北师大版数学八年级下册 第5章 分式与分式方程（高效培优单元自测·强化卷） 试卷 含答案

第五章分式与分式方程（高效培优单元自测·强化卷）（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各式中，属于分式的是（

）A． B． C． D．2．分式，的最简公分母是（

）A． B． C． D．3．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（）A． B． C． D．4．将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（

）A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍5．下列等式变形正确的是（

）A． B． C． D．6．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷7．对于非零实数、，规定．若，则的值为（

）A． B． C．1 D．28．广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（

）A． B．C． D．9．已知，以下结论中正确的是（

）A． B． C． D．10．已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（

）A． B． C．且 D．且二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算的结果是________．12．若，则的值为_________．13．如果分式的值为零，那么_____．14．若分式的值为正，则的取值范围是_____．15．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________．16．若关于的分式方程无解，则的值是________．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．化简：(1)；(2)．18．解下列分式方程：(1)(2)19．先化简，再求值，其中．20．分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题．解：……第一步(1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）；A．整式乘法

B．因式分解(2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算．21．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：___________________________________；(2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明．22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：①；②．(1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；(2)若分式的值为整数，请求出整数的值．23．某文具店为学校采购文具，已知网上每盒A款笔的价格是实体店的倍，用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒．(1)求实体店每盒A款笔的价格；(2)实体店每盒B款笔的价格是25元．文具店决定在实体店购买A、B两款笔共80盒，且A款笔的盒数不超过B款笔的盒数．实体店为支持校园活动，对A、B两款笔均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱？24．形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，．再如为十字分式方程，可化为，∴，．应用上面的结论解答下列问题：(1)若为十字分式方程，则______，______．(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．(3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值．25．阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”．(1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”．(2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”．①___________（用含的式子表示）；②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________．(3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值．

第五章分式与分式方程（高效培优单元自测·强化卷）（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各式中，属于分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式的定义为：若A、B是整式，B中含有字母且，则式子是分式．根据分式定义判断即可，需注意是常数，不是字母．【详解】解：A、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意；B、的分母是含字母的整式，符合分式的定义，属于分式，符合题意；C、的分母是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意；D、的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意．2．分式，的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可．【详解】解：分式，的最简公分母是．3．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分母是否恒不为零．分别分析每个选项的分母，判断其是否可能为零，若分母恒不为零，则该分式无论取何值都一定有意义．【详解】解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意；B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意；C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意；D、，，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意．故选：D．4．将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（

