第29讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第29讲空间点、直线、平面之间的位置关系内内容导航知识点1平面的基本性质知识点2空间直线与直线的位置关系知识点3空间直线与平面的位置关系知识点4空间平面与平面的位置关系知识点5平面的基本性质与共点、共线、共面问题知识点6空间直线位置关系的判断知识点7异面直线所成角的计算知识点8线面、面面位置关系的辨析知识点9空间点线面位置关系的综合探究题型1点和直线确定平面及其数量题型2平面的交线及其性质题型3平面分割空间题型4空间图形的公理题型5空间中直线与直线之间的位置关系题型6空间中直线与平面之间的位置关系题型7平面与平面之间的位置关系知知识点通关知识点1平面的基本性质一、平面的概念与表示平面是无限延展的，无厚度、无大小；通常用平行四边形表示平面，记作平面α、平面β、平面ABCD等。二、平面的基本性质（三大公理）公理文字语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判定直线在平面内；验证平面是否平整公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A,B,C三点不共线有且只有一个平面α，使确定平面的依据；证明点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，且判定两个平面相交；证明点共线、线共点三、公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。四、空间点、线、面的位置关系符号表示点在直线上：；点在直线外：点在平面内：；点在平面外：直线在平面内：；直线在平面α外：直线与平面交于点：平面与平面交于直线：知识点2空间直线与直线的位置关系一、空间两条直线的位置关系分类位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有二、平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行，即平行线的传递性。

符号表示：。三、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。若两边方向均相同或均相反，则两角相等；若一边方向相同，另一边方向相反，则两角互补。四、异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。异面直线所成的角定义：已知两条异面直线，经过空间任一点O作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）。范围：。若两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作。知识点3空间直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作。知识点4空间平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有一条公共直线（无数个公共点）符号表示图形表示知识点5平面的基本性质与共点、共线、共面问题方法技巧证明点线共面：纳入法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在该平面内；同一法：分别由两组元素确定两个平面，证明两个平面重合。证明三点共线：利用公理3，证明三点均在两个平面的交线上。证明三线共点：先证两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上（第三条直线是两个平面的交线，该点是两平面的公共点）。易错分析确定平面时遗漏“不共线三点”“直线外一点”等前提条件；证明共点时，未说明交点同时属于两个平面，直接默认在交线上；梯形、平行四边形等平面图形的性质运用不熟练，无法快速找到共面依据。知识点6空间直线位置关系的判断方法技巧位置关系判断：从“是否共面”“有无公共点”两个维度分析，共面则平行或相交，不共面则异面。异面直线判定：定义法：反证法，假设共面推出矛盾；判定定理：平面内一点+平面外一点的连线，与平面内不过该点的直线异面；载体法：借助正方体、长方体等模型直观判断。平行传递性：公理4只适用于平行直线，垂直不具备空间传递性。易错分析误认为“分别在两个平面内的直线就是异面直线”，忽略两直线可能平行或相交；空间中垂直不一定相交，异面直线也可以垂直，易受平面思维局限；反证法使用时，假设不全面，遗漏位置关系的所有情况。知识点7异面直线所成角的计算方法技巧求异面直线所成角的核心是平移法，步骤为“一作、二证、三计算”：作：通过平移直线，将异面直线转化为相交直线，常用平移方式：直接平移：利用中点、中位线、平行四边形对边平移；补形平移：补成长方体、棱柱，借助平行线转化。证：证明所作的角就是异面直线所成的角（或其补角）。算：在三角形中利用余弦定理计算角的大小，注意夹角范围为，结果取非负值。易错分析平移后未说明角与异面直线夹角的对应关系，直接计算；忽略异面直线所成角的范围，求出钝角时未取其补角；三角形边长计算错误，尤其是空间线段长度未用勾股定理验证。知识点8线面、面面位置关系的辨析方法技巧线面位置关系辨析：紧扣三类位置关系的定义，举反例时优先借助正方体模型；面面位置关系辨析：明确“平行则无公共点，相交则有一条公共直线”，注意三点共线时两平面可相交；否定类命题：通过举反例快速排除，反例优先从正方体、长方体中寻找。易错分析忽略“直线在平面内”的情况，误认为直线不在平面内就是平行；平面内三点到另一平面距离相等时，忽略三点在平面两侧的情况，误判为平行；面面平行判定遗漏“两条相交直线”的前提，默认两条平行直线即可判定面面平行。题型1点和直线确定平面及其数量【典例1】下列条件一定能确定一个平面的是（）A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线【变式1】如图，平面α中有梯形ABCD与梯形A1B1C1D1分别在直线l的两侧，它们与l无公共点，并且关于l成轴对称，现将α沿l折成一个直二面角，则A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，八个点可以确定平面的个数是（）A．56 B．44 C．32 D．16题型2平面的交线及其性质【典例1】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M在线段BC上（不含端点），点N在线段CC1上，且CN=13CC1，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM【变式1】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1C与平面B1C1D1的交线是直线．题型3平面分割空间【典例1】三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（）A．11 B．12 C．13 D．