北师大版数学八年级下册 第6章 平行四边形（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第六章平行四边形·拔尖卷【新教材北师大版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若∠1=∠2=38∘，则∠D=（A．123° B．124∘ C．125° D．2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形甲：添加BM=PC；乙：添加BM∥丙：添加MP=BC．则正确的方案（

）A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC=a，CD=b，a>b，则EO的长可以表示为（

）A．a−b B．12a−12b 4．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，过点O作平行于DC的直线交PD于点E，若BC=6，EO=2，则CD的长为（

）A．8 B．9 C．10 D．126．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF．若EF=1，AC=6，则AB=（

）A．6 B．8 C．9 D．107．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，点G在边AB上，且AG=3BG，连接CG，若△CEF的面积为2，则四边形AGCE的面积为（

）A．5 B．5.5 C．6 D．6.58．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（

）．A．10 B．11 C．12 D．139．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，∠ABC=90°，AB=24cm，BC=63cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A→D→C→B运动，点Q从点B出发向点A运动．当一点停止时，另外一点随之停止．设点P运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2，S与t的函数关系如图2所示．则当PA．6+3 B．18−63 C．910．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②∠DFE=150°；③四边形ADFE是平行四边形；④S四边形正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC=5, CE=1，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为12．如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM=5，BD=12，AD=263，则▱ABCD的面积为13．在平面直角坐标系中，已知以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中A0,0，B2,0，C3,1，则点D14．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE=6，则GF=．15．如图，将△ABC沿直线AD方向平移到△DEF的位置，D点在BC上，则△ABC的面积S1和两阴影部分面积之和S2的比值为16．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G−3,0，B−2,0，HC与GB关于y轴对称，∠GAH=60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+QC的最小值是三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于点F．(1)求证：AE=CF；(2)若AB⊥AC，AC=6，BD=10，求BE的长度．18．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段AB、CD上的点，且AE=DF，AB∥CD，连接EC、BF，分别交AD于点G、H，连接BG，(1)证明：AG=DH；(2)证明：四边形BGCH为平行四边形．19．（8分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图正方形网格中有格点线段AB及格点C，仅用无刻度的直尺借助网格按下列要求作图：(1)过点C画AB的平行线CD；(2)过点B画CD的垂线BE．20．（8分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）在△ABC中，AB=AC,∠B=α0°<α<45°，D，E分别是BC,AC的中点．M是线段BD上的动点（不与B，D重合），连接DE,EM，将线段EM绕点E顺时针旋转2α得到线段EN，连接AN(1)如图1，求证：AN=DM；(2)如图2，连接MN交AB于点F，当MF=NF时，用等式表示线段FB与FA的数量关系，并证明．21．（10分）（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF､DE，如图1．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)在（1）中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE､BD､BF分别交于点G､H､R，如图2①当CD=6，CE=4时，求BE的长．②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案．22．（10分）（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC，ED，EB，△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB=EC．(1)如图1，求∠DAE的度数；(2)如图2，在BC上取点F使得AB=AF，求证：2AE+BF=AD(3)如图3，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当AE=2时，求平行四边形ABCD23．（12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=90°，AD=10,BC=8，点P、Q分别为AB、CD的中点，求PQ的长．有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路：如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接BD，取BD的中点H，连接PH，QH，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“∠A+∠ABC=90°”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接DP并延长DP，使PH=DP，再连接CH，BH，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE=CD，连接AE使AE⊥BD，探究AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由；【学以致用】（3）如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF=8,CF=3，请求出FD的长．24．（12分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上（与点B，C不重合），CD的垂直平分线交BA的延长线于点E，交边AC于点M．(1)当点D为BC中点时，连接AD，MD，求证四边形ADME是平行四边形；(2)探究线段AE与BD的数量关系，并说明理由；(3)若AE⋅AB=3，求四边形ADME

