第13讲 函数模型及其应用 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第13讲函数模型及其应用内内容导航知识点1三种函数模型的性质知识点2常见的函数模型知识点3解函数模型的步骤知识点4对数函数模型应用题型1根据实际问题选择函数类型知知识点通关知识点1三种函数模型的性质1.三种函数模型的增长差异y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢增长结果存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax知识点2常见的函数模型常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)知识点3解函数模型的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：知识点4对数函数模型应用方法技巧指数(对数)函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．考考点演练题型1根据实际问题选择函数类型【典例1】近日，某地普降暴雨，当地一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有300m2的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天6m2的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3m2，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．（1）写出k关于x的函数关系式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）【变式1】某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC与A1B1C1全等且所在平面平行，△ABC与△A1B1C1各边表示挡雨棚支架，支架AA1、BB1、CC1垂直于平面ABC．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即∠AOB=π6），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形AA1O1O（O、O1分别在CA、C1（1）挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以视为曲线段BC与线段BB1长的乘积．已知OA＝1.5米，AC＝0.3米，AA1＝2米，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为：①其为直线段且∠ACB=π3；②其为以（2）小组拟自制△ABC部分的支架用于测试（图3），其中AC＝0.6米，∠ABC=π2，∠CAB＝θ，其中π6过过关验收1．已知某AI智能软件处理相关数据量x（单位：TB）与所需时间y（单位：min）之间的关系为y＝λlog3x，当要处理的数据量从27TB增加到729TB时，处理的时间增加了9min，则要处理的数据量为81TB时，所需的处理时间为（）A．12min B．15min C．16min D．18min2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−50)，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则tA．60 B．62 C．66 D．633．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按log5（2A+1）万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（）A．13万元 B．15万元 C．18万元 D．20万元4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数．如果在前7A．0.64P0 B．0.60P0 C．0.40P0 D．0.04P05．某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布一道格拉斯生产函数Q＝A0•Kα•Lβ（其中A0，α，β为常数）．在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数α约为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.66．大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为p=p0e−kh（其中e为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，k为常数）．已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa．现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：A．（2900，3200） B．（2500，2800） C．（2000，2300） D．（1600，1900）7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氮化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量Q与时间t（单位：年）的关系为Q=Q0e−ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a为常数，经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，再经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，A．448 B．392 C．360 D．6408．某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的34还多50分钟．若该用户多天使用该AIA．8 B．9 C．10 D．119．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2.当总造价最小时，AD的长为（）A．10 B．5 C．4 D．210．人工智能的某神经元输出函数可表示为y＝（x﹣x2）k+2x2﹣4（k为权重参数，x为输入特征值），当输出值y＜0时会触发过滤机制．