14【变式1】三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8题型4空间图形的公理【典例1】如图所示，在四面体A﹣BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是（）A．四边形MNPQ是菱形 B．∠QME＝∠DBC C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为矩形【变式1】已知空间中的两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝50°，则∠A′B′C′＝．题型5空间中直线与直线之间的位置关系【典例1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，F是CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD＝60°，求平面PBF与平面PBD夹角的余弦值．【变式1】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．题型6空间中直线与平面之间的位置关系【典例1】已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β【变式1】设α，β是两个不重合的平面，则α∥β的充要条件是（）A．存在无数条直线与α，β都平行 B．存在无数个平面与α，β都垂直 C．对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l∥m D．对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l⊥m题型7平面与平面之间的位置关系【典例1】设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m，n为异面直线；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．则上述命题中真命题的序号为（）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【变式1】已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3AB＝（1）基向量AB→，AC（2）求异面直线AO与BC所成的角；（3）判定平面ABC与平面B1BCC1．过过关验收1．以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB∥平面α．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AP⊥平面CDP，M是PC上的一个动点．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）是否存在点M，使AP∥平面BDM？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．4．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，P为棱AB上更靠近A的三等分点，则平面PB1C1截该正方体的截面的周长为（）A．3+13 B．6+213 C．3+105．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（）A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M6．如图，已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，DE=12DA．EF⊥A1D B．EF∥A1B C．直线AE与平面B1CD所成角的正切值为3 D．平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为57．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，M为线段AB的中点，则下列正确的有（）A．直线AC1∥平面B1MC B．AB1⊥A1C C．直线A1M与直线BC1所成的角为45° D．C1到平面A1MC距离为28．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝2AB＝2．若∠A1BA+∠A1CA+∠A1DA=π2，点M在长方体内且A1M→=3MC→9．空间中两个角∠ABC和∠A1B1C1，若AB∥A1B1，BC∥B1C1，∠ABC＝30°，则∠A1B1C1的大小是．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCBA．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上11．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的为（）A．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ14．若m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则m⊥β D．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．16．如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，PB＝BC＝CD＝AD＝PA．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明：（1）PC⊥AB；（2）PC⊥平面ABM．17．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥α，m∥β，则α∥β B．若l⊥m，l⊥α，m∥β，则α∥β C．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β18．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β B．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β C．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β D．若α⊥β，m⊥α，则m∥β19．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足m⊥α，n⊂β，则m∥n是α⊥β的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件20．