t

＜12，∴点

E

的运动路线为从

A

到

B

，再从点

B

到

AB

的中点，按运动时间分为0≤

t

≤8和8＜

t

＜12两种情况.第8题图1234567891011

②当8＜

t

＜12时，则此时

E

点又经过

t

＝7秒时的位置，此时

t

＝8

＋1＝9.综上所述，

t

的值为4或7或9.第8题图12345678910119.

(邯郸第23中学期末)如图，已知∠

AOB

＝60°，

OP

平分∠

AOB

，

PC

⊥

OA

于点

C

，

D

是

OB

上的动点，若

PO

＝6

cm，则

PD

长

的最小值是

⁠.第9题图3

cm

1234567891011

轴对称的相关作图10.

(唐山第12中学期末)如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

36°，点

D

，

P

分别是图中所作直线和射线与

AB

，

CD

的交点.根据图

中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是(

D

)A.

∠

ABP

＝∠

A

B.

AD

＝

CD

C.

∠

PBC

＝∠

ACD

D.

∠

BPC

＝118°D1234567891011

1234567891011∵

DA

＝

DC

，∴B选项不符合题意.∵

DA

＝

DC

，∴∠

ACD

＝∠

A

＝36°.∴∠

PBC

＝∠

ACD

＝36°.∴C选项不符合题意.∵∠

PBC

＝36°，∠

ACD

＝36°，∴∠

PCB

＝36°.∴∠

BPC

＝180°－36°－36°＝108°.∴D选项符合题意.123456789101111.

要在一条笔直