第六章平行四边形·拔尖卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若∠1=∠2=38∘，则∠D=（A．123° B．124∘ C．125° D．【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质∠ACE=∠2=38°，∠E=∠B=∠D，∠EAB=∠1=38°，由四边形内角和即可求解．【详解】解：由折叠知∠ACE=∠2=38°，∠E=∠B，∴∠BCE=∠2+∠ACE=76°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠1=38°，∠E=∠B=∠D，在四边形ABCE中，∠EAB+∠BCE+∠B+∠E=360°，∴2∠D+38°+76°=360°，∴∠D=123°，故选：A．2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形甲：添加BM=PC；乙：添加BM∥丙：添加MP=BC．则正确的方案（

）A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对【答案】B【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．【详解】解：∵∠P+∠BCP=180°，∴MP∥甲：添加BM=PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形丙：添加MP=BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；综上可知，只有乙、丙才对，故选B．3．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC=a，CD=b，a>b，则EO的长可以表示为（

）A．a−b B．12a−12b 【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，AD∥BC，AD=BC=a，AB=CD=b，OB=OD，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得∠ABF=∠AFB，从而得出AF=AB=b，求出DF=a−b，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=a，AB=CD=b，OB=OD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF=∠AFB，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=b，∴DF=AD−AF=a−b，∵E为BF的中点，OB=OD，∴OE为△BDF的中位线，∴OE=1故选：B．4．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由ABCDEF是由六个全等的正三角形拼成的，可得出ABCDEF是正六边形，进而可得出OA=OE=AF=EF，则四边形AOEF是平行四边形，同理可得出四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形．【详解】解：∵ABCDEF是由六个全等的正三角形拼成的，∴ABCDEF是正六边形，∴AD，BE，CF是正六边形的对角线，可得OA=OE=AF=EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABO都是平行四边形，共6个，故选C．5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，过点O作平行于DC的直线交PD于点E，若BC=6，EO=2，则CD的长为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质推出CD∥AB，AD=BC=6，DO=OB，由平行线的性质推出∠APD=∠CDP，由角平分线定义得到∠ADP=∠CDP，因此∠ADP=∠APD，推出AP=AD=6，证明△PEF≌△DEOASA，可得EF=OE=2BP=OF=4，从而得到AB=AP+BP=10【详解】解：如图，过点P作PF∥OB交射线OE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD=BC=6，DO=OB，∴∠APD=∠CDP，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADP=∠APD，∴AP=AD=6，∵OE∥CD，∴OE∥BP，∴四边形OBPF为平行四边形，∴PB=OF，PF=OB，∴PF=OD，∵PF∥OB，∴∠PFO=∠DOF,∠FPE=∠ODE，∴△PEF≌△DEOASA∴EF=OE=2，即BP=OF=4，∴AB=AP+BP=10，∴CD=10．故选：C．6．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF．若EF=1，AC=6，则AB=（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△AGF≌△ACF，得FG=FC，AG=AC=6，得到EF是△CBG的中位线，推出BG=2EF=2，即可得到AB的长．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵CG⊥AD，∴∠AFG=∠AFC，又AF=AF，∴△AGF≌△ACFASA∴FG=FC，AG=AC=6，∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，∴EF是△CBG的中位线，∴BG=2EF=2，∴AB=AG+BG=6+2=8，故选：B．7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，点G在边AB上，且AG=3BG，连接CG，若△CEF的面积为2，则四边形AGCE的面积为（

）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积；根据题意证明△ADE≌△CFE，从而得到S△AEC=S△ADE=2，S△ABC=4【详解】解：如图所示，连接AC，∵在▱ABCD中，点E是CD中点，∴DE=CE，AD∥BC，∴∠DAE=∠CFE，又∵∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△CFEAAS∴S△ADE=S∴S△AEC=S∵AG=3BG，∴AGAB∴S△AGC∴S四边形故选：A．8．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（

