2026-2027学年广东省揭阳市惠来县第一中学高一上学期9月月考考试数学试卷（含解析）

/数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四组对象中能构成集合的是（）A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点C.很小的实数 D.倒数等于本身的数2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①；②；③；④，正确的有几个？（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知命题：，，命题：，，则（）A.和均为真命题 B.和均为真命题C.和均为真命题 D.和均为真命题5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.6.“方程有实根”的充分不必要条件为（）A. B.C. D.7.若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.已知为实数，下列命题中一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若且，则D.若，则10.已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（）A.xy的最大值为1 B.的最小值为C.的最小值为2 D.的最小值为311.已知集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，若，则______．13.已知，则的最小值为________．14.设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知，求的最小值；（2）已知，，分别求，的取值范围；（3）设，为实数，比较与的值的大小.16.设集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.17.某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）．18.设全集，集合，．（1）若时，求，；（2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（3）若．求实数a的取值范围．19.若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”.（1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）；（2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；（3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值.

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列四组对象中能构成集合的是（）A.本校学习好的学生 B.在数轴上与原点非常近的点C.很小的实数 D.倒数等于本身的数答案：D解析：思路：根据集合的定义，结合选项依次判断即可.解答过程：A：学习好，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故A错误；B：非常近，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故B错误；C：很小，是模糊的概念，不符合集合中元素的确定性，故C错误；D：倒数等于本身的数符合集合中元素的确定性，故D正确.故选：D2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：解答过程：命题“，”的否定是“，”.3.已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①；②；③；④，正确的有几个？（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：解答过程：由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确；由，，，则，，所以，，故①正确，④错误.4.已知命题：，，命题：，，则（）A.和均为真命题 B.和均为真命题C.和均为真命题 D.和均为真命题答案：C解析：思路：由判别式的正负可判断，由可判断；解答过程：由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题；，因为，所以成立，即为真命题，为假命题，故选：C5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过作差法，，确定符号，排除D选项；通过作差法，，确定符号，排除C选项；通过作差法，，确定符号，排除A选项；解答过程：由，且，故；由且，故；且，故.所以，故选：B.6.“方程有实根”的充分不必要条件为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：当时，方程为一元一次方程，解得，存在实根；当时，方程为一元二次方程，若该方程存在实根，即，解得，所以方程有实根的充要条件为，对应的集合为，对于A，，是充要条件，不符合条件；对于B，⫋，是充分不必要条件，符合条件；对于C，，是既不充分也不必要条件，不符合条件；对于D，⫌，是必要不充分条件，不符合条件．7.若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：∵命题“，”为假命题.∴方程无实数解.当时，方程化为，解得，存在实根，不符合题意，舍去.当时，方程为一元二次方程，无实根等价于判别式.所以，解得.综上，实数的取值范围为.8.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值；解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值.解答过程：解法一：由得，，，，.，当且仅当，即，时等号成立.的最小值为；解法二：由得，得，，，当且仅当，即时等号成立，此时，故的最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.已知为实数，下列命题中一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若且，则D.若，则答案：ACD解析：解答过程：已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确；已知，当时，，错误；已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确；已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确.10.已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（）A.xy的最大值为1 B.的最小值为C.的最小值为2 D.的最小值为3答案：ACD解析：思路：根据给定条件，利用基本不等式求解判断.解答过程：正数x、y，满足，对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B错误；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD11.已知集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误.解答过程：已知集合，当时，；当时，；当时，，对于A，由对集合分析知，故A不正确，对于C，由对集合分析知，故C正确；对于B，当时，，此时，故B正确；对于D，当时，，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，若，则______．答案：解析：思路：已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可.解答过程：因为，所以或，当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，解得或（同上，舍去），此时．综上．故答案为.13.已知，则的最小值为________．答案：6解析：解答过程：由，得，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为6.14.设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______答案：解析：思路：从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到，根据的倍数，得到，从而计算得到这四个数，得到最小的数.解答过程：从个数中选个数求和共有种取法，即，①将①中个式子相加得，因为是4个正整数，所以一定是的倍数，所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复，注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数，所以①中的个和为，则，则又因为，所以这个数分别为，故这个数中最小的数为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知，求的最小值；（2）已知，，分别求，的取值范围；（3）设，为实数，比较与的值的大小.答案：（1）9；（2），；（3）解析：思路：（1）利用1的代换化简式子，然后利用基本不等式进行求解；（2）利用不等式的性质求解；（3）作差法求解.解答过程：（1）由，，，得：，当且仅当，即，时取等号，因此最小值为.（2）由，得，又，不等式同向相加得：，即；由，得，又，不等式同向相乘得，即.（3）作差得：，当且仅当，时取等号，因此.16.设集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1）或（2）解析：思路：（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解.（2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得.（1）依题意，，由，得，则，解得或，当时，则，满足；当时，则，满足，所以或.（2）由（1）可知，，，若，则，解得；若，则，无解；若，由（1）知；若，则，无解，所以实数的取值范围是.17.某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）．答案：（1）（2）年平均盈利额的最大值为万元解析：思路：（1）根据盈利总额等于总收入减去设备购置费和总维修保养费，建立关于的二次函数关系式，并注明定义域.（2）先表示年平均盈利额，再利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件符合题意.（1）由题意，设备使用年后，总收入为万元，总维修保养费用为万元，购进设备花费万元，所以盈利总额.化简得，其中.（2）年平均盈利额为.因为，所以，当且仅当，即时取等号.于是，所以该设备的年平均盈利额的最大值为万元.18.设全集，集合，．（1）若时，求，；（2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（3）若．求实数a的取值范围．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）利用并集的概念求解；（2）根据题意得到是的真子集，再利用小范围能推大范围求解；（3）分类讨论，注意等号的取舍.（1）若，则，所以，.（2）由题可知，是的真子集，所以，且不能同时取等号，解得：，即.（3）因为，所以，若，则，解得：；若，则，此时有，无解；综上所述，若．则实数a的取值范围是.19.若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”.（1）写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）；（2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；（3）记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值.答案：（1）（答案不唯一）（2）由上述分析可知，2元“完美集”（），则，因为，则，即，且，可得，所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于