）A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍【答案】A【分析】根据分式的基本性质将扩大后的a、b代入原分式，化简后和原分式比较，即可解答．【详解】解：∵将a、b都扩大为原来的3倍后，代入原分式得新分式∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大3倍.5．下列等式变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D．【详解】解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意；B、由于，则变形正确，符合题意；C、当时，，原式变形错误，不符合题意；D、当时，，原式变形错误，不符合题意；故选：B．6．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】D【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号．【详解】解：∵将“”代入□：原式==与题目运算结果一致．代入其他符号验证：若为“＋”：若为“－”：若为“×”：∴“□”处的运算符号是÷，故选D7．对于非零实数、，规定．若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵规定，且，∴，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为，得，经检验，是原分式方程的解，∴的值为，故选：．8．广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可．【详解】解：∵原计划每天砍收亩，总砍收面积为360亩，∴原计划完成任务的天数为，∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍，∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为，∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3，∴可得方程．9．已知，以下结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式的加减乘除运算．先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答．【详解】解：∵，∴又∵，∴，故选项C正确，∵，∴，故选项A不正确，∵，∴，故选项B不正确，∵，∴，故选项D不正确，故选：C．10．已知关于的分式方程的解为负数，则的值为（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，解出，再结合解为负数、分式分母不为的条件，确定的取值范围即可．【详解】解：，去分母得，解得，∵分式方程的解为负数，∴，且分母，即，且，解得，且．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算的结果是________．【答案】【详解】解：．12．若，则的值为_________．【答案】【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．13．如果分式的值为零，那么_____．【答案】【分析】分式值为零的条件：需同时满足分子为零，分母不为零．据此分别求解后取公共部分即可得到x的值．【详解】解：若分式的值为零，则.解得或，由，得.因此．14．若分式的值为正，则的取值范围是_____．【答案】【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可．【详解】解：∵分式的值为正，且，∴，∴．故答案为．15．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________．【答案】【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案．【详解】解：第1个式子为，第2个式子为，第3个式子为，第4个式子为，……，以此类推可知，第n个式子为，∴第9个式子为．16．若关于的分式方程无解，则的值是________．【答案】或【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程的分母为零，即产生增根，分两种情况讨论即可求解．【详解】解：原分式方程为，方程变形为，方程两边同乘最简公分母，得：整理得整式方程：，分两种情况讨论：①当整式方程无解对于一元一次方程，当时方程无解，因此令，解得，此时，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．②整式方程有解，但解为原分式方程的增根原分式方程的增根满足分母，因此增根为，将代入整式方程，得：，解得，此时使原分式方程分母为零，原方程无解，符合题意．综上，的值为或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．化简：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算；（2）先根据分式的加法法则把括号里面的计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算．【详解】（1）解：；（2）解：．18．解下列分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，最后检验是否有增根即可．【详解】（1）解：方程两边都乘，得，解得．检验：当时，．∴是原方程的解．（2）解：方程两边都乘，得，解得．检验：当时，．∴是原方程的解．19．先化简，再求值，其中．【答案】，【分析】根据分式的加减计算括号内的，然后根据分式的除法进行计算，分子分母能因式分解的因式分解，最后将代入进行计算即可求解．【详解】解：原式．当时，原式．20．分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题．解：……第一步(1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）；A．整式乘法

B．因式分解(2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算．【答案】(1)B(2)【详解】（1）解：第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了因式分解；（2）解：．21．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：___________________________________；(2)写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)；见解析【分析】（1）根据前4个等式即可写出第5个等式；（2）由（1）中规律得：第个等式：，根据分式的加减运算分别计算左右两边，即可．【详解】（1）解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：（2）解：由（1）中规律得：第个等式：，证明如下：左边右边，∴左边右边．22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：①；②．(1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；(2)若分式的值为整数，请求出整数的值．【答案】(1)(2)0或1或3或4【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案；（2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：，∵分式的值为整数，且x为整数，∴是整数，且是整数，∴是整数，∴或，解得或或或．23．某文具店为学校采购文具，已知网上每盒A款笔的价格是实体店的倍，用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒．(1)求实体店每盒A款笔的价格；(2)实体店每盒B款笔的价格是25元．文具店决定在实体店购买A、B两款笔共80盒，且A款笔的盒数不超过B款笔的盒数．实体店为支持校园活动，对A、B两款笔均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱？【答案】(1)实体店每盒A款笔的价格为20元(2)本次购买最少花费1440元【分析】（1）根据“用200元在网上购买的A款笔比在实体店购买的少2盒”列方程求解即可；（2）设购买A款笔a盒（，且a为整数），根据“A款笔的盒数不超过B款笔的盒数”求出a的取值范围；设总费用为w元，列出w关于a的一次函数，然后根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设实体店每盒A款笔的价格为x元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，答：实体店每盒A款笔的价格为20元；（2）解：设购买A款笔a盒（，且a为整数），则购买B款笔盒，则，解得，又，∴，设总费用为w元，则，∵，∴w随a增大而减小，又，∴当时，w有最小值，最小值为，∴本次购买最少花费1440元．24．形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，．再如为十字分式方程，可化为，∴，．应用上面的结论解答下列问题：(1)若为十字分式方程，则______，______．(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．(3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值．【答案】(1)2；5(2)7(3)或或或【分析】（1）根据，结合题意可得答案；（2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可；（3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵十字分式