设l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β第29讲空间点、直线、平面之间的位置关系内内容导航知识点1平面的基本性质知识点2空间直线与直线的位置关系知识点3空间直线与平面的位置关系知识点4空间平面与平面的位置关系知识点5平面的基本性质与共点、共线、共面问题知识点6空间直线位置关系的判断知识点7异面直线所成角的计算知识点8线面、面面位置关系的辨析知识点9空间点线面位置关系的综合探究题型1点和直线确定平面及其数量题型2平面的交线及其性质题型3平面分割空间题型4空间图形的公理题型5空间中直线与直线之间的位置关系题型6空间中直线与平面之间的位置关系题型7平面与平面之间的位置关系知知识点通关知识点1平面的基本性质一、平面的概念与表示平面是无限延展的，无厚度、无大小；通常用平行四边形表示平面，记作平面α、平面β、平面ABCD等。二、平面的基本性质（三大公理）公理文字语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判定直线在平面内；验证平面是否平整公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A,B,C三点不共线有且只有一个平面α，使确定平面的依据；证明点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，且判定两个平面相交；证明点共线、线共点三、公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。四、空间点、线、面的位置关系符号表示点在直线上：；点在直线外：点在平面内：；点在平面外：直线在平面内：；直线在平面α外：直线与平面交于点：平面与平面交于直线：知识点2空间直线与直线的位置关系一、空间两条直线的位置关系分类位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有二、平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行，即平行线的传递性。

符号表示：。三、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。若两边方向均相同或均相反，则两角相等；若一边方向相同，另一边方向相反，则两角互补。四、异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。异面直线所成的角定义：已知两条异面直线，经过空间任一点O作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）。范围：。若两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作。知识点3空间直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作。知识点4空间平面与平面的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有一条公共直线（无数个公共点）符号表示图形表示知识点5平面的基本性质与共点、共线、共面问题方法技巧证明点线共面：纳入法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在该平面内；同一法：分别由两组元素确定两个平面，证明两个平面重合。证明三点共线：利用公理3，证明三点均在两个平面的交线上。证明三线共点：先证两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上（第三条直线是两个平面的交线，该点是两平面的公共点）。易错分析确定平面时遗漏“不共线三点”“直线外一点”等前提条件；证明共点时，未说明交点同时属于两个平面，直接默认在交线上；梯形、平行四边形等平面图形的性质运用不熟练，无法快速找到共面依据。知识点6空间直线位置关系的判断方法技巧位置关系判断：从“是否共面”“有无公共点”两个维度分析，共面则平行或相交，不共面则异面。异面直线判定：定义法：反证法，假设共面推出矛盾；判定定理：平面内一点+平面外一点的连线，与平面内不过该点的直线异面；载体法：借助正方体、长方体等模型直观判断。平行传递性：公理4只适用于平行直线，垂直不具备空间传递性。易错分析误认为“分别在两个平面内的直线就是异面直线”，忽略两直线可能平行或相交；空间中垂直不一定相交，异面直线也可以垂直，易受平面思维局限；反证法使用时，假设不全面，遗漏位置关系的所有情况。知识点7异面直线所成角的计算方法技巧求异面直线所成角的核心是平移法，步骤为“一作、二证、三计算”：作：通过平移直线，将异面直线转化为相交直线，常用平移方式：直接平移：利用中点、中位线、平行四边形对边平移；补形平移：补成长方体、棱柱，借助平行线转化。证：证明所作的角就是异面直线所成的角（或其补角）。算：在三角形中利用余弦定理计算角的大小，注意夹角范围为，结果取非负值。易错分析平移后未说明角与异面直线夹角的对应关系，直接计算；忽略异面直线所成角的范围，求出钝角时未取其补角；三角形边长计算错误，尤其是空间线段长度未用勾股定理验证。知识点8线面、面面位置关系的辨析方法技巧线面位置关系辨析：紧扣三类位置关系的定义，举反例时优先借助正方体模型；面面位置关系辨析：明确“平行则无公共点，相交则有一条公共直线”，注意三点共线时两平面可相交；否定类命题：通过举反例快速排除，反例优先从正方体、长方体中寻找。易错分析忽略“直线在平面内”的情况，误认为直线不在平面内就是平行；平面内三点到另一平面距离相等时，忽略三点在平面两侧的情况，误判为平行；面面平行判定遗漏“两条相交直线”的前提，默认两条平行直线即可判定面面平行。题型1点和直线确定平面及其数量【典例1】下列条件一定能确定一个平面的是（）A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点 C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线【答案】D【解答】解：根据题意，依次分析选项：由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．故选：D．【变式1】如图，平面α中有梯形ABCD与梯形A1B1C1D1分别在直线l的两侧，它们与l无公共点，并且关于l成轴对称，现将α沿l折成一个直二面角，则A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，八个点可以确定平面的个数是（）A．56 B．44 C．32 D．16【答案】C【解答】解：由题意得：没有任意三点在同一直线上，从8个点中任意抽取三个均可确定一个平面，共有C8但四点共面的情况有C4故确定平面的个数是：56﹣3×8＝32个，故选：C．题型2平面的交线及其性质【典例1】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M在线段BC上（不含端点），点N在线段CC1上，且CN=13CC1，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM【答案】(4【解答】解：由题意正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M在线段BC上（不含端点），点N在线段CC1上，且CN=1找平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为四边形的临界位置．