北京市朝阳区北京中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区北京中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，绕着某个定点旋转能够和自身重合的图形是（

）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.一元二次方程化为一般式后，若，则的值为（

）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（

）A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则的值为（

）A. B. C. D.6.将抛物线y=x2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A.y=（x-3）2-1 B.y=（x+3）2-5 C.y=（x+2）2 D.y=（x-2）27.如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（

）

A.点 B.点 C.点 D.点8.如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论：①四边形不可能是菱形；②的面积始终等于；③点可能是的中点；④可能是直角三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）

A.①② B.①③ C.②④ D.①④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.一元二次方程的解为

．10.已知二次函数有最大值，写出一个满足条件的二次函数的解析式

．11.在平面直角坐标系中，点，，在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系是

．（用“”把它们连接起来．）12.已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是

．13.随着人工智能技术发展，某科技公司研发的智能服务机器人产能不断提升．年该公司智能服务机器人年产量为万台；年、年连续两年扩产，预计到年年产量达到万台．设年至年智能服务机器人年产量的年平均增长率为，则根据题意可以列方程为

．14.如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则

．

15.如图，抛物线

与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段

绕点B逆时针旋转

得到线段

，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为

．

16.已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点，之间（包含端点）．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立．其中正确的结论有

．三、计算题：本大题共1小题，共4分。17.解方程：．四、解答题：本题共11小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题4分)

已知是方程的一个根，求代数式的值．19.(本小题6分)已知二次函数．并回答以下问题：

(1)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；(2)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围；20.(本小题6分)如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点．

(1)求的度数；(2)若，求证：．21.(本小题6分)

在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A．(1)求a和的值；(2)当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．22.(本小题6分)

已知关于的一元二次方程．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．23.(本小题6分)如图，在中，，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)依题意补全图形；(2)若，求线段的长．24.(本小题6分)

小军同学计划为一幅长10寸，宽9寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？25.(本小题6分)消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．在某天的演练中，水枪斜向上喷水，水枪喷口置于原点处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，如图所示．设第一次出水的水柱的运动轨迹是，当水平距离时，水柱达到最大高度．

(1)求抛物线的函数解析式．(2)将出水初速度由第一次的减小为第二次的，水柱的运动轨迹变为．①请判断（填写“”“”或“”）；结合图象和初速度的大小关系，推测抛物线的二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足（填写“正比例”或“反比例”）关系．②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为，当斜向上喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：；竖直方向做匀变速运动，竖直高度与时间的关系：（其中为重力加速度，）．请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确．并据此计算的值．26.(本小题6分)

在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过．顶点坐标为．(1)求的值，并用含的式子表示．(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点．过点作平行于轴的直线，交一条过原点的直线于点．已知直线与抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为．若点从点运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求的取值范围．27.(本小题6分)如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点．

(1)求的大小；(2)点是线段中点（点在点左侧），点在线段上，连接，当线段和满足什么数量关系时，线段，并证明．28.(本小题6分)在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“二次变换点”．

(1)如图，已知点，，点是点关于点的“二次变换点”．①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标；②的长度是否与有关？若有关，说明理由，若无关，求的长．(2)已知点，是边长为的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“二次变换点”，在绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长．

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】，

10.【答案】/（答案不唯一）

11.【答案】

12.【答案】．

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

或

16.【答案】①②④

17.【答案】解：+2x-1=0，

+2x=1，

+2x+1=2，

=2，

x+1=，

​​​​​​​=-1+,=-1-.

18.【答案】解：是方程的一个根，，，．

19.【答案】【小题1】【小题2】解：观察图象得：当时，函数值的取值范围为．

20.【答案】【小题1】解：将绕点旋转得到，．，．，，．【小题2】证明：将绕点旋转得到，，．，，．中，，，，，．

21.【答案】【小题1】解：把代入得到，，解得，∴，把代入得到，解得；【小题2】由（1）可知，函数即为函数，当时，，当过点时，，解得，即，当时，为，与平行，如图，根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时

22.【答案】【小题1】证明：∵，∴该方程总有两个实数根；【小题2】解：∵，∴，∴或，∴，，∵，∴，∵该方程的两个实数根的差为，∴，解得．

23.【答案】【小题1】解：依题意补全图形如下：【小题2】解：∵在中，，，，∴，由旋转的性质得：，∴是等边三角形，∴，，∴，∴在中，．

24.【答案】解：画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的2倍，

设摆台画框的左、右边宽度为x寸，则上、下边宽度为2x寸，

根据题意列一元二次方程可得：（10+4x）（9+2x）=10×9÷（1-），

整理得，8x2+56x-45=0，

解得，（不合题意，舍去），

故摆台画框的左、右边宽度为寸．

答：摆台画框的左、右边宽度应是寸．

25.【答案】【小题1】解：由题意，抛物线顶点为，设，把点代入得：，解得：，∴这条抛物线的解析式为．【小题2】解：①由图象可得：的开口比的开口大，∴；根据函数图象可知：初速度v越大，开口越大，越小；初速度v越小，开口越小，越大，因此推测二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足反比例关系；②由，得，代入得：，∵，∴∴二次项系数，即，∴二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方满足反比例关系，即①中的推测是正确的．∵，∴．

26.【答案】【小题1】解：把代入二次函数，得；∵二次函数顶点的横坐标为，即抛物线对称轴为直线，∴，∴；【小题2】解：由（1）可得抛物线的解析式为，令，则，∵直线过原点，∴设其解析式为，由题意得直线与抛物线的交点为，解得，直线的解析式为，∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，且，，∵过点作平行于轴的直线，交直线于点，的纵坐标与相同，代入直线，得解得，，∵点从点运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，分两种情况讨论：①当时，，即，此时随增大而减小，，∴该函数开口向上，对称轴为，∴此时在对称轴左侧，随增大而减小，随增大而增大，满足条件；②当时，，即，此时随增大而增大，，∴该函数开口向下，对称轴为，要使随增大而增大，需解得，；综上所述，且．

27.【答案】【小题1】解：，，，由旋转可得，，，，，；【小题2】补全图形，当时，线段，证明：作点关于的对称点，连接，，，

​​​​​​​垂直平分，，，，，，，，，，在中，，，根据勾股定理，，，由得，点为的中点，设，，则，，，，，，，，，．

28.【答案】【小题1】解：①∵点是点关于点的“二次变换点”，∴点绕着点旋转得到对应点