福建省厦门市音乐学校2026-2027学年高二（上）阶段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年福建省厦门市音乐学校高二（上）阶段考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.过A（0，4），两点的直线的倾斜角为（）A.-60° B.60° C.120° D.150°2.已知直线2x+ay+6=0与直线（a-1）x+y+a2-1=0平行，则a=（）A.2 B.-1或2 C.-1 D.-2或13.已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P，A，B，C共面时，实数x=（）A. B. C. D.4.在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC中点，已知=，=，=，则等于（）A. B.

C. D.5.不论k为任何实数，直线（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0恒过定点，则这个定点的坐标为（）A.（-2，3） B.（2，3） C.（2，-3） D.（-2，-3）6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=CC1=2，BC=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=PA=2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是（）A.

B.

C.

D.

8.已知一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体OACB-O′A′C′B′中（如图2所示），下列结论错误的是（）A.

B.当时，

C.若，，则

D.平行六面体OACB-O′A′C′B′的体积二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）A.直线AB的一个方向向量为

B.线段AB的长度为3

C.平面α的法向量中u+t=1

D.向量与向量夹角的余弦值为10.已知△ABC的三个顶点A（3，2）、B（-2，3）、C（4，5），则下列说法正确的是（）A.直线AC的斜率为 B.直线AB的倾斜角为锐角

C.BC边的中点坐标为（1，4） D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=011.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M和点N分别是棱BC，A1D1上的动点，则下列说法正确的是（）A.过点M，N的正方体截面可以是直角三角形

B.为定值4

C.直线BB1与直线MN所成角余弦值的取值范围为

D.直线MN与面AA1D1D夹角的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面α的法向量=（-1，1，2），A（2，1，7）为α上一点，则点P（1，-2，2）到α的距离为

．13.经过点P（-2，3），在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为

.14.已知过点A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的直线l的倾斜角为α，若α∈[0，）∪（，π），则实数m的取值范围为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l过点P（2，1）.

（1）若直线l与3x-2y+4=0垂直，求直线l的方程；

（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，，.

（1）用，，表示；

（2）求直线CD与直线AC1所成角的余弦值.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD=1，．

（1）求二面角P-AC-D的余弦值；

（2）在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．18.(本小题17分)

已知四边形ABCD，∠BAC=∠ADC=90°，DC=DA=AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC.

（1）若PA=PB，求证PA⊥BC；

（2）若二面角P-AC-B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.19.(本小题17分)

人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种.设A（x1，y1），B（x2，y2），则欧几里得距离D（A，B）=；曼哈顿距离d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦距离e（A，B）=1-cos（A，B），其中cos（A，B）=cos⟨⟩（O为坐标原点）.

（1）若A（1，2），B（3，4），求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离e（A，B）；

（2）若点M（3，0），d（M，N）=2，求e（M，N）的最大值；

（3）已知点P，Q是直线l：y-1=k（x-1）上的两动点，问是否存在直线l使得d（O，P）min=D（O，Q）min，若存在，求出所有满足条件的直线l的方程，若不存在，请说明理由.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】CD

11.【答案】BC

12.【答案】

13.【答案】或

14.【答案】（-∞，-2）∪（，+∞）

15.【答案】（1）直线3x-2y+4=0的斜率为，与直线3x-2y+4=0垂直的直线的斜率为，

故过点P且与直线3x-2y+4=0垂直的直线的方程为，即2x+3y-7=0．

（2）分两种情况讨论：

①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为y=kx,

将点P的坐标代入该直线方程得2k=1，解得，此时，所求直线的方程为x-2y=0；

②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为，即x+y=a,

将点P的坐标代入该直线方程得a=2+1=3，

此时，所求直线的方程为x+y-3=0

综上所述，所求直线的方程为x-2y=0或x+y-3=0．

16.【答案】解：

=

=；

（2）设直线CD与直线AC1所成角为θ，

且

=，

，

，

∴，

∴直线CD与直线AC1所成角的余弦值为．

17.【答案】解：（1）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面PAC的法向量为，

则，

令x=1，则，

故，

又平面DAC的一个法向量为，

所以=，

故二面角P-AC-D的余弦值为；

（2）因为，，

所以，，

设，

则，

故，

所以PC⊥DA，

若PC⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，

则PC⊥DE，

所以=t-1+t=0，解得t=，

故存在点E为PB的中点，使得PC⊥平面ADE．

18.【答案】（1）证明：因为DC=DA=AB，PA=PB，

所以PB=PA=DA=AB，

在△PAB中，有，

所以PA⊥PB，

又∠ADC=90°，即∠APC=90°，所以PA⊥PC，

因为PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，

所以PA⊥平面PBC，

又BC⊂平面PBC，

所以PA⊥BC；

（2）解：取AC的中点E，BC的中点F，连结EF，PE，则EF∥AB，

因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC，所以EF⊥AC，

因为DC=DA，即PC=PA，所以PE⊥AC，

所以∠PEF为二面角P-AC-B的平面角，∠PEF=，

设DC=DA=AB=，则，PE=，

以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面PBC的一个法向量为，

则，即，

令x=1，则y=0，，故，

所以=，

故直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．

19.【答案】解：（1）d（A，B）=|1-3|+|2-4|=4，

，

所以；

（2）设N（x,y），由题意得：d（M，N）=|3-x|+|0-y|=2，

即|x-3|+|y|=2，而|x-3|+|y|=2表示的图形是正方形ABCD，

其中A（3，-2）、B（5，0）、C（3，2）、D（1，0），

即点N在正方形ABCD的边上运动，，，

可知：当取到最小值时，

相应的e（M，N）有最大值，

又==，

故当最大时，取到最小值，

又表示点（x,y）与（0，0）连线的斜率，故当点N位于点A或点C处时，

=≤，

所以e（M，N）的最大值为；