当平面AMN与平面ADD1A1交于直线AD1时，如图①所示，截面为四边形；当平面AMN与平面ADD1A1交于直线AQ时，如图②所示，截面为五边形，对比图①，此时点M更靠近点C．在图①中，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C平面AMN∩平面AA1D1D＝AD1，平面AMN∩平面BB1C1C＝MN，所以AD1∥MN．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，所以MN∥BC1．又因为CN=所以CM=13CB=所以当0＜BM≤43时，截面为四边形；当故所求的线段BM的取值范围为(4故答案为：(4【变式1】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1C与平面B1C1D1的交线是直线．【答案】A1C1．【解答】解：根据题意，平面AA1C即平面AA1CC1，则A1C1⊆平面AA1C，平面B1C1D1即平面A1B1C1D1，则A1C1⊆平面A1B1C1D1，故平面AA1C∩平面B1C1D1＝A1C1，即平面AA1C与平面B1C1D1的交线是直线A1C1．故答案为：A1C1．题型3平面分割空间【典例1】三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解答】解：若三个平面两两平行时，把空间分成4部分，若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分，若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分，若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成6部分，则n的最大值为8，最小值为4，则n的最小值与最大值之和为12．故选：B．【变式1】三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：若三个平面重合，则可将空间分成2个部分；若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分；故n的取值为2，4，6，7，8，所以n不可能是5．故选：A．题型4空间图形的公理【典例1】如图所示，在四面体A﹣BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是（）A．四边形MNPQ是菱形 B．∠QME＝∠DBC C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为矩形【答案】BC【解答】解：因为M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，所以MN∥AC，QP∥AC，且MN=12AC，QP=12AC，MQ∥BD，ME∥BC，A中，所以四边形MNPQ为平行四边形，不一定是菱形，所以A不正确；B中，由等角定理可得∠QME＝∠DBC，所以B正确；C中，由等角定理可得∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，∠MQE＝∠BDC，所以△BCD∽△MEQ，所以C正确；D中，四边形MNPQ为平行四边形，不一定是矩形，所以D不正确．故选：BC．【变式1】已知空间中的两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝50°，则∠A′B′C′＝．【答案】50°或130°．【解答】解：因为AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝50°，由等角定理可知∠ABC与∠A′B′C′相等或互补，所以∠A′B′C′＝50°或∠A′B′C′＝130°．故答案为：50°或130°．题型5空间中直线与直线之间的位置关系【典例1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，F是CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD＝60°，求平面PBF与平面PBD夹角的余弦值．【答案】（1）证明：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，又平面PAD⊥平面ABCD，F是CD的中点，取AD的中点E，连接PE、EF、AC，如下图所示：因为△PAD为正三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以BD⊥PE，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为E、F分别为AD、CD的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF，又PE∩EF＝E，所以BD⊥平面PEF，又PF⊂平面PEF，所以BD⊥PF；（2）3105【解答】解：（1）证明：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，又平面PAD⊥平面ABCD，F是CD的中点，取AD的中点E，连接PE、EF、AC，如下图所示：因为△PAD为正三角形，E为AD的中点，所以PE⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，所以BD⊥PE，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为E、F分别为AD、CD的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF，又PE∩EF＝E，所以BD⊥平面PEF，又PF⊂平面PEF，所以BD⊥PF；（2）因为四边形ABCD为菱形，所以AB＝AD，又因为∠BAD＝60°，故△ABD为等边三角形，又因为E为AD的中点，所以BE⊥AD，又PE⊥平面ABCD，所以建系如图：设AD＝2，则D（﹣1，0，0）、P(0，0，3)、B(0，3，0)、设平面PBD的法向量为m→=(x1，FP→=(3则m→⋅DB设平面PBF的法向量为n→则n→⋅FP因为cos〈m故平面PBF与平面PBD夹角的余弦值为3105【变式1】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC＝C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．题型6空间中直线与平面之间的位置关系【典例1】已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若a⊥α，b⊥α，则a∥b C．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β【答案】B【解答】解：已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，即A错误；对于B，若a⊥α，b⊥α，则a∥b，即B正确；对于C，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，即C错误；对于D，若a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，即D错误．