若对任意权重参数k∈[﹣1，2]，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值x的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．(−1，43) C．11．某中学为庆祝建校120周年，制作了一批文创产品，其中以校园风景为主题元素设计的明信片备受各届校友们青睐．已知每套明信片的成本价为10元，经市场调研发现，该明信片的销售量y（单位：套）与销售单价x（单位：元）之间满足y=1A．25元 B．21元 C．20元 D．15元12．点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL＝10lgπr24（单位：dB），取lgA．12dB B．14dB C．18dB D．21dB13．在2019年中共中央政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有2128种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行2128次运算．现在有一台机器，每秒能进行52×1010次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（）（参考数据：A．1027×1.349秒 B．1028×1.349秒 C．1029×1.349秒 D．1030×1.349秒14．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：cm3）表示为x（单位：cm）的函数，则下列选项正确的是（）A．V=1B．V=1C．V=1D．V=15．在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重x（单位：kg，0≤x≤26）会直接影响其每千米能耗y（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据：载重x（kg）014916每千米能耗y（Wh/km）27121722为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择：①y＝ulnx+v，②y＝e﹣x+c，③y＝px+q（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式；（2）若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型，（i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由；（ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行s（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的87%，求s的最大值．16．某药厂经营者希望控制成本，假设当药厂产量为x公斤时，总成本函数为C（x）（单位：万元），其中C（0）称为固定成本，C（x）﹣C（0）称为变动成本函数．当x＞0时，变动成本函数除以产量称为平均变动成本函数A（x）（单位：万元/公斤），即平均变动成本函数为A(x)=C(x)−C(0)今已知该药厂的总成本函数为C（x）＝x3﹣12x2+60x+42，其中0≤x≤15．根据上述，试回答下列问题．（1）试问此药厂的固定成本为多少万元？A.12B.42C.60D.90E.91（2）当0＜x≤15时，试求此药厂的平均变动成本函数A（x），并求右极限limx→0+A（3）试求此药厂的平均变动成本函数A（x）的最小值，并求此时药厂的产量为多少公斤？17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？（3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．18．已知扇形AOB（如图所示），圆心角∠AOB=π4，半径|OA|＝4，在弧AB上取一点P，作扇形AOB的内接矩形PNDM．记∠POA＝x，矩形PNDM的面积为（1）若∠POA=π6时，求矩形（2）求y与x之间的函数关系式：当x取何值时，y最大？并求出y的最大值．19．已知f(x)=1n+1(xn−（1）求证：当x＞1时，f（x）＞0；（2）讨论n取不同值的时候，函数f（x）的零点个数；（3）证明：1313+12+120．某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完．（1）若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y（单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n（单位个，n∈N*）的函数关系；（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：日需求量n17181920212223频数（天）10202014131310（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率．21．某新能源园区有一块不规则空地如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为4米，点P到MN的距离为5米．现规划在空地内修建两块太阳能光伏板，光伏板I形状为矩形ABCD，光伏板II形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若光伏板I和光伏板II的单位面积年产电值之比为4：3，求当θ为何值时，能使两块光伏板的年产电总值最大．22．如图有一块半径为1，圆心角为π2的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别半径OA，OB（1）若四边形PMON为矩形，求其面积最大值；（2）若△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．23．某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为x（1≤x≤10）米．（1）当屋子的左右侧面长x为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？（2）现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为300(ax+90x−a+4)24．