1.1.1空间向量及其线性运算常见的六种题型（突破卷）.2026-2027学年高二上数学人教A版选修一

1.1.1空间向量及其线性运算常见的六种题型（突破卷）目录TOC\o"1-2"\h\z\u题型一空间向量的概念与相等、相反向量题型二空间向量的加减法运算题型三空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示）题型四共线（平行）向量题型五共面向量定理与四点共面题型六空间向量线性运算的综合应用题型一空间向量的概念与相等、相反向量【解题技巧】①零向量方向任意（不是没有方向），模为0；②两向量a⃗、b⃗相等⇔模相等（|a⃗|=|b⃗|）且方向相同（与起点无关）；③单位向量模为1但方向任意，故任意两个单位向量a⃗、b⃗不一定相等；④相反向量⇔模相等且方向相反，即b⃗=−a⃗；⑤向量可以平移，任意两个空间向量a⃗、b⃗经平移后必共面；⑥零向量与任意向量a⃗平行。判断概念正误时逐条核对定义。1．下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，，则C．若向量，满足，则D．若，，则2．下列关于空间向量的说法中不正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量，满足，则D．相等向量其方向必相同3．下列说法正确的是（

）A．任意两个空间向量都共面B．若向量，共线，则与所在直线平行C．在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点坐标为D．已知空间中向量，，，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得4．给出下列命题，其中正确的是（

）A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面B．若，是两个不共线的向量，且（，，，），则构成空间的一个基底C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则题型二空间向量的加减法运算【解题技巧】空间向量加减法遵循三角形法则与平行四边形法则：加法首尾相接（起点→终点），减法共起点（指向被减向量）。用已知向量表示所求向量时，先在图中找“回路”，利用AB⃗=OB⃗−OA⃗等关系逐段拆解；遇到中点用数乘：M为AB中点则OM⃗=(OA⃗+OB⃗)/2。1．在平行六面体中，（

）A． B．C． D．2．在空间四边形PABC中，（

）A． B． C． D．题型三空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示）【解题技巧】用基底（通常取不共面的三个棱向量）表示目标向量：①选定起点；②沿几何体的棱/对角线/中点构造回路；③把目标向量逐步拆成基向量的线性组合；④合并同类项。中点、分点常用：N为BC中点，ON⃗=(OB⃗+OC⃗)/2；F满足AF⃗=λAC⃗等按比例点用数乘表示。1．在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（

）A． B．C． D．2．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（

）

A． B． C． D．3．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（

）A． B． C． D．4．在直三棱柱中，若，则=____________.(用表示)5．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____.题型四共线（平行）向量【解题技巧】向量共线(平行)的充要条件：存在实数λ使a⃗=λb⃗。坐标运算时把向量写成坐标形式，用成比例列方程解参；若a⃗=λb⃗且λ使分量相等，则解出参数值。1．下列向量中与共线的是（

）A． B． C． D．2．已知，，若与共线，则_________.题型五共面向量定理与四点共面【解题技巧】三点/四点共面判定：点P在平面ABC内⇔存在x,y,z且x+y+z=1，使OP⃗=xOA⃗+yOB⃗+zOC⃗；或存在实数λ,μ使AP⃗=λAB⃗+μAC⃗。坐标法：若三向量共面，则存在不全为零的x,y,z使xa⃗+yb⃗+zc⃗=0（向量式），或设c⃗=λa⃗+μb⃗列方程解参。四点共面常用“系数和=1”检验。1．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（

）.A．8 B．9 C．10 D．112．已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知，若三向量共面，则_______.4．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是________．5．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________.题型六空间向量线性运算的综合应用【解题技巧】综合应用通常涉及：用基底/坐标表示目标向量、共线共面求参数、向量模|a⃗|与数量积、结合几何体的体积/最值。步骤：①选基底或建坐标系；②把目标向量用已知向量线性表示；③利用平行/垂直/共面条件列方程解参；④若求模或最值，把向量式化为坐标或模的表达式后用不等式/几何意义求值。1．如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．存在点，使平面B．平面平面C．三棱锥的体积不是定值D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为2．已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为______.3．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.参考答案题型一空间向量的概念与相等、相反向量1．D【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的；把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误；对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行，所以当时，与不一定平行，故B错误；对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误；对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确．故选：D.2．ABC【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误；B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误；C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小；D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确；故选：ABC.3．AC【详解】对于选项A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个平面上的，所以是共面的，故A正确；对于选项B，向量，共线，若向量，所在的向量在同一直线上，则与所在直线重合，故B不正确；对于选项C，根据空间点的对称性可知关于z轴的对称点坐标为，故C正确；对于选项D，已知空间中向量，，，不共面，则对于空间中任意一个向量总存在实数x，y，z，使得，故D不正确.故选：AC.4．CD【详解】对于A选项：若P，A，B，C四点共面，由于A，B，C三点不共线，所以由平面向量基本定理有，进一步有，整理得，所以此时的系数之和恒为1，若，则有的系数之和；故A选项不符合题意.对于B选项：若，是两个不共线的向量，且（，，，），则共面，所以不能构成空间的一个基底；故B选项不符合题意.对于C选项：若，则有，整理得，即，所以A，B，C三点共线；故C选项符合题意.对于D选项：若，则它们对应的法向量与也平行，所以，有，即，解得；故D选项符合题意.故选：CD.题型二空间向量的加减法运算1．A【详解】由题意得，所以.2．C【详解】.故选：C.题型三空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示）1．A【详解】因为点E，F分别为棱，的中点，所以.故选：A.

2．A【详解】.故选：A.3．B【详解】因为分别是的中点，所以，则.故选：B.4．【详解】连接则.故答案为：5．【详解】在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，，所以，又因为，所以.故答案为：.题型四共线（平行）向量1．C【详解】因为，所以C选项满足题意；其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意.故选：C2．/【详解】因为与共线，所以，所以，，则.故答案为：题型五共面向量定理与四点共面1．C【详解】因为向量共面，所以存在实数使得，即所以，解得，.故选：C．2．BCD【详解】由题意，，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点，点在平面内，且，∴，即，A项，，故A错误；B项，，故B正确；C项，，故C正确；D项，，故D正确.3．【详解】解:因为，，三向量共面，所以存在，使得，则，即，解得.故答案为：.4．【详解】四点共面，，，解得：.故答案为：.5．【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，所以，解得.题型六空间向量线性运算的综合应用1．ABD【详解】对于A，连接，如图，由于平面，平面，故;又在正方形中，平面，故平面，平面，故；同理可证，而平面，故平面，由于点为线段上的动点，当P与B重合时，即有平面，A正确；对于选项B：结合图可知平面即为平面，因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面，故B正确；对于选项C：因为平面平面，且平面，则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值，又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C错误；对于选项D：连接并延长交BC于点M，因为，则，可知M为B