故选：B．【变式1】设α，β是两个不重合的平面，则α∥β的充要条件是（）A．存在无数条直线与α，β都平行 B．存在无数个平面与α，β都垂直 C．对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l∥m D．对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l⊥m【答案】C【解答】解：设α，β是两个不重合的平面，如上图，作长方体ABCD﹣A1B1C1D1，取平面ABCD，平面DCC1D1分别为平面α，β；对于A选项，因α∩β＝DC，且A1B1∥DC，且A1B1⊄α，A1B1⊄β，根据线面平行的判定定理可得A1B1∥α，A1B1∥β，显然可作无数条与A1B1平行且不在平面α，β的直线，即存在无数条直线与α，β都平行，但α，β不平行，故A选项错误；对于B选项，因平面BCC1B1与平面α，β均垂直，且显然可作无数个与平面BCC1B1平行的平面，即存在无数个平面与α，β都垂直，但α，β不平行，故B选项错误；对于D选项，由上图，显然α⊥β，且α∩β＝DC，在平面β内作一条与DC垂直相交的直线m，则根据线面垂直的性质定理可得m⊥α，从而对平面α内的任意直线l，都有l⊥m，即对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β．使得l⊥m，但α，β不平行，故D选项错误；对于C选项，假设α，β为两相交平面，如上图取平面ABCD，平面DCB1A1分别为平面α，β，则α∩β＝DC，对于任意的直线l⊂α，（不妨设l与DC相交）都存在直线m⊂β，使得l∥m，因l⊄β，则根据线面平行的判定定理可得l∥β，又因α∩β＝DC，则有l∥DC，这与l与DC相交矛盾，故假设不成立，故有α∥β，充分性成立；反过来，α∥β时，对于任意的直线l⊂α，都可以过直线l和平面β内一点作一个平面γ，使γ∩β＝m，则必有l∥m，故必要性成立，故C选项正确．故选：C．题型7平面与平面之间的位置关系【典例1】设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m，n为异面直线；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ；④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．则上述命题中真命题的序号为（）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：①若m⊂α，n∥α，则m∥n或m，n为异面直线，故①错误；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β，正确，证明如下：在平面α，γ，β内各取一点A，B，C，过AB作两个平面，与α的交线分别为a，b，与γ的交线分别为c，d．设过BC和c的平面与β的交线为e，过BC和d的平面与β的交线为f，由两个平面平行的性质定理知，a∥c，b∥d，c∥e，d∥f，故有a∥e，b∥f，∴a∥β，b∥β，且a∩b＝A，则α∥β．③若m⊥β，m⊥γ，则β∥γ，又α⊥β，则α⊥γ，故③正确；④若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故④错误．∴正确的命题是②③．故选：C．【变式1】已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=2π3，∠CAA1=π3AB＝（1）基向量AB→，AC（2）求异面直线AO与BC所成的角；（3）判定平面ABC与平面B1BCC1．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AB（1）AO（2）由题意，可求得AO→BC→=AC|BC→|=∴异面直线AO与BC所成的角为arccos（3）取BC的中点E，连接AE，则AE∵AB＝AC，∴AE⊥BC，且AE→∴AE⊥BB1∴AE⊥平面BB1C1C，AE⊂平面ABC，∴平面ABC与平面B1BCC1．过过关验收1．以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB∥平面α．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：对于①，梯形一定是平面图形，是真命题；对于②，当这一点在这一条直线上时，不确定，是假命题；对于③，两两相交，且交于一点的三条直线可不一定确定一个平面，是假命题；对于④，如果平面α外有两点A，B位于平面α两侧时，不满足，是假命题．故正确的命题个数为1个．故选：B．2．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为．【答案】平行或相交【解答】解：空间中两条直线a、b有三种位置关系，分别为平行、相交和异面，由公理2的推论可知，只有当两直线平行或相交时，两直线才能确定一个平面．故答案为：平行或相交．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AP⊥平面CDP，M是PC上的一个动点．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）是否存在点M，使AP∥平面BDM？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）当M为PC中点时，可得AP∥MO，即可得AP∥平面BDM．【解答】解：（1）证明：由AP⊥平面CDP，可得AP⊥CD．又底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD，故CD⊥平面PAD．又CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD（2）解：存在，当M为PC中点时，AP∥平面BDM．理由如下：如图，连接BD，AC，交于点O．由四边形ABCD为正方形，则O为AC的中点，连接OM，则OM为三角形CPA的中位线，所以AP∥MO．又MO⊂平面BDM，AP⊄平面BDM，故AP∥平面BDM．4．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，P为棱AB上更靠近A的三等分点，则平面PB1C1截该正方体的截面的周长为（）A．3+13 B．6+213 C．3+10【答案】B【解答】解：如图，过P作PQ∥AD，连接C1Q，则长方形PQC1B1即为平面PB1C1截该正方体的截面，在Rt△PBB1中，PB＝2，BB1＝3，则PB可得平面PB1C1截该正方体的截面的周长为6+213故选：B．5．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（）A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M【答案】D【解答】解：∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，∴β∩γ＝MC，∴γ与β的交线必通过点C和点M，故选：D．