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为a2（n2﹣n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a（Ⅰ）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？第13讲函数模型及其应用内内容导航知识点1三种函数模型的性质知识点2常见的函数模型知识点3解函数模型的步骤知识点4对数函数模型应用题型1根据实际问题选择函数类型知知识点通关知识点1三种函数模型的性质1.三种函数模型的增长差异y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢增长结果存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax知识点2常见的函数模型常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)知识点3解函数模型的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：知识点4对数函数模型应用方法技巧指数(对数)函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．考考点演练题型1根据实际问题选择函数类型【典例1】近日，某地普降暴雨，当地一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有300m2的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天6m2的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3m2，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．（1）写出k关于x的函数关系式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得3kx＝300+6k，所以k=100x−2，x≥3，x∈（2）设总损失为y元，则y＝300（300+6k）+600x+300kx＝121200+600（x﹣2）+≥121200+2×12000＝145200当且仅当600（x﹣2）=240000x−2，即所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小．【变式1】某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面ABC与A1B1C1全等且所在平面平行，△ABC与△A1B1C1各边表示挡雨棚支架，支架AA1、BB1、CC1垂直于平面ABC．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为π6（即∠AOB=π6），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形AA1O1O（O、O1分别在CA、C1（1）挡雨板（曲面BB1C1C）的面积可以视为曲线段BC与线段BB1长的乘积．已知OA＝1.5米，AC＝0.3米，AA1＝2米，小组成员对曲线段BC有两种假设，分别为：①其为直线段且∠ACB=π3；②其为以（2）小组拟自制△ABC部分的支架用于测试（图3），其中AC＝0.6米，∠ABC=π2，∠CAB＝θ，其中π6【答案】（1）①1.8米2；②1.9米2；（2）0.3米．【解答】解：（1）①BC为直线段且∠ACB=π3时，AC＝0.3米，在△CBO中，∠CBO所以CB＝CO•sinπ6=1.8所以挡雨板的面积为S1＝BC•BB1＝BC•AA1＝0.9×2＝1.8（米2）；②BC是以O为圆心的圆弧时，此时圆的半径为OA+AC＝1.5+0.3＝1.8（米），圆心角为∠BOC=π6，所以圆弧BC的长为l＝1.8×π所以挡雨板的面积为S2＝l•AA1＝0.3π×2＝0.3×3.14×2≈1.9（米2）；（2）由题意知，AB＝AC•cosθ＝0.6cosθ，∠ABO＝θ−π由正弦定理得，OAsin(θ−所以OA＝2AB•sin（θ−π＝1.2cosθsin（θ−π＝1.2sinθ（32sinθ−12＝1.2（32sinθcosθ−12cos＝0.6（32sin2θ−12cos2＝0.6sin（2θ−π6）﹣0.3，其中当2θ−π6=π2，即所以有效遮挡区域高OA的最大值为0.3米．过过关验收1．已知某AI智能软件处理相关数据量x（单位：TB）与所需时间y（单位：min）之间的关系为y＝λlog3x，当要处理的数据量从27TB增加到729TB时，处理的时间增加了9min，则要处理的数据量为81TB时，所需的处理时间为（）A．12min B．15min C．16min D．18min【答案】A【解答】解：由题意知，λlog3729﹣λlog327＝9，即λlog372927=λlog327＝3λ＝9，解得λ＝3，所以y＝3log3当x＝81时，y＝3log381＝3×4＝12，即所需的处理时间为12min．故选：A．2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−50)，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则tA．60 B．62 C．66 D．63【答案】D【解答】解：由已知可得K1+e−0.23(t∗−50)=0.95K，解得e﹣0.23（两边取对数有﹣0.23（t*﹣50）＝﹣ln19，解得t*≈63，故选：D．3．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按log5（2A+1）万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（）A．13万元 B．15万元 C．18万元 D．20万元【答案】C【解答】解：当销售利润为6万元时，奖金为6×15%＝0.9万元，又小雨获得了2.9万元的奖金，大于0.9万元，则利润超过6万元，超出的部分为A万元，∴0.9+log5（2A+1）＝2.9，即log∴2A+1＝25，解得A＝12，因此，销售利润为12+6＝18万元．故选：C．4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数．如果在前7A．0.64P0 B．0.60P0 C．0.40P0 D．0.04P0【答案】A【解答】解：因为过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为P=P又在前7h消除了20%的污染物，所以P0e−7k=(1−0.2)P0故e﹣7k＝0.8，两边取对数得k=ln0.8−7=−所以14h后所剩污染物为P=P故选：A．5．