2026-2027学年陕西西北工业大学附属中学高二上学期第一次月考数学试卷

/陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试题一、单选题1、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．2、设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3、如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（）A．B．C．D．4、已知直线与直线则是的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5、已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（）A．B．C．D．6、在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（）A．B．C．D．7、在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（）A．和为对立事件B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件D．与为互斥事件8、已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（）A．B．C．D．1二、多选题9、下列结论正确的有（）A．倾斜角为的直线的一个方向向量是B．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是C．直线与直线之间的距离是D．已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为10、某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（）A．频率分布直方图中B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为2311、已知正方体的棱长为，其中，点为线段的中点，则下列选项正确的是（）A．时，B．时，三棱锥的体积为定值C．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1D．时，直线与面的交点轨迹长度为三、填空题12、已知直线方程为，则直线的倾斜角为________．13、直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.14、是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点为的中点．若空间内动点满足，则的最小值为________．四、解答题15、已知两直线.

(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；

(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.16、在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且．

(1)求的值；

(2)若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值．17、甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响．

(1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率；

(2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率；

(3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率．18、如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点．(1)证明：平面；

(2)若，

（i）求平面与平面的夹角的正弦值；

（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19、已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点.

(1)求的解析式；

(2)将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示.

（i）求直线与平面所成的角的正弦值；

（ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积.

注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为.答案/解析一、单选题1、【正确答案】A在空间直角坐标系中，两点关于z轴对称的坐标变换规律为：竖坐标保持不变，横坐标、纵坐标均变为原坐标的相反数，所以点P−2,3,−4关于z轴对称的点的坐标为2,−3,−42、【正确答案】B根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可.对于A，如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，记D1C平面ABCD为α，则有m⊥但D1C与平面对于B，若m⊥α, m//n，则n⊥因为n⊥α，则l′对于C，如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1记BD为n，平面ABCD为β，则有m⊥但平面ABCD//平面A对于D，若m//n, m//故选：B3、【正确答案】B利用空间向量基本定理表示向量即可.由题意：MN=故选：B4、【正确答案】B先求出两直线平行的充要条件，即可判断求解.由l1//l2，可得当m=−2时，l1:x−y−4=0，l当m=1时，l1:所以m=1是l故选：B.5、【正确答案】C根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点Q在平面BCP内，再应用三棱锥体积公式计算求解.如图，由点D为PB的中点，可得AB⃗所以AQ⃗因为x+y+z=1AQ⃗的最小值就是三棱锥A−BCP由V三棱锥得13h⋅3故选：C.6、【正确答案】B建立空间直角坐标系，设BC=因为直三棱柱ABC−A1B1又BA,BC⊂底面ABC，所以B又因为AB⊥BC，所以以BA,BC,设BC=aa>0，则B0,0,0，C所以BM⃗=0,设直线BM与直线CN所成角为θ，则cosθ=所以直线BM与直线CN所成角的余弦值为213故选：B7、【正确答案】BA选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断.A1事件的基本事件有(2,1)，2,2，2,3，2,4，2,5A2事件的基本事件有1,5，2,4，3,3，4,2，5,1A3事件的基本事件有2,5，3,4，4,3，5,2A1和A2都有事件2,4，所以A2PA1=事件A1A2的基本事件有2,4，P所以A1和APA1=事件A1A3的基本事件有2,5，P故A1和AA1和A2都有事件2,4，所以A28、【正确答案】C求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值.l1：kx−2−2y在l1的方程中，令x=0，则在l2的方程中，令y=0，则则点A0,4−k，S=由二次函数性质可得，当k=18故选：C.二、多选题9、【正确答案】ABD选项A：倾斜角为30∘的直线斜率k=tan⁡30∘=13选项B：记P(2,1)，计算得kPA=3−11−2=−2，kPB选项C：将x+2y−4=0化为2选项D：因直线l过P(x0,y0)，故A10、【正确答案】ABCD先用“各矩形面积之和为1”求出a；再用各组的频率乘以组中点值求和得平均数；求百分位数时先比较累计频率确定所在的组，再在该组内按频率比例插值；最后利用“两组数据合并后方差”的关系求出合并后的方差.对于A，由频率分布直方图，可得10a+0.035+0.040+0.010=1对于B，各组频率依次为0.15、0.35、0.40、0.10（对应区间60,70、70,80、80,90、90,100），取各组的中点值65、75、85、95，则平均数约为65×0.15+75×0.35+85×0.40+95×0.10=9.75+26.25+34+9.5=79.5，B正确.对于C，因为累计频率60,80为0.15+0.35=0.50<0.60，60,90为0.50+0.40=0.90>0.60，所以第60百分位数落在80,90内，为80+0.60−0.50对于D，80,90与90,100的频率之比为0.40:0.10=4:1，故可设两组数据个数分别为4k、k则总平均数z=总方差s2其中i=1同理j=1所以s211、【正确答案】ABD利用空间向量法求解，写出点A,B,D,E,D1,C1,A1的坐标，选项A，AP⃗=λAB⃗+μAD⃗及μ=12，求出AP⃗的坐标，根据点的坐标求出AA1⃗的坐标，将A1P⃗用AP⃗和AA1⃗表示，求出ED1⃗的坐标，利用数量积的坐标公式求出A1P⃗⋅ED1⃗=0，从而得到如图，建立以A为原点的空间直角坐标系.则A0,0,0AP⃗=λ又AA1⃗又ED1⃗=0,1,B选项，ED1⃗=0,1,则n⋅ED1⃗=y则AP⋅n=0，即AP平行于平面EBD1，得点P故VDC选项，因Pλ,μ,0,C1则(λ令λ−1=cosθμ−1=sinθ则λ+当且仅当θ=5π4时取等号，则D选项，因λ+则AP⃗即点P在线段BD上.连接A1B,A1故FG∥BD，即FG为交点轨迹.又则FGBD故选：ABD.三、填空题12、【正确答案】

