2026-2027学年江西省部分学校高三上学期暑假学习质量诊断联合练习数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.设，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.3.已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（）A.且B.且C.D.4.已知集合，，则（）A. B. C. D.5.已知函数．若在上有解，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知梯形中，，，动点在边上（不含端点，），交于点，过作于点，若，则（）A. B. C. D.7.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（）A.2025 B.2026 C. D.8.由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（）A. B.直线经过焦点C.原点到直线的距离为1 D.抛物线与圆恰有4个公共点10.树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列说法正确的是（）A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30B.成绩第名的100人中，高一人数不超过一半C.成绩第名的50人中，高三最多有32人D.成绩第名的50人中，高二人数比高一的多11.在△ABC中，角的对边分别为，且则下列说法正确的是（）A.为钝角三角形B.C.若为边的中点，则|AM|的取值范围为D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的部分图像如图所示，则其解析式是______．13.已知是满足下列性质的一个排列，性质：排列中有且仅有一个，当时，满足性质的数列一共有__个.14.已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.15.某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表：抗病株数易感病株数实验组3812对照组2525（1）完成列联表并依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联；（2）用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为，求的数学期望与方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.82816.已知函数，．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若恒成立，求正实数的取值范围．17.如图，在三棱锥中，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点.（i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由；（ii）求四边形面积的取值范围.19.不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数．（1）已知函数，集合，设为集合中元素的个数．（ⅰ）写出，及数列的通项公式；（ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值．（2）求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先把代入代数式，再对分式分母实数化，化简整个复数，最后找出虚部.解答过程：因为，所以，所以，该复数的虚部为.2.设，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据指数式及对数函数单调性得出大小关系.解答过程：，则.故选：B.3.已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（）A.且B.且C.D.答案：C解析：解答过程：正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；

由正态分布的对称性：，，C正确；

，而，所以，因此，D错误4.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助指数函数的单调性与绝对值的性质可得集合，借助对数函数定义域计算可得集合，即可得，再利用交集定义即可得解.解答过程：由题意知，，故，所以．故选：A．5.已知函数．若在上有解，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据不等式分离常数得到，再利用导数分析函数的单调性求出最值，进而得到的取值范围.解答过程：，即，整理得.不等式在上有解，等价于，其中..当时，，单调递减.当时，，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为.由，所以的取值范围是.6.已知梯形中，，，动点在边上（不含端点，），交于点，过作于点，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用向量的加法转化，从而得到，再利用共线向量转化为，最后利用数量积公式转化求解.解答过程：,因为,所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为,所以.7.牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（）A.2025 B.2026 C. D.答案：D解析：思路：先由函数有两个零点求得和的解析式，进而求得数列的递推公式，从而得到数列的前n项和，即可求得的值．解答过程：有两个零点1，2，则，解之得，则，则，则，则，由，可得，即，又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，前n项和，则.故选：D．8.由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可.解答过程：，令，，令，，令（虚数单位，），，令，，将，得到，又，，，，则转化为，即，即，即，故选项D正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线与圆，设其交点为，，抛物线的焦点为，准线为，下列结论正确的是（）A. B.直线经过焦点C.原点到直线的距离为1 D.抛物线与圆恰有4个公共点答案：BC解析：解答过程：对于A，已知抛物线与圆相交于点，，联立方程可得，代入可得，即，解得或（舍去）．当时，代入，可得，则，或，．因此，，故A错误；对于B，抛物线的焦点为，由点，坐标，可知直线为．因此，直线经过焦点，故B正确；对于C，原点到直线的距离为1，故C正确；对于D，由对于A的分析，可知两曲线仅有两个公共点，故D错误．10.树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列说法正确的是（）A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30B.成绩第名的100人中，高一人数不超过一半C.成绩第名的50人中，高三最多有32人D.成绩第名的50人中，高二人数比高一的多答案：ABC解析：思路：根据饼状图和条形图依次分析各选项即可得答案.解答过程：解：由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此成绩第名的100人中，高一人数为，B正确；成绩第名的50人中，高一人数为，故高三最多有32，C正确；成绩第名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．故选：ABC11.在△ABC中，角的对边分别为，且则下列说法正确的是（）A.为钝角三角形B.C.若为边的中点，则|AM|的取值范围为D.答案：ACD解析：思路：选项A：根据余弦定理代入求解即可.选项B：根据向量的数量积以及余弦定理代入求解.选项C：根据中线长公式以及三边关系求解.选项D：根据正弦定理以及均值不等式求解即可.解答过程：对于A，因，，由余弦定理得，整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确；对于B，