某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布一道格拉斯生产函数Q＝A0•Kα•Lβ（其中A0，α，β为常数）．在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数α约为（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】B【解答】解：由题意可得(1+20%)Q=A0⋅[(60%+1)K两式相除可得1.2＝1.6α，两边取对数可得lg1.2＝αlg1.6，所以lg12﹣1＝α（lg16﹣1），所以α=lg12−1故选：B．6．大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为p=p0e−kh（其中e为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，k为常数）．已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa．现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：A．（2900，3200） B．（2500，2800） C．（2000，2300） D．（1600，1900）【答案】C【解答】解：设城区的压强为p1，四明山的压强为p2，由题意得p1=p两式相除，可得e1014k=101000设目标山峰的高度为h，可得p0e−kh两式相除，可得ek(h−4)=5则h==1−lg2−2lg2=1−3×0.3010故选：C．7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氮化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量Q与时间t（单位：年）的关系为Q=Q0e−ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a为常数，经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，再经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，A．448 B．392 C．360 D．640【答案】C【解答】解：由题可知，0.5Q即280a两式相比得280+n280=ln5故选：C．8．某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的34还多50分钟．若该用户多天使用该AIA．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解答】解：设该用户第n天使用的分钟数为an，由题意可得a1＝300，an+1则an+1所以数列{an﹣200}是以100为首项，34所以an−200=100⋅(设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn要使总费用不超过1元，Sn﹣1000的整数部分不超过1000，即Sn≤2000，则400[1−(化简可得n−2⋅(当n∈N*时，随着n的增大，n−2⋅(当n＝8时，8−2⋅(当n＝9时，(34)所以要使总费用不超过1元，则最大使用天数为8天．故选：A．9．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2.当总造价最小时，AD的长为（）A．10 B．5 C．4 D．2【答案】A【解答】解：由题意，设AD＝EF＝BC＝HG＝x米，则AM=DQ=EM=FN=BN=CP=GP=HQ=200−所以总造价y=4200≥24000当且仅当x4＝100，即x=10所以总造价最小时，AD的长为10．故选：A．10．人工智能的某神经元输出函数可表示为y＝（x﹣x2）k+2x2﹣4（k为权重参数，x为输入特征值），当输出值y＜0时会触发过滤机制．若对任意权重参数k∈[﹣1，2]，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值x的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．(−1，43) C．【答案】B【解答】解：由题意得f（k）＝（x﹣x2）k+2x2﹣4，f（k）是关于k的一次函数，当k∈[﹣1，2]时，f（k）＜0恒成立，即f(−1)＜0f(2)＜0所以3x2−x−4＜02x−4＜0即﹣1＜x＜43，所以输入特征值x的取值范围是（﹣1，故选：B．11．某中学为庆祝建校120周年，制作了一批文创产品，其中以校园风景为主题元素设计的明信片备受各届校友们青睐．已知每套明信片的成本价为10元，经市场调研发现，该明信片的销售量y（单位：套）与销售单价x（单位：元）之间满足y=1A．25元 B．21元 C．20元 D．15元【答案】D【解答】解：根据“利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售量”，可得利润W＝（x﹣10）y．将y=105令t＝x﹣5，因为10＜x≤25，所以5＜t≤20，且x＝t+5，则W=(t+5−10)×1设1t=m，因为5＜t≤20，所以120≤m＜15，则W＝﹣5×105对于二次函数W＝﹣5×105m2+105m，其中a＝﹣5×105＜0，b＝105，c＝0，对称轴为m=−1因为a＜0，所以二次函数图象开口向下，在对称轴m=1因为m=1t=又因为t＝x﹣5，所以x＝t+5＝10+5＝15（元）．综上，要使明信片的销售利润最大，销售单价应定为15元．故选：D．12．点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL＝10lgπr24（单位：dB），取lgA．12dB B．14dB C．18dB D．21dB【答案】C【解答】解：当r＝5时，△L1=10lg25π当r＝40时，△L2＝10lg400π，则衰减量的增加值约为：△L2﹣△L1＝10lg400π﹣10lg25π4=10lg64＝10lg26＝60lg2＝60（lg10﹣故选：C．13．在2019年中共中央政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有2128种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行2128次运算．现在有一台机器，每秒能进行52×1010次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（）（参考数据：A．1027×1.349秒 B．1028×1.349秒 C．1029×1.349秒 D．