2026-2027学年安徽部分校高三上学期八月底学情调研数学试卷（含解析）

/数学满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据5，2，7，6，1，4的第40百分位数为（）A.2 B.4 C.5 D.72.已知平面向量，，，若，则（）A. B. C. D.3.已知集合，，则的元素个数为（）A.4 B.3 C.2 D.14.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5.《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（）.A. B.C. D.6.若函数在上存在最小值，则（）A. B.C. D.7.已知各项均不相同的数列满足，则（）A.2027 B.2028 C.2 D.18.在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、4、6、8、10，现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则下列说法正确的是（）A.B.C.的虚部为9D.为纯虚数10.对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为，若，，当时，，则称为区间上的严格减函数．已知函数，的定义域为，若，则下列说法正确的是（）A.当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称B.若，，且，则C.若，在上均为严格减函数且连续，则没有极值点D.若，均存在最大值，则也一定存在最大值11.已知三棱锥的体积为，外接球的球心为，且点在线段上，向量，的夹角与向量，的夹角分别为定值，若球的体积为定值，则添加下列条件后，若的值能够存在，则使得的值唯一确定的是（）A.的长B.的度数C.与平面所成角的正弦值D.二面角的度数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________．13.半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________．14.已知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则______；函数，若关于的方程在上有且仅有1个根，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥如图所示，其中是面积为的等边三角形，，．（1）求证：；（2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．16.某奢侈品专柜在开业100天的纪念日举办一项有奖回馈至尊VIP的活动，规定当天在专柜消费最多的VIP顾客（下面简称VIP顾客）可以通过抽奖获得最高金额为万元的现金返利（其中未知），具体抽奖活动规则如下：在一个封闭的抽奖箱里装有5张奖券，每张奖券上标注着不同的奖励金额，VIP顾客从抽奖箱中随机摸取1张奖券，查看数字后，若他认为符合自己的心理预期，则直接兑奖，若他认为不符合自己的心理预期，则可以丢掉奖券，再从剩下的奖券中随机抽取一张，重复该过程，直到奖券抽完，若奖券抽完，则按最后一张奖券的金额进行返现．（1）若该VIP顾客进行了2次抽奖后兑奖，其获得的返现金额为，求；（2）经过思考，该VIP顾客决定采取如下抽奖策略，他决定先抽取2次，记录下这两次抽奖的最高金额，然后丢掉奖券继续抽取，若后续抽奖抽到的奖券的金额小于，则继续抽，若金额大于，则直接兑奖，若抽到第5次，奖券的金额仍然小于最大金额，则保留第5次的结果进行兑奖，求按照这种策略，该VIP顾客能够获得最高金额为万元的现金返利的概率．17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，且，求的外接圆面积．18.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线形成的弦长为．（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线交于、两点，其中，．（i）已知点在抛物线上，且，若，求的值；（ii）探究：是否存在定点，使得（其中、分别为直线、的斜率），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．19.已知函数．（1）若，求函数在上的最值；（2）已知函数有两个不同的零点，．（i）求的取值范围；（ii）若，求的取值范围．