6．如图，已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，DE=12DA．EF⊥A1D B．EF∥A1B C．直线AE与平面B1CD所成角的正切值为3 D．平面AEF截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为5【答案】ACD【解答】解：对于A，如图：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），∴EF→=(1，2，−1)，A1D→=(−2，0，−2)，则EF→⋅A对于B，∵A1B→=(0，2，−2)，EF→=(1，2，−1)，∴01≠2对于C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴DC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴DC⊥BC1，∵B1C⊥BC1，DC∩B1C＝C，B1C⊂平面B1CD，CD⊂平面B1CD，∴BC1⊥平面B1CD，即BC→1是平面B1又AE→=(−2，0，1)，BC1→=(−2，0，2)，设直线AE与平面则sinθ＝cos＜AE∴cosθ=1−sin2θ=对于D，取CC1靠近点C的四等分点N，易证AE∥FN，A，E，F，N四点共面，∴平面AENF即为平面AEF截正方体的截面，∴截面周长为AE+AF+EN+FN=4+1+4+1故选：ACD．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，M为线段AB的中点，则下列正确的有（）A．直线AC1∥平面B1MC B．AB1⊥A1C C．直线A1M与直线BC1所成的角为45° D．C1到平面A1MC距离为2【答案】ABD【解答】解：以C为原点，CA，CB，CC1分别为x，y，z轴，因为AC＝BC＝CC1＝2，M为线段AB的中点，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2），M（1，1，0），平面B1MC中CM→设平面B1CM的法向量为n→=(x，y，z)，则n→令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，所以n→=(1，−1，1)是平面B1因为AC所以AC1→因为AC1不在平面内，所以AC1∥平面B1MC，A正确；AB因为AB所以AB1⊥A1C，B正确；设异面直线A1M与BC1所成角为θ，A1则cosθ=|所以θ＝30°≠45°，C错误；设平面A1MC的法向量n′→因为A1所以n′→⋅A1M→=0n′→所以n′→=(1，−1，−1)是平面A1又A1所以点C1到平面A1MC的距离：d=|A1故选：ABD．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝2AB＝2．若∠A1BA+∠A1CA+∠A1DA=π2，点M在长方体内且A1M→=3MC→【答案】6+【解答】解：已知BD＝2AB＝2，则AD=B设AA1＝x，CE＝y，tan∠A1BA＝x，tan∠A1CA=x2，tan∠A1DA因为∠A1BA+∠A1CA+∠A1DA=π所以∠A1BA+∠A1CA=π所以tan（∠A1BA+∠A1CA）＝tan（π2所以tan∠A所以x+x解得x2=3即AA又因为yx=CMMA所以DE2＝y2+1=3+23，所以S＝AD•DE=3故答案为：6+9．空间中两个角∠ABC和∠A1B1C1，若AB∥A1B1，BC∥B1C1，∠ABC＝30°，则∠A1B1C1的大小是．【答案】30°或150°．【解答】解：因为AB∥A1B1，BC∥B1C1，所以∠A1B1C1和∠ABC相等或者互补，所以∠A1B1C1＝30°或150°．故答案为：30°或150°．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCBA．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上【答案】D【解答】证明：因为F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB所以GF∥BD，并且GF=23因为点E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH∥BD，并且EH=12所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，E，F在平面ABC内，直线EF在平面ABC内，M∈EF，所以M∈平面ABC，同理M∈面ACD，又∵面ABC∩面DAC＝AC，∴M在直线AC上．故选：D．11．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的为（）A．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α【答案】C【解答】解：因为m，n是空间两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，所以若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，所以A选项正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以B选项正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，所以C选项错误；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，所以D选项正确．故选：C．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直【答案】D【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ【答案】C【解答】解：已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n为异面直线，故A错误；对于B，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C，若m∥β，则存在直线n⊂β，使得m∥n，因为m⊥α，则n⊥α，又因为n⊂β，则α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ或β与γ相交，故D错误．故选：C．14．若m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则m⊥β D．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n【答案】C【解答】解：已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行或相交或异面，故A错误；对于B，若m∥α，n⊂α，则m，n平行或异面，故B错误；对