1030×1.349秒【答案】B【解答】解：设所需时间为t秒，则t•52×1010＝2则lgt+lg5﹣lg2+10＝128lg2，即lgt＝130lg2﹣11≈130×0.301﹣11＝28.13，∴t≈1028.13＝1028×100.13≈1028×1.349秒．故选：B．14．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：cm3）表示为x（单位：cm）的函数，则下列选项正确的是（）A．V=1B．V=1C．V=1D．V=【答案】D【解答】解：如图，根据题意及正四棱锥的性质可知，做PO⊥平面ABCD于O，设BC＝x，那么PB=52+因此正四棱锥的高为PO=P因此容积V=1故选：D．15．在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重x（单位：kg，0≤x≤26）会直接影响其每千米能耗y（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据：载重x（kg）014916每千米能耗y（Wh/km）27121722为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择：①y＝ulnx+v，②y＝e﹣x+c，③y＝px+q（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式；（2）若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型，（i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由；（ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行s（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的87%，求s的最大值．【答案】（1）选择函数模型③y=px依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件：一是函数的定义域为[0，26]；二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大；因为模型①的定义域不可能为[0，26]，所以不符合；因为模型②是单调递减函数，所以不符合；因为模型③在[0，26]有意义，且当p＞0时，y=px函数解析式为y=5x（2）（i）该无人机不能完成本次配送任务，理由如下：依题意，得(59（ii）9km．【解答】解：（1）选择函数模型③y=px理由如下：依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件：一是函数的定义域为[0，26]；二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大；因为模型①的定义域不可能为[0，26]，所以不符合；因为模型②是单调递减函数，所以不符合；因为模型③在[0，26]有意义，且当p＞0时，y=px故应选择模型为y=px将点（0，2），（1，7）代入y=px得q=2p+q=7，解得p=5所以y=5x经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数y=5x所以所求的函数解析式为y=5x（2）由（1）得y=5x（i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，则(59所以该无人机不能完成本次配送任务；（ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行s（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的87%，则(525所以29s≤300×87%，解得s≤9，所以s的最大值为9km．16．某药厂经营者希望控制成本，假设当药厂产量为x公斤时，总成本函数为C（x）（单位：万元），其中C（0）称为固定成本，C（x）﹣C（0）称为变动成本函数．当x＞0时，变动成本函数除以产量称为平均变动成本函数A（x）（单位：万元/公斤），即平均变动成本函数为A(x)=C(x)−C(0)今已知该药厂的总成本函数为C（x）＝x3﹣12x2+60x+42，其中0≤x≤15．根据上述，试回答下列问题．（1）试问此药厂的固定成本为多少万元？A.12B.42C.60D.90E.91（2）当0＜x≤15时，试求此药厂的平均变动成本函数A（x），并求右极限limx→0+A（3）试求此药厂的平均变动成本函数A（x）的最小值，并求此时药厂的产量为多少公斤？【答案】（1）B；（2）60；（3）最小值24万元/公斤，此时x＝6公斤．【解答】解：（1）由该药厂的总成本函数为C（x）＝x3﹣12x2+60x+42，其中0≤x≤15，C（0）称为固定成本，可得C（0）＝42．故选：B．（2）当0＜x≤15时，此药厂的平均变动成本函数A（x）==x3−12x2+60x+42−42x则limx→0+A（x）=limx→0（3）由A（x）＝x2﹣12x+60＝（x﹣6）2+24，可得A（x）取得最小值24万元/公斤，此时x＝6∈（0，15]．17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？（3）假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．【答案】（1）瓶子的半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大．（2）瓶子的半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小．（3）瓶子的半径的取值范围为[3，6]．【解答】解：（1）由于瓶子的半径为rcm，所以每瓶饮料的利润是f（r）＝0.2×43πr3−0.8πr2＝0.8则f'（x）＝0.8π（r2﹣2r）（0＜r≤6），令f'（x）＝0得，r＝2或r＝0（舍去），∴当r∈（0，2）时，f'（r）＜0，f（r）单调递减，即半径越大，利润越低；当r∈（2，6）时，f'（r）＞0，f（r）单调递增，即半径越大，利润越高，∴r＝6时，f（r）的值最大，即瓶子的半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大．（2）由（1）可知，当r＝2时，f（r）的值最小，即瓶子的半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小．（3）每瓶饮料的利润是f（r）＝0.8π（r33−令f（r）≥0得，r3解得r≥3，∴3≤r≤6，即瓶子的半径的取值范围为[3，6]．