）．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造顶点四边形即可；【详解】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等，∴都是平行四边形，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理；掌握平行四边形的性质是解题关键．9．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，∠ABC=90°，AB=24cm，BC=63cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线A→D→C→B运动，点Q从点B出发向点A运动．当一点停止时，另外一点随之停止．设点P运动时间为ts，△APQ的面积为Scm2，S与t的函数关系如图2所示．则当PA．6+3 B．18−63 C．9【答案】D【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；根据函数图象结合题意分别求得AD,CD，进而证明△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，根据当t=6时，S=543求得点Q的速度，再根据当P在DC上时且PQ⊥DB时，得出四边形ADPQ是平行四边形，则AQ=DP【详解】解：根据图2可得t=6时P运动到点D，当t=15时，点P运动到点C，∴AD=2×6=12，CD=15−6过点D作DE⊥AB于点E，如图 ∵在四边形ABCD中，DC∥AB，∠ABC=90°，AB=24，∴∠C=∠ABC=∠BED=90°，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=63，BE=CD=18∴AE=AB−BE=24−18=6，在Rt△CBD中，BD=∴BD2∴A∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°当t=6时，S=54如图，设Q的运动速度为vcm/∴1即1解得：v=1，∴BQ=t，当P在DC上时且PQ⊥DB时，如图所示，∵AD⊥BD∴PQ又∵DP∴四边形ADPQ是平行四边形∴AQ=DP，即AB−BQ=2t−AD,∴24−t=2t−12解得：t=12故选：D．10．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②∠DFE=150°；③四边形ADFE是平行四边形；④S四边形正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由勾股定理的逆定理得出∠BAC=90°，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出DF=AE，AD=EF，则四边形ADFE是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，即可判断②；过A作AG⊥DF于G，根据含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出AG，进而得到S四边形【详解】解：∵AB=5，AC=12，BC=13，∴AB∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，∴∠ABD=∠FBC=∠ACE=∠BAD=∠CAE=60°，AB=BD=AD，BF=BC=CF，AC=AE=CE，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA，∠ACB+∠ACF=∠FCE+∠ACF，即∠DBF=∠ABC，∠ACB=∠FCE，在△DBF与△ABC中，BD=AB∠DBF=∠ABC∴△DBF≌△ABCSAS∴AC=DF，∵AC=AE，∴DF=AE，同理可证：△EFC≌△ABC，∴AB=EF，∵AB=AD，∴AD=EF，∴四边形ADFE是平行四边形，故③正确；∴∠DFE=∠DAE=360°−∠BAD−∠BAC−∠CAE=360°−90°−60°−60°=150°，故②正确；过A作AG⊥DF于G，则∠AGD=90°，∵四边形ADFE是平行四边形，∴∠FDA=180°−∠DFE=180°−150°=30°，∴AG=1∴S四边形∴正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC=5, CE=1，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为【答案】3【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出OD=OB，OC=12AC，判定OE是△DBF的中位线，推出OE=【详解】解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，∵DE=EF，∴OE是△DBF的中位线，∴OE=1∵CE=1，∴OE=OC−EC=3∴BF=3．故答案为：3．12．