.而，，B错误；对于C，由中线长公式，​，则.在△ABC中，有，且，则得，解得，进而，即得​，故，C正确；对于D：由正弦定理，​，​，则等价于

,即，即,也即(*)，因，则​​，故，当且仅当时取等.即(*)成立,故不等式恒成立，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的部分图像如图所示，则其解析式是______．答案：解析：解答过程：由图象可知，函数最大值为，所以，因为，所以，而，，所以，当时，，所以，，因为，所以，故.13.已知是满足下列性质的一个排列，性质：排列中有且仅有一个，当时，满足性质的数列一共有__个.答案：解析：思路：先根据题意得到和之间的关系：，再计算，代入即可.解答过程：设为符合题意的的个数，考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的：第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有种情况；第二种为1到不符合性质T排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况；故设易知，所以.故答案为.14.已知函数，若函数有四个零点，那么实数的取值范围是______；记四个零点从左至右为，那么的取值范围为______.答案：①.②.解析：思路：由函数有四个零点得到函数与的图形有四个交点，由图可知，由四个零点从左至右为，得到和，从中计算出的值及，解出，代入，利用对勾函数求解即可得解.解答过程：函数有四个零点，表示与有四个交点，由图可知，，，，，，，，在单调递增，所以.故，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.15.某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表：抗病株数易感病株数实验组3812对照组2525（1）完成列联表并依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联；（2）用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为，求的数学期望与方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）列联表见解析，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联．（2）；解析：思路：（1）根据已知条件完善列联表，然后计算的值，进而得到结论；（2）先根据题意得到经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为，再结合题意得到，进而利用公式即可求出的数学期望与方差．（1）由题得如下2×2列联表：

抗病株数易感病株数合计实验组381250对照组252550合计6337100零假设：小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联．由列联表的数据，得，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联．（2）由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为，随机变量的可能取值为，，，…，，由题知，所以，．16.已知函数，．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若恒成立，求正实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据导数的几何意义求出斜率即可；（2）分离参数后，利用导数求出函数的最值即可得解.（1）由题意得，.，，∴函数在点处的切线方程为；（2），∴代入得，，，设，，令解得，∴可得函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数的最大值为，，解得．∴综上，的取值范围为．17.如图，在三棱锥中，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明：取PB的中点D，连接CD；因为，D为PB的中点，故；因为平面平面，且交于PB，故平面；因为平面，故；又因为，且，平面，故平面；（2）；（3）存在一点，使得二面角的正切值为；．解析：思路：(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直；(2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离；(3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在．（1）略（2）取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO；因为O，F为BC，AC的中点，故；由(1)可知，平面，故平面；故，；又因为为等边三角形，故；故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系；因为，，故，，；故，，，，，，；设为平面的法向量，则，故，令，则；则点到平面的距离为；（3）设存在点E，使得，；则；设为平面的法向量；为平面的法向量；则，故，令，则；设二面角为，则，故；因为，整理化简可得：即，化简得：，解得：；故，则；综上，存在一点，使得二面角的正切值为．18.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点.（i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由；（ii）求四边形面积的取值范围.答案：（1）（2）（i）存在，直线的方程为；（ii）解析：思路：（1）根据椭圆的对称性，可知一定在椭圆上，进一步判断点也在椭圆上，即可求出椭圆方程；（2）（i）假设四边形为平行四边形，设直线方程，联立方程组，根据平行四边形对角线互相平方建立中点等量关系，根据方程是否有解判断是否存在即可；（ii）求出直线方程，联立方程组，分别求出到直线的距离，再根据弦长公式求出，表示出面积，最后求出面积的取值范围.（1）因为关于轴对称，所以必在上，又，所以不在上，所以在上，则，所以，因此的方程为.（2）（i）由题意知，假设四边形为平行四边形，设直线的方程为，设，将直线方程代入椭圆方程，化简整理得，所以，，所以，所以中点坐标为，若四边形为平行四边形，则与互相平分，所以为中点，则，，所以点的坐标为，代入，化简整理得，即，解得或（舍），所以，因此，存在四边形为平行四边形，此时直线的方程为；（ii）由点的坐标为，所以直线的方程为，代入双曲线方程，化简整理