2026-2027学年宁夏银川市唐徕中学高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.3.下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（）A. B.C. D.4.角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（）A. B. C. D.5.已知关于的不等式的解集为，则的解集为（）A. B.C. D.6.Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A. B. C. D.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.8.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式正确的是（

）A. B. C. D.10.是定义在上的奇函数，当时，有，且时，，则下列说法正确的是（）A.是以4为周期的周期函数 B.的图象关于对称C.函数有2个零点 D.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.若函数有两个零点，则C.不等式的解集为D.若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为__________．13.已知，且是第四象限的角，则_________14.已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为锐角，．（1）的值；（2）的值；（3）的值．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．17.已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．（1）解不等式；（2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值．18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明.19.由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．（1）试用表示（2）求的值（3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由题意知，又，所以.2.已知，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：选项A：若，由，可得；若，由，可得，不满足充分性，故A错误；选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误；选项C：由，可得；不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；选项D：“”不能得出，也不能推出，故是的既不充分也不必要条件，故D错误．3.下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可.解答过程：选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误；选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数，因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误；选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误；选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称，因为，所以，所以函数是奇函数，因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确．4.角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：角的始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则，所以.

5.已知关于的不等式的解集为，则的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为的解集为，所以，方程的两个根分别为，所以，，即，，所以不等式为，因为，得，解得．6.Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，电池容量不变，所以.所以.因为，且.所以.因此.7.已知，，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由得，①由得，②①②得，，①②得，，因此.8.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：画出函数的图象，根据图象分析可得的值，再由的取值范围即可得出答案.解答过程：画出函数的图象如下图所示：若，由，即，即，化简可得：，所以，当时，单调递增，且，令，则，所以，.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式正确的是（

）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：由条件结合基本不等式证明，由此可判断ABD，由条件，展开结合基本不等式求其范围判断C..解答过程：因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，又，所以，当且仅当时等号成立，A正确；所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，所以，D错误；因为，，所以，，故，，所以，C正确..故选：ABC.10.是定义在上的奇函数，当时，有，且时，，则下列说法正确的是（）A.是以4为周期的周期函数 B.的图象关于对称C.函数有2个零点 D.答案：CD解析：思路：A选项，因为，所以在定义域内不是以4为周期的周期函数，A错误；B选项，举出反例可得B错误；C选项，转化为的解，得到函数零点个数；D选项，时，函数的一个周期为4，利用函数的周期进行求解解答过程：对于A，当时，，所以，时，，令，则，所以，所以，因为为奇函数且，，，，则的图象如图所示，因为，所以在定义域内不是以4为周期的周期函数，A错误；对于B，因为，，，故的图象不关于对称，B错误；C选项，函数零点，即的解，当时，函数与有一个交点，即有一个解，的最大值为1，当时，，此时无解，故在上存在一个解，又为奇函数，为奇函数，可得在上存在一个解，所以的零点个数为2，C正确；D选项，由A可知，，故，D正确11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.若函数有两个零点，则C.不等式的解集为D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，构造函数，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解.解答过程：对于选项A，因为，由，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A正确，对于选项B，若有两个不同的零点，即直线与有两个交点，因为是的极小值点，，因为，且时，所以，当时直线与有两个交点，选项B错误；对于选项C，由，得到，当时，恒成立，当时，由，得到，令，在区间上单调递增，所以，则，综上，不等式的解集为，C选项正确；对于选项D，由，得到，则，由选项A知，在区间上单调递增，所以，则，故选项D正确，三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为__________．答案：解析：解答过程：由不等式移项得，，化简得，要求不等式的解集，等价于求不等式组的解集，解得，因此该不等式的解集为.13.已知，且是第四象限的角，则_________答案：##解析：解答过程：因为，则得，已知是第四象限角，则，故.14.已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________．答案：解析：思路：令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解.解答过程：因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，令，则，由得；得；则在单调递增，在上单调递减，则，因为时；时，且时，所以的函数图象如图：因为不是的根，所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，但方程的两根的乘积为，所以一个根位于，另一根位于，则，得，故的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为锐角，．（1）的值；（2）的值；（3）的值．答案：（1）（2）（3）解析：15.16.所以．17.因为，所以所以．所以且为锐角，可得，所以．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.17.已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1．（1）解不等式；（2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值．答案：（1）（2）当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0解析：思路：（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式；（2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值．（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，，所以，所以在上单调递增，所以，解之得，所以解集为．（2）因为在上单调递增，所以，，即，所以.所以，所以.令，因为，所以，所以.该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得；比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大．所以，.即，，所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0．18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明.答案：（1）递增区间为，递减区间为（2）因为，故，即，故，设，则，不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明：.证明如下：若，恒成立；若，即时，要证：，即证，而，即证，即证：，其中设，，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.解析：思路：（1）求导，根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由题知，进而令，将问题转化为已知，证明：，再根据极值点偏移问题求解即可.（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为（2）略方法提示：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值点偏移问题，考查化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是难题．本题第二问解题的关键在于设，结合（1）将命题转化为已知，证明：，再根据极值点偏移问题求解即可.19.由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．（1）试用表示（2）求的值（3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．答案：（1）（2）（3）证明:因,故