如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM=5，BD=12，AD=263，则▱ABCD的面积为【答案】40【分析】过点D作DF∥AM交BC的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明△ABM≌△DCF，进而得出三角形BDF是直角三角形，且∠BDF=90°，然后过点D作DG⊥BF于点G，利用等积法求出DG，再根据▱ABCD的面积【详解】解：过点D作DF∥AM交BC的延长线于点则∠AMB=∠F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AB=CD，AD=BC，∴∠ABM=∠DCF，四边形ADFM是平行四边形，∴△ABM≌△DCFAAS∴BM=CF，AM=DF，∵M是BC的中点，AD=26∴BM=CM=1∴BM=CM=CF=13∴BF=13，∵AM=5，∴DF=AM=5，在三角形BDF中，∵BD∴三角形BDF是直角三角形，且∠BDF=90°，过点D作DG⊥BF于点G，∵S△BDF∴DG=60∵△ABM≌△DCF，∴▱ABCD的面积=▱ADFM的面积=AD⋅DG=26故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．13．在平面直角坐标系中，已知以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中A0,0，B2,0，C3,1，则点D【答案】5,1或1,1或−1,−1【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．利用平行四边形的判定作出图象求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，已知A0,0，B2,0，∵四边形ABCD是平行四边形，当AB∥CD，AB=CD=2，∴在C点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到D1和∴D15,1；当BC∥AD时，点C向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点B，∴在A点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点D3故答案为：5,1或1,1或−1,−1．14．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE=6，则GF=．【答案】3【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质可得BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE．∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中点，∴GF是△ABE的中位线，∴GF=1∵AE=6，∴GF=3．故答案为：3．15．如图，将△ABC沿直线AD方向平移到△DEF的位置，D点在BC上，则△ABC的面积S1和两阴影部分面积之和S2的比值为【答案】1【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形BCFE为平行四边形，则可证△DEF面积为▱BCFE面积的一半，则题目可求．【详解】解：∵将△ABC沿直线AD方向平移到△DEF的位置，∴BC=EF，∴四边形BCFE为平行四边形，∵△DEF与▱BCFE同底等高，∴S∴S∴S故答案为：1．16．（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G−3,0，B−2,0，HC与GB关于y轴对称，∠GAH=60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP+PQ+QC的最小值是【答案】7【分析】作B点关于AG的对称点B'，作C点关于AH的对称点C'，连接B'G，C'H，B'C'，B'C'交AG、AH于点P、Q，过B'作B'D⊥x轴于D，过点C'作C'E⊥x轴于E，BP+PQ+CQ的值最小为B'C'，由已知可证△AGH为等边三角形，由B，G坐标和HC与GB【详解】解：作B点关于AG的对称点B'，作C点关于AH的对称点C'，连接B'G，C'H，B'C'，B'C'交AG、AH则∠B'DG=∠C'EH=90°，∵HC与GB关于y轴对称，∴AG=AH．∵∠GAH=60°，∴△AGH为等边三角形．∴∠AGH=∠AHG=60°．∵G−3,0，B∴OG=OH=3，GB=CH=1．∴GH=6，B'∵∠B∴∠B同理，∠C∴∠B∴△B∴B'∴B'∵∠BGP=∠C∴PG∥C∴四边形PGHC∴PC∵B'∴∠B∴△B∴B'∴B'∵BP+PQ+CQ=B∴BP+PQ+CQ的最小值是7．故答案为：7.【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握平面内点的坐标特点、轴对称性质，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于点F．(1)求证：AE=CF；(2)若AB⊥AC，AC=6，BD=10，求BE的长度．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．（1）根据平行四边形的性质证明△AEB≌△CFDAAS（2）先在Rt△ABO中由勾股定理求解AB，然后由面积法求解AE，最后在Rt【详解】（1）证明：∵▱ABCD，∴AB=CD,AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△AEB≌△CFDAAS∴AE=CF；（2）解：∵在▱ABCD中，AC=6，BD=10，∴AO=∵AB⊥AC∴AB=∵AE⊥BD∴12∴AE=4×3∴BE=A18．（6分）（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段AB、CD上的点，且AE=DF，AB∥CD，连接EC、BF，分别交AD于点G、H，连接BG，(1)证明：AG=DH；(2)证明：四边形BGCH为平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键．