2026-2027学年甘肃省定西市第一中学高一上学期新生入学检测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间100分钟．一、选择题（每小题5分，共60分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）1.在，，0，这四个数中，最小的数是（）A. B. C.0 D.2.如图，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（）A. B. C. D.3.设命题，则为A. B.C. D.4.近期，陇南市的红心猕猴桃一经上市，就大受欢迎．据调查：该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元，到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元．设每周的平均减少率均为，则可列出方程为（）A. B. C. D.5.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃，应该带（）A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块6.如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（）（取3）A.10cm B.14cm C.20cm D.无法确定7.为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（）A.平均数变小，中位数变大 B.平均数不变，众数不变C.平均数变大，中位数不变 D.平均数不变，众数变大8.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.610.小明早上出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能剩下（）A.4元 B.15元 C.22元 D.44元11.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．连接，，过点作轴于点，交于点．若，，则的值为（）A.2 B. C.4 D.12.如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空题（每小题5分，共20分）13.多项式分解因式的结果是________．14.不等式的解集是___________．15.已知集合，如果，那么实数的取值集合为________．16.在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值为________．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．18.用乘法公式简算：．19.已知集合．（1）若是空集，求实数的取值范围；（2）若中只有一个元素，求实数的值．20.已知，都是正实数，解决下列问题：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值．21.如图，为的直径，为上的点，是的中点，交的延长线于点．（1）填空：________（选填“”“”或“”）；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）已知，，求点到的距离．22.实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）的相关数据信息，如下所示：信息1：甲投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离/m0246810竖直距离/m1.872.953.312.950.07建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下：信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为3.5m时达到了竖直高度的最大值2.85m．根据以上信息，回答问题：（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值为________；（2）求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；（3）记甲实心球成绩为，乙实心球成绩为，则________（填“”“”或“”）．

数学满分150分，考试时间100分钟．一、选择题（每小题5分，共60分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）1.在，，0，这四个数中，最小的数是（）A. B. C.0 D.答案：B解析：思路：先化简，再依据实数大小比较的规则判断最小的数即可.解答过程：首先化简，因此四个数分别为、、、，由题意得，，由可得，因此四个数的大小关系为，故最小的数是.2.如图，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：B,C,D选项的图形均需通过旋转得到，只有A选项可通过平移得到3.设命题，则为A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.4.近期，陇南市的红心猕猴桃一经上市，就大受欢迎．据调查：该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元，到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元．设每周的平均减少率均为，则可列出方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用平均变化率的概念，依次表示出第二周，第三周的每千克销售价格，即可建立方程.解答过程：因该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元，每周的平均减少率均为，则第二周时每千克销售价格为元，到第三周时，每千克销售价格即为，依题意，可得.故选：B.5.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃，应该带（）A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块答案：B解析：思路：本题考查全等三角形的判定定理的应用，需寻找包含完整两角及夹边的碎片来确定原三角形.解答过程：只有第2块玻璃能符合三角形全等判定定理“角边角”（），所以带第2块去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.6.如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（）（取3）A.10cm B.14cm C.20cm D.无法确定答案：A解析：思路：利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长.解答过程：通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边，即故选：A.7.为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（）A.平均数变小，中位数变大 B.平均数不变，众数不变C.平均数变大，中位数不变 D.平均数不变，众数变大答案：C解析：解答过程：真实数据的平均数为，中位数为，无众数；记错的数据的平均数为，中位数为，众数为;所以平均数变大，中位数不变.8.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：解答过程：试题分析：根据不等式的性质可知，，则“”，当c=0,不等式不成立，不能推出结论，反之如果“”，只有c>0时，可以推出条件，因此是“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.考点：充分条件的判定点评：解决该试题的关键是利用充分条件的概念，判定条件和结论之间的关系，属于基础题．9.已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：思路：根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.解答过程：根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C10.小明早上出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能剩下（）A.4元 B.15元 C.22元 D.44元答案：C解析：解答过程：设买瓶饮料，包饼干，则均为正整数，饮料和饼干总花费，设剩下元，则，当时，，A正确；当时，，B正确；当时，，D正确;故不存在正整数使得C成立.11.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．连接，，过点作轴于点，交于点．若，，则的值为（）A.2 B. C.4 D.答案：D解析：思路：过点作轴，利用相似三角形性质表示出线段的长及的高，结合面积公式列方程求解．解答过程：过点作轴于点．

轴，

，即，

，

．

，

，

．设点的坐标为，则，．

．

点在函数的图象上，

点的坐标为，即．

．

．又

点到直线的距离为，

．

，

，解得12.如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④答案：D解析：思路：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得；易求得，则可得；证明即可证明；易求得，即可得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明．解答过程：四边形是矩形，，由折叠的性质可得：，，，即，，．平分，．．在和中，所以．．﹣，﹣，．∴平分，故②正确；，．，，即．∴垂直平分，故①正确；∵，∴，∴，∵，∴，∴；故③正确；在和中，∠BMF，．．．故④正确，符合题意．综上所述：①②③④都正确．二、填空题（每小题5分，共20分）13.多项式分解因式的结果是________．答案：解析：思路：利用十字相乘法可分解因式.解答过程：设，比较系数可得，注意到满足方程组，故.14.不等式的解集是___________．答案：解析：思路：利用因式分解法解一元二次不等式即可.解答过程：因为，所以，所以，所以或，所以该不等式的解集为，故15.已知集合，如果，那么实数的取值集合为________．答案：解析：解答过程：因为集合，如果，所以或，解得或，当时，；当时，；当时，，不满足集合元素的互异性，所以实数的取值为1或3，所以集合.16.在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值为________．答案：解析：思路：由题设可确定“友好点”的变化周期为4，再列方程可得答案.解答过程：由题设，则，.则“友好点”的变化周期为4，因，则与相同，，从而.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．答案：解析：思路：1的任何次幂都是1，负数的偶次幂是正数.解答过程.18.用乘法公式简算：．答案：解析：解答过程：原式.19.已知集合．（1）若是空集，求实数的取值范围；（2）若中只有一个元素，求实数的值．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）是空集，即无解，计算得到答案.（2）考虑和两种情况，计算得到答案.解答过程：（1）∵是空集，∴，即，∴实数的取值范围.（2）∵中只有一个元素，∴或即：或.方法提示：本题考查了根据空集和集合中元素个数求参数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.20.已知，都是正实数，解决下列问题：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最小值．答案：（1）.（2）.解析：思路：（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案；（2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案．（1）由题意，知，所以，（当且仅当，即取等号），故的最小值为5.（2）因为都是正实数，，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为18；21.如图，为的直径，为上的点，是的中点，交的延长线于点．（1）填空：________（选填“”“”或“”）；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）已知，，求点到的距离．答案：（1）（2）与相切，理由如下：因为，则，又因为，则，所以与相切.（3）4解析：思路：（1）根据弧的中点可得，再结合圆心角与圆周角的关系即可判断；（2）根据可知，再结合垂直关系可得，即可判断位置关系；（3）作辅助线，根据垂径定理可得，可证，即可得.（1）连接，因为是的中点，则，又因为，所以.（2）略（3）设的中点为，连接，则，可得，设，垂足为，由题意可知：，，，则，可得，所以点到的距离为4.22.实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）的相关数据信息，如下所示：信息1：甲投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离/m0246810竖直距离/m1.872.953.312.950.07建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下：信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为3.5m时达到了竖直高度的最大值2.85m．根据以上信息，回答问题：（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值为______