第15章 综合与实践 最短路径问题 课件（内嵌视频）2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章轴对称综合与实践：最短路径问题——牧民饮🐴问题学习目标学习目标1.能够将生活中的最短路径问题抽象并转化为数学问题，增强问题转化和抽象能力.2.能利用轴对称、平移的相关知识解决简单的最短路径问题，体会图形变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，增强应用意识．问题导学任务1如图，牧民从

A

地出发，到一条笔直的河边

l

饮马，然后到

B

地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？问题1你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？从数学的角度看，如果把河边

l

近似地看成一条直线，问题就是要在直线

l

上找一点

C，使

AC

与

CB

的和最小.问题导学问题2如果点

A，B

是直线l

异侧的两个点，如何在

l

上找一点

C，使

AC

与

CB

的和最小？ABl两点之间，线段最短C问题导学问题3在任务1中，点A，B在直线l

的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为问题2中的问题吗？ABlB'C追问1如何将A(或B）转化到直线l的异侧?追问2为什么连接AB′，其与直线

l的交点就是所求点

C？小组辨学（1）当点

A，B

是直线

l

异侧的两个点：ABlC证明：如图，在

l

上另外任取一点

C′.在△ABC′中，AB<AC′+C′B，即

AC+CB<AC′+C′B.所以

AC+CB

最小.C'问题4你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？小组辨学证明：如图，在直线

l上任取一点

C′（与点C不重合）连接

AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜

AC′+B′C′，∴AC+BC＜

AC′+BC′．即

AC+BC最短．问题4你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ABlB'CC'（2）点

A，B

是直线

l

同侧的两个点：小组辨学归纳总结lP

A'

B

A同侧转化异侧两定点在同侧实际问题抽象为数学问题通过轴对称把同侧点转为异侧点利用“两点之间，线段最短”确定所求位置两定点在异侧

Al

BP

模型思想：一定直线，两定点小组辨学问题5点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小.MNO

A

B

P2

P1

PMNO

P2

P1

P

A'

B'二定直线，一定点小组辨学问题6如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.使四边形PAQB的周长最小.MNO

Q1

P1

A

B

P

Q二定直线，二定点检测再学1.如图，小明同学星期天从A处赶几只羊到草地边某一处吃草，然后赶羊到河边某一处饮水，之后再回到B处的家.假设小明同学赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，并指明羊吃草与饮水的位置.作点A关于直线l₁的对称点A'，作点B关于直线l₂的对称点B'。连接A'B'，交l₁于点P，交l₂于点Q。点P是羊吃草的位置，点Q是饮水的位置。最短路线：A→P→Q→B变式1如图，牧民从

A

地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到

A

处.牧民怎样走可使所走的路径最短？检测再学作点A关于草地边界的对称点A₁，作点A关于河边的对称点A₂。连接A₁A₂，交草地边界于点P，交河边于点Q。点P是牧马位置，点Q是饮马位置。最短路线：A→P→Q→A检测再学变式2

如图，牧民从

A

地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到

B

处.牧民怎样走可使所走的路径最短？作点A关于草地边界的对称点A'，作点B关于河边的对称点B'。连接A'B'，交草地边界于点P，交河边于