18．已知扇形AOB（如图所示），圆心角∠AOB=π4，半径|OA|＝4，在弧AB上取一点P，作扇形AOB的内接矩形PNDM．记∠POA＝x，矩形PNDM的面积为（1）若∠POA=π6时，求矩形（2）求y与x之间的函数关系式：当x取何值时，y最大？并求出y的最大值．【答案】（1）SPNDM（2）y=82sin(2x+π4)−8(0＜x＜π4【解答】解：（1）由题意知，OP＝OA＝4，所以PM＝4sinx，OM＝4cosx，因为∠AOB=π4，ND⊥OA，ND＝PM＝4sinx，△所以OD＝ND＝4sinx，矩形的长DM＝OM﹣OD＝4cosx﹣4sinx，矩形面积y＝PM•DM＝4sinx•（4cosx﹣4sinx）＝16sinx（cosx﹣sinx），代入x=π6，sinπ6y＝16×12×（32−（2）由题意知x的取值范围是0＜x＜π矩形PNDM面积y＝16（sinxcos﹣sin2x）＝16（12sin2x−＝8sin2x+8cos2x﹣8＝82sin（2x+π即y与x的函数关系式为y＝82sin（2x+π4）﹣8（0＜x因为0＜x＜π4，所以π4＜sin（2x+π4）的最大值为1，当且仅当2x+π4此时y的最大值为ymax19．已知f(x)=1n+1(xn−（1）求证：当x＞1时，f（x）＞0；（2）讨论n取不同值的时候，函数f（x）的零点个数；（3）证明：1313+12+1【答案】（1）证明：因为f′(x)=n令g（x）＝nxn+1﹣（n+1）x+1，则g'（x）＝（n+1）nxn﹣（n+1）＝（n+1）（nxn﹣1），因为n∈N*且x＞1，所以g'（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0；（2）当n＝1时，f（x）有且仅有1个零点；当n≥2时，f（x）有且仅有2个零点；（3）证明：令n＝2，且x＞1时，得13再令x=3代入化简可得13则1＞1=1=1则13【解答】解：（1）证明：因为f′(x)=n令g（x）＝nxn+1﹣（n+1）x+1，则g'（x）＝（n+1）nxn﹣（n+1）＝（n+1）（nxn﹣1），因为n∈N*且x＞1，所以g'（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）＝0；（2）①n＝1时，f(x)=1f'（x）=(x−1所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，则此时f（x）有且仅有1个零点；②n≥2时，g'（x）在(0，n1n即g（x）在(0，n1n又g（0）＝1＞0，g（1）＝0，且n1则存在唯一的x0∈(0，n1n)即g（x）在（0，x0）和（1，+∞）上大于0，在（x0，1）上小于0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又x→0+时，f（x）→﹣∞，f（x0）＞f（1）＝0，则f（x）在（0，x0）上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点，此时函数f（x）有且仅有2个零点；综上所述，当n＝1时，f（x）有且仅有1个零点；当n≥2时，f（x）有且仅有2个零点；（3）证明：令n＝2，且x＞1时，得13再令x=3代入化简可得13则1＞1=1=1则1320．某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完．（1）若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y（单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n（单位个，n∈N*）的函数关系；（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：日需求量n17181920212223频数（天）10202014131310（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当日需求量n≥20时，利润y＝1000；当日需求量n＜20时，利润y＝50n﹣20（20﹣n）＝70n﹣400；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式y=70n−400，n＜201000，n≥20（n∈N（2）（i）这100天的日利润的平均数为790×10+860×20+930×20+1000×50100（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19枝，故当天的利润不少于900元的概率为P＝0.2+0.14+0.13+0.13+0.1＝0.7．（12分）21．某新能源园区有一块不规则空地如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为4米，点P到MN的距离为5米．现规划在空地内修建两块太阳能光伏板，光伏板I形状为矩形ABCD，光伏板II形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若光伏板I和光伏板II的单位面积年产电值之比为4：3，求当θ为何值时，能使两块光伏板的年产电总值最大．【答案】（1）8（4sinθcosθ+cosθ），16（cosθ﹣sinθcosθ），[1（2）θ=π【解答】解：（1）连接PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝1．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN．设OC与MN所成的角为θ，则∠COE＝θ，因为圆O的半径为4米，所以OE＝4cosθ，EC＝4sinθ，所以矩形ABCD的面积为2×4cosθ（4sinθ+1）＝8（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝1．令∠GOK＝θ0，则sinθ当θ∈[θ0，所以sinθ的取值范围是[1所以矩形ABCD的面积为8（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为16（cosθ﹣sinθcosθ），sinθ的取值范围是[1（2）由题意，设光伏板I的单位面积的年产电值为4k，光伏板II的单位面积的年产电值为3k（k＞0），则年产电总值为4k×8（4sinθcosθ+cosθ）+3k×16（cosθ﹣sinθcosθ）＝80k（sinθcosθ+cosθ）．设f(θ)=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ则f′（θ