60°/πsin300°=cos300°=由sin300°x+所以12y=32设直线倾斜角为α，其中α∈[0,π)，则tan13、【正确答案】2x−根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点1,2，由点斜式方程即可得出答案.②直线不过原点，设其方程为xa+y2a=1，又由直线经过点根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点1,2，此时直线的方程为y=2x，即②直线不过原点，设其方程为xa又由直线经过点1,2，则有1a+2此时直线的方程为2x故直线l的方程为2x−y故2x−y14、【正确答案】−45根据向量的数量积运算可得PM⃗⋅PN⃗=PO⃗设内切球的球心为O，连接PO，可得PM==PO设CC1,DD由于E为B1C1又BC=CC因此∠QBC=∠C又AH//BQ，所以又AB⊥平面BCC1，CE⊂平面又AB∩AH=A，AB,AH⊂因此点P在平面ABH上不同于点A处运动，故当OP⊥平面ABH时，此时OP建立如图所示的空间坐标系，则A0,0,0AO⃗设平面ABH法向量为m=x,取y=1，可得m故O到平面ABH的距离为d=所以PM⃗⋅PN四、解答题15、【正确答案】(1)4(2)2（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；（2）求出点A的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.（1）联立方程x−y−1=0因为所求直线垂直于直线3x+4y故所求直线方程为y−2=43（2）设点A−1,1关于直线l1对称的点为则m−12−n+1则PA+故|PA|+|PB16、【正确答案】(1)3(2)2（1）由正弦定理及二倍角公式可得cosB，结合三角形角的关系与两角和的正弦公式可得cosC；（2）设CM=m,CN=（1）由已知sinA−sin2由正弦定理有a=2bcosB，即6=10cosB又B∈0,π2，则又A∈0,π所以cosC=−（2）设CM=m，CN=n，则△CMN与△ABC的面积之比为15，由S则有mn=在△CMNMN则MN≥230所以MN的最小值为23017、【正确答案】(1)5(2)1(3)4（1）利用对立事件“两个都没猜中”计算概率；（2）分成甲猜中2个乙猜中1个和甲猜中1个乙猜中2个分别计算后再相加；（3）分成三个互斥事件计算：甲猜中1个乙猜中0个，甲猜中2个乙猜中1个，甲猜中2个乙猜中0个.（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件M，则PM即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为56（2）记事件Ai表示在两轮活动中甲猜对i个灯谜，其中i=0,1,2，事件Bi表示在两轮活动中乙猜对i所以PA0=PAPB0=PB记事件C表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则C=所以PC即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为13（3）记事件D表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则D=所以PD即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为4918、【正确答案】(1)取PD中点N，连接MN，AN，因为M，N分别为PC，PD中点，所以MN//DC，且因为AB//DC，且所以MN//AB且所以四边形ABMN为平行四边形，所以AN//因为AN⊂平面PAD，BM⊄平面所以BM//平面PAD(2)（i）306（ii）假设线段PA上存在点Q满足条件，设PQ⃗=λ则DQ⃗所以点Q到平面BDM的距离d=解得λ=13所以存在PQ⃗=23，使得点Q到平面（1）取PD中点N，连接MN，AN，根据中位线的性质，可得MN//DC，且MN=12DC，根据条件，可得AB//（2）（i）根据面面垂直的性质定理，结合条件，可证DA,DC,DP两两垂直，如图建系，求得各点坐标，即可得DA⃗（ii）假设存在，设PQ⃗=λPA⃗=(λ,0,−λ（1）略（2）（i）因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面AD⊂平面ABCD，AD所以AD⊥平面PDC因为PD,DC⊂所以AD⊥PD，因为PC=所以PD2+CD以D为原点，DA,DC,DP为x，则D(0,0,0),所以DA⃗因为AD⊥平面PDC，M为棱PC所以DA⃗=(1,0,0)即为平面设平面BDM的法向量n⃗则n⃗⋅DB令z=2，则y=−1,x所以cos<则sin<所以平面PDM与平面BDM的夹角的正弦值306（ii）略19、【正确答案】(1)f(2)（i）31326（1）由图有先求周期T，进而求ω，最后代点求出φ即可；（2）（i）法一：如图①，设A在平面OBC上的射影为H，连接AH、A′H，在平面OBC上过H作x轴的平行线l，过点B作BD⊥l交l于D，交x轴于G，由A在平面OBC上的射影为H，所以AB在平面OBC上的射影为BH，故AB和平面OBC所成角为（ii）法一：取线段HB的中点F，线段AB的中点为E，连EF，则点C在球上，且球被平面OBC所截的图形是以点F的圆，计算圆的半径，同理可得，球被平面OAC所截的图形也是半径相同的圆，最后利用球缺和球的体积公式即可求解；法二：建立空间直角坐标系，设线段AB的中点为E，A在平面OBC上的射影为H，计算以E为球心，半径为32的球被半平面OBC和平面OAC（1）由图可得，T4=13−由f−23=3所以φ=5π6+2kπk所以fx（2）（i）法一如图①，设A在平面O