（1）由AB∥CD，得到∠A=∠D，接着证明△AGE≌△DFHAAS（2）根据题意可得∠CGD=∠DHF，即BH∥GC，再证明△ABH≌△DCGASA，得到BH=CG【详解】（1）证明：∵AB∥∴∠A=∠D，在△AGE和△DFH中，∠A=∠D∠AGE=∠DHF∴△AGE≌△DHFAAS∴AG=DH；（2）证明：∵∠AGE=∠CGD，∠DHF=∠BHA，∠AGE=∠DHF，∴∠BHA=∠CGD，∴BH∥GC，∵AG=DH，∴AG+GH=DH+GH，即AH=DG，在△ABH和△DCG中，∠A=∠DAH=DG∴△ABH≌△DCGASA∴BH=CG，又BH∥GC，所以四边形BGCH为平行四边形．19．（8分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图正方形网格中有格点线段AB及格点C，仅用无刻度的直尺借助网格按下列要求作图：(1)过点C画AB的平行线CD；(2)过点B画CD的垂线BE．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题主要考查网格的性质和平行四边形的判定和性质，以及勾股定理，（1）根据网格的性质可知AB=CD，且AB∥CD，则CD即为所求；（2）结合网格的性质求得AB和BE，AE的线段长，根据勾股定理可知AB⊥BE，结合AB∥CD可知CD⊥BE．【详解】（1）解：取格点D连接CD即可，（2）解：取格点E连接BE即为所求．20．（8分）（25-26九年级上·北京海淀·期末）在△ABC中，AB=AC,∠B=α0°<α<45°，D，E分别是BC,AC的中点．M是线段BD上的动点（不与B，D重合），连接DE,EM，将线段EM绕点E顺时针旋转2α得到线段EN，连接AN(1)如图1，求证：AN=DM；(2)如图2，连接MN交AB于点F，当MF=NF时，用等式表示线段FB与FA的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)FB=3FA，理由见解析【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到AE=EC=12AC,DE=12AB，进而推出（2）过点M作MG∥AN交AB于点G，连接GD，证明△GFM≌△AFNAAS，得到MG=AN，GF=AF=12AG，进而得到MG=MD，倒角推出【详解】（1）证明：∵D，E分别是BC,AC的中点，∴AE=EC=1∵AB=AC,∠B=α，∴DE=1∴∠EDC=∠C=α，∴∠DEA=∠EDC+∠C=2α．∵线段EM绕点E顺时针旋转2α得到线段EN，∴∠MEN=2α,ME=NE．∴∠DEM=∠DEA−∠MEA=2α−∠MEA，∠AEN=∠MEN−∠MAE=2α−∠MEA．∴∠DEM=∠AEN．在△MDE和△NAE中，DE=AE∴△MDE≌△NAESAS∴MD=AN；（2）解：FB=3FA，理由如下：如图，过点M作MG∥AN交AB于点G，连接则∠MGF=∠NAF．在△GFM和△AFN中．∠MGF=∠NAF,∴△GFM≌△AFNAAS∴MG=AN，GF=AF=1∵MD=AN，∴MG=MD．∴∠MGD=∠MDG．∵∠EDC=α．∴∠MDE=180°−∠EDC=180°−α．∵△MDE≌△NAE，∴∠NAE=∠MDE=180°−α．又∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−2α，∴∠MGF=∠NAF=360°−∠BAC−∠NAE=3α．∴∠BMG=∠MGF−∠B=2α．∴∠MDG=∠MGD=α=∠C．∴GD∥∵DE∥∴四边形GDEA为平行四边形．∴AG=DE=1∵AF=GF=1∴AF=1∴FB=3FA．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21．（10分）（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF､DE，如图1．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)在（1）中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE､BD､BF分别交于点G､H､R，如图2①当CD=6，CE=4时，求BE的长．②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案．【答案】(1)见解析(2)①42−2【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．（1）由ASA可得△BOE≌△DOFASA，可得DF=BE（2）①由等腰三角形的性质可得EN=CN=2由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性质可求BN的长，即可求解；②如图，过点H作HM⊥BC于点M，证明△HMC≌△CNDAAS，可得HM=CN，由等腰直角三角形的性质可得BH=【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，∴AD∥BC,BO=DO，∴∠ADB=∠CBD，且∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOFASA∴DF=BE，且DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，∵DE=DC=6，DN⊥EC，∴EN=CN=2，∴DN=D∵∠DBC=45°，∴∠DBC=∠BDN=45°，∴DN=BN=42∴BE=BN−EN=42②AF=2理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，∵DN⊥EC，∴∠CEG+∠ECG=90°，∴∠EDN=∠ECG，∵DE=DC，∴∠EDN=∠CDN，∴∠ECG=∠CDN，∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，∴∠CDB=∠DHC∴CD=CH，且∠HMC=∠DNC=90°，∴△HMC≌△CNDAAS∴HM=CN，∵HM⊥BC，∴∠BHM=∠DBC=45°，∴BM=HM，∴BH=2∵AD=BC，∴AF=EC=2CN，∴AF=2HM=222．