2026-2027学年内蒙古部分学校百师联考高三上学期9月一轮检测数学试卷（含解析）

/数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.的值为（）A. B. C. D.3.已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B.C. D.4.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A. B. C. D.5.使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.6.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.47.若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.8.已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（

）A.99 B.78 C.66 D.52二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法错误的是（）A.是奇函数B.直线是图象的对称轴C.是增函数D.的值域为10.若正实数，满足，则（）A.的最小值是8B.的最大值是C.的最大值是D.的最小值是11.已知函数，其中，则下列说法正确的有（）A.存在实数使得为上的奇函数B.若为增函数，则的取值范围为C.对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点D.若，则方程有三个不同的实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则____________．13.已知，若，，则_____．14.已知函数有最大值，则实数的取值范围是_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值．（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）若，求函数图象的对称中心．16.已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值．17.已知函数．（1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式．18.已知函数（且，，）．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数的零点个数．19.已知函数，，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：；（3）证明：，．

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，所以2.的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得.3.已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先由复数的乘法及除法运算可得，再根据复数模的几何意义计算可得.解答过程：由复数的乘法及除法运算，得，所以，因此.4.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由图象可知函数的最小正周期，所以，解得.5.使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得.解答过程：因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，所以.所以的一个必要不充分条件.故选：A6.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由基本不等式可得，代入结合一元二次不等式解法计算求解即可.解答过程：当时，，当且仅当时等号成立，所以，因为，所以，即，令，得，解得或（舍去），所以的最小值为，当且仅当时等号成立.7.若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值.解答过程：设直线与切于，与切于.求导得，，因此公切线斜率，整理得①.的切线方程为；的切线方程为.同一直线截距相等，消去同类项得②，将①代入②，得关于的函数.对求导得，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此时取最小值，即.8.已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（

）A.99 B.78 C.66 D.52答案：A解析：思路：根据函数的对称性得到，并得到，，得到答案解答过程：因为关于对称，所以，用替换可得①，因为关于对称，所以，又，用替换可得，用替换可得，两式相加可得，用替换可得②，由①－②可得，用替换可得，因为，在中令，得，故，，因此.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列说法错误的是（）A.是奇函数B.直线是图象的对称轴C.是增函数D.的值域为答案：ABC解析：解答过程：，故是非奇非偶函数，，故不是的对称轴，具有周期性，因此不是增函数，.10.若正实数，满足，则（）A.的最小值是8B.的最大值是C.的最大值是D.的最小值是答案：BC解析：思路：根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D.解答过程：对于A，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是16，故A错误；对于B，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确；对于D，，当时，取得最小值，故D错误．11.已知函数，其中，则下列说法正确的有（）A.存在实数使得为上的奇函数B.若为增函数，则的取值范围为C.对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点D.若，则方程有三个不同的实数根答案：BC解析：思路：对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果.解答过程：对于选项A：因为，即，可知不为奇函数，故A错误；对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断，当时，则，可得恒成立，则，可得；当时，则，可得恒成立，则，可得；综上所述：的取值范围为，故B正确；对于选项C：当时，令，因为，，可知函数在内存在零点，即方程在内有根，所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确；对于选项D：若，则有：当时，则，可得恒成立，可知函数在内单调递减，则，且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为；当时，则，可得恒成立，可知函数在内单调递减，则，且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为；综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为，所以方程有且仅有1个实数根，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则____________．答案：2解析：解答过程：，.13.已知，若，，则_____．答案：解析：解答过程：由，，则，故，，，由，所以.14.已知函数有最大值，则实数的取值范围是_______．答案：解析：解答过程：因为有最大值，则，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值．（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）若，求函数图象的对称中心．答案：（1）（2）（3）对称中心为，．解析：思路：（1）由结合即可求出；（2）根据在上有最大值，且无最小值，结合正弦函数图象即可求出的取值范围；（3）结合（2）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心．（1）因为，，所以．因为，所以．（2）由（1）得．由，，得．因为在内存在最大值，但不存在最小值，所以由正弦函数的图象，得．解得.所以的取值范围为．（3）由，及（2）知，，则．所以．令，，解得，，所以函数图象的对称中心为，．16.已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）根据导数与单调性的关系求解即可；（2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可.（1）函数的定义域为，因为，则令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）若，则.令，则，则在单调递减.因为对任意的，恒成立，所以，即.所以的最大值为.17.已知函数．（1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式．答案：（1）（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．解析：思路：（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可；（2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可.（1）当时，，解，得，解集不是空集，故舍去．当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点，即，，即，解得．综上，实数的取值范围是．（2）由题意，得，即，整理得，即．因为，所以．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．18.已知函数（且，，）．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）讨论函数的零点个数．答案：（1）（2）当或时，函数的零点个数为；当且时，函数的零点个数为．解析：思路：（1）由变形为恒成立，再构造函数，再分两种情况讨论：当时，当时，，不符合题意；当时，得函数在处取得极小值也是最小值，且，故进而可得所求值；（2）由（1）知，当时，的零点个数为；当时，再分三种情况：①若时有个零点；②若时有个零点；③若时有个零点，进而可得函数零点个数.（1）因为，所以恒成立，即（）恒成立．两边取自然对数，得，所以恒成立．令，则在恒成立．对求导，得．因为，所以在上单调递增．当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递减．因为，所以当时，，不符合题意．当时，令，解得，则当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值也是最小值，即．因为，所以要使得恒成立，必有，解得，即实数的值为．（2）由（1）知，函数的零点个数等价于函数的零点个数．由（1）知，当时，在上单调递减，且，所以的零点个数为.当时，在上单调递减，在上单调递增．①若，有且仅有，故的零点个数为.②若，则，即，因为在上单调递减，由，得.又当时，，故存在，使得．此时有两个零点为和，故的零点个数为.③若，则，即，因为在上单调递增，由，得．又当时，，故存在，使得．此时有两个零点和，即的零点个数为.综上，当或时，函数的零点个数为；当且时，函数的零点个数为．19.已知函数，，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：；（3）证明：，．答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：因为，，所以，即．当时，．设，，则．令，则在上恒成立，所以即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所