广东省东莞外国语学校2026-2027学年高二（上）段考数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省东莞外国语学校高二（上）段考数学试卷（一）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线的倾斜角是（）A.60° B.120° C.30° D.150°2.条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率为-2”，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.非充分也非必要条件3.已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A. B. C. D.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=3，点P在线段AC上，且，则直线B1C与A1P所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知点A（1，0，2），B（-1，1，2），C（1，1，-2），则点A到直线BC的距离是（）A. B. C. D.56.已知直线l：（1+m）x+（1+2m）y-7m-4=0．当点P（2，2）到l的距离最大时，m=（）A. B.0 C. D.17.已知向量，，，则三棱锥S-ABC的体积为（）A.2 B.4 C.6 D.88.如图，在直角△ABC中，AB=3，AC=3，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的面积等于（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，，，则（）A. B.

C.向量，的夹角为 D.向量在向量上的投影向量为10.已知直线l1：（m+1）x-y-2m+3=0，l2：2x-my-m+2=0，则下列说法正确的是（）A.l1∥l2的充要条件为m=1或m=-2

B.若l1⊥l2，则

C.若直线l1不经过第四象限，则

D.若m=2，则直线l2关于直线y=x+2对称的直线方程为x-y+4=011.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为2的正方形，则（）A.异面直线AE与DF所成角大小为

B.二面角A-EB-C的平面角的余弦值为

C.此八面体一定存在外接球

D.此八面体的内切球表面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，若，则实数x+y+z=

​​​​​​​.13.如图，二面角α-l-β的大小为，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=3，AC=2，BD=5，则CD=

.

14.在空间直角坐标系中，若直线经过点P（x0，y0，z0）且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则点Q（2，4，-4）到l距离为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（-7，0），C（5，6），D（-4，9），

（1）求点B的坐标；

（2）判断平行四边形ABCD是否为正方形.16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点.

（1）试用，，表示.

（2）求证：MN∥平面ABB1A1.17.(本小题15分)

在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（-4，2），AB边上的中线CF所在的直线方程为x+2y-5=0.

（1）求经过顶点A且平行于CF的直线方程；

（2）若AC边上的高BE所在的直线方程为x-3y+10=0，求边BC所在的直线方程；

（3）若∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x,求边BC所在的直线方程.18.(本小题17分)

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，PA=2.

（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；

（2）若点M在棱PC上，且二面角M-AB-D的大小为45°，求的值.19.(本小题17分)

定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在△ABC中，CD为AB边上的高，AD=1，BD=2，CD=2.将△ACD沿CD折起，得到四面体S-BCD（点A对应点S），且满足SC⊥BD.

（1）求证：四面体S-BCD为对垂四面体；

（2）求直线CD与平面SBC所成角的正弦值；

（3）设点P在棱SC上，点Q在棱SB上，且满足，记平面DPQ与平面BCD所成的锐二面角为θ，求cosθ的最大值及此时λ的值.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）设B（x,y），由平行四边形ABCD的三个顶点为A（-7，0），C（5，6），D（-4，9），

可得，，

结合，可得，即，

即B（2，-3）．

（2）平行四边形ABCD是正方形．

∵，，

∴，∴AB⊥AD，

∴平行四边形ABCD为矩形．

又，

，

∴|AB|=|AD|，平行四边形ABCD为正方形．

16.【答案】解：（1）因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，点M，N分别是A1D，B1D1的中点，

所以，

所以，

同理，，

所以；

（2）证明：因为，

所以，即MN∥AB1，

因为AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，

所以MN∥平面ABB1A1．

17.【答案】x+2y=0；

x+7y-30=0；

3x+y-10=0

18.【答案】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，又已知AB⊥AD，因此AB，AD，AP两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

由AB=AD=2BC=2，得AB=2，AD=2，BC=1，PA=2，

又AD∥BC，故A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，1，0），P（0，0，2）．

由AB⊥AD，PA⊥AD，AB∩PA=A，故AD⊥平面PAB，

故平面PAB法向量可取，

平面PBC中，，

设平面PBC的法向量为，

则，取，

因为，所以平面PAB⊥平面PBC；

（2）设M在棱PC上，令．

则M=P+t（C-P）=（0，0，2）+t（2，1，-2）=（2t,t,2-2t）．

平面DAB即为底面ABCD，其法向量为．

平面MAB中，．

设平面MAB的法向量为，

则，即，

取c=t,则b=2t-2，故．

二面角M-AB-D的大小为45°，所以．

而．

因此．

两边平方：，即2t2=（2t-2）2+t2．

展开整理：2t2=4t2-8t+4+t2，0=3t2-8t+4．

解得，因为0≤t≤1，所以．

于是，故．

19.【答案】解：（1）证明：由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB，故折叠后有CD⊥SD，CD⊥BD，

因为SD∩BD=D，且SD，BD⊂平面SBD，所以CD⊥平面SBD，

又SB⊂平面SBD，所以CD⊥SB，

因为SC⊥BD，CD⊥BD，且SC∩CD=C，SC，CD⊂平面SCD，得BD⊥平面SCD，

又SD⊂平面SCD，所以BD⊥SD，

又CD⊥SD，BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，所以SD⊥平面BCD，

又BC⊂平面BCD，所以SD⊥BC，

综上，三组对棱两两垂直，

故四面体S-BCD为对垂四面体；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，1），

，，，

设平面SBC的法向量为，

则，即，

令z=2，得x=1，y=1，故=（1，1，2），

设直线CD与平