（10分）（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC，ED，EB，△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB=EC．(1)如图1，求∠DAE的度数；(2)如图2，在BC上取点F使得AB=AF，求证：2AE+BF=AD(3)如图3，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当AE=2时，求平行四边形ABCD【答案】(1)45°(2)见解析(3)3+2【分析】（1）设∠ECB=x，可求出∠BCD=90°+x，由平行四边形的性质可得出∠ADC=90°−x，∠ABE=90°−2x，由AB=EB得出∠BAE=45°+x，进一步可得出结论；（2）在AD上截取DG=BF，连接EG，CG，证明四边形AFCG是平行四边形，得到AF∥CG，∠GCB=∠AFB，证明△ABE≌△GCESAS，再证明△AEG为等腰直角三角形，得AG=（3）过点E作PQ⊥AD交于点P，交BC于点Q，过点B作BH⊥AE交AE于点H，AF交BD于点K，分别求出PQ、BC的长，根据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：设∠ECB=x，∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=x，∵△ECD为等腰直角三角形，∴∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°，∴∠BCD=90°+x，EC=CD，∴EB=CD=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=180°−∠BCD=180°−90°+x∴∠ABE=90°−x−x=90°−2x，∵AB=EB，∴∠BAE=180°−∠ABE∵∠BAD=∠BCD=90°+x，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°+x（2）证明：如图，在AD上截取DG=BF，连接EG，CG；∵AD=BC，∴AD−DG=BC−BF，即AG=CF．∵AD∥∴四边形AFCG是平行四边形，∴AF∥CG，∴∠GCB=∠AFB，∵AB=AF，∴AB=GC，∠ABC=∠AFB，∴∠GCB=∠ABC，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∴∠ABC−∠EBC=∠GCB−∠ECB，即∠ABE=∠GCE，∴△ABE≌△GCESAS∴AE=EG，∴∠GAE=∠AGE=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=2∵AD=CF+BF=AG+BF，∴2（3）解：过点E作PQ⊥AD交于点P，交BC于点Q，过点B作BH⊥AE交AE于点H，AF交BD于点K，∵∠CED=45°，∴∠BEC=135°，∴∠EBC=∠ECB=22.5°，∴∠ABF=∠AFB=67.5°，即∠BAF=45°，∵∠ABF=∠ADC，∠CBD=∠ADB，∴∠ABK=∠EDC=45°，即∠AKB=90°设AK=BK=x，∴AB=BE=2∴KE=2在Rt△AKE中，A∵AE=2x2+2∵S△ABE∴BH=AK×BE∵BH⊥AE，AB=EB，∴∠EBH=∠ABH=22.5°，∴∠EBQ=∠EBH，又∵EQ⊥BC，∴∠BQE=∠BHE=90°，又∵BE=BE，∴△BHE≌△BQEAAS∴EQ=EH=12AE=∴BC=2BQ=2+2∴AE=2∴PE=1，∴PQ=PE+QE=1+2∴S▱ABCD【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键．23．（12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=90°，AD=10,BC=8，点P、Q分别为AB、CD的中点，求PQ的长．有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路：如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接BD，取BD的中点H，连接PH，QH，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“∠A+∠ABC=90°”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接DP并延长DP，使PH=DP，再连接CH，BH，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE=CD，连接AE使AE⊥BD，探究AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由；【学以致用】（3）如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF=8,CF=3，请求出FD的长．【答案】（1）PQ=41，过程见解析；（2）AB【分析】（1）小鹏的做法：连接BD，取BD的中点H，连接PH，QH，可得PH∥AD，PH=5，HQ∥BC，HQ=4，利用角度转换可