数学满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据5，2，7，6，1，4的第40百分位数为（）A.2 B.4 C.5 D.7答案：B解析：思路：根据百分位数的求解方法求解即可.解答过程：将该组数据从小到大排列：1，2，4，5，6，7，因为，不是整数，所以第40百分位数为第3项数据，即4.2.已知平面向量，，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意求出的坐标，再由列方程组可求出的值，从而可求出的值.解答过程：因为，，所以，因为，，所以，解得，所以.3.已知集合，，则的元素个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：解答过程：或，又因为，所以，则的元素个数为2.4.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：化双曲线方程为标准方程即可求解.解答过程：由题意得双曲线标准方程为，即得，所以双曲线的渐近线方程为.5.《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（）.A. B.C. D.答案：B解析：思路：先将条件转化到同一个三角形中，进而通过三角形的三边关系进行求解解答过程：因为四边形为矩形且，所以四边形是正方形，，，；又因为与所成角的余弦值为，所以与所成角的余弦值为；因为平面，⊆平面，所以，，又因为，⊆平面,所以平面，又因为⊆平面，所以；在直角三角形中，因为，所以；所以在直角三角形中，，所以.6.若函数在上存在最小值，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：导数单调递增，所以函数只有一个极小值点，这个极小值就是区间上最小值；利用极值点落在区间，求出整数，将代回得到极小值点，判断的单调性，得到时，取得最小值.解答过程：，因为单调递增，所以在上单调递增，令，得，得，因为在存在最小值，说明极值点，所以，即，因为，所以，所以极值点为，当，，单调递减，当，，单调递增，所以时，取得最小值为,所以最小值.7.已知各项均不相同的数列满足，则（）A.2027 B.2028 C.2 D.1答案：A解析：思路：根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列的基本量运算化简，结合裂项求和法化简，代入所求式计算即得.解答过程：由可得数列为等差数列，设公差为，则，，于是，又因，可得，则有，故.8.在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、4、6、8、10，现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据组合数算出从8张卡片中抽出3张卡片的情况，再分别算出全是绿色数字或者全是黑色数字或者三数之和为6的倍数的情况，去掉重复的情况后相加，即可算出概率.解答过程：从8张卡片中任取3张，总可能数为.绿色数字卡片有3张，分别是2、4、6，则抽出的全是绿色数字的可能数为.黑色数字卡片有5张，分别是2、4、6、8、10，则抽出的全是黑色数字的可能数为.抽出的三张数字之和为6的倍数有以下这些情况：；；：因为2，4，6都有黑色和绿色，所以共有种情况；：因为2，6都有黑色和绿色，所以共有种情况；：因为4，6都有黑色和绿色，所以共有种情况；：因为6有黑色和绿色，所以有2种情况，则共有可能数为种.抽出的全是绿色数字为，是三张卡片数字之和为6的倍数的可能，抽出的全是黑色数字中，，，，三数之和均为6的倍数，去掉重复情况，所以共有种可能，则.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则下列说法正确的是（）A.B.C.的虚部为9D.为纯虚数答案：ABD解析：思路：根据共轭复数，复数的模与组成以及复数的四则运算法则逐一计算即可.解答过程：对于A，由易得，故A正确；对于B，因，故B正确；对于C，，其虚部为，故C错误；对于D，，是纯虚数，故D正确.10.对严格减函数有如下定义：设函数的定义域为，若，，当时，，则称为区间上的严格减函数．已知函数，的定义域为，若，则下列说法正确的是（）A.当，的图象均关于原点对称时，的图象也关于原点对称B.若，，且，则C.若，在上均为严格减函数且连续，则没有极值点D.若，均存在最大值，则也一定存在最大值答案：BC解析：思路：对于A，利用奇函数性质，判断是否为奇函数，举特例排除；对于B，利用不等式传递性，可知，又，故它们的较小值；对于C，根据减函数定义，分析单调性，分有无交点进行讨论即可；对于D，举出反例，可排除.解答过程：对于A，若，的图象均关于原点对称，则，为奇函数，即，，不妨设，，因为，又，，所以，同理，，，即，不满足，因此，的图象不一定关于原点对称，选项A错误.对于B，已知，，且，对任意，，即是和中的较小值.由于，，故它们的较小值，因此选项B正确.对于C，若，在上均为严格减函数且连续，需分析的单调性.即，，当时，，.分情况讨论若与没有交点，不妨设，可得与在上严格单调递减，且，则严格单调递减，若与有交点，即存在使得，当时，不论还是，都有在均单调递减，又，所以为上的严格减函数，没有极值点，因此选项C正确.对于D，令，，则与的最大值均为0，因为，所以，没有最大值，因此选项D错误.11.已知三棱锥的体积为，外接球的球心为，且点在线段上，向量，的夹角与向量，的夹角分别为定值，若球的体积为定值，则添加下列条件后，若的值能够存在，则使得的值唯一确定的是（）A.的长B.的度数C.与平面所成角的正弦值D.二面角的度数答案：ABC解析：思路：根据题意确定出三棱锥如图所示，分别根据选项所给条件确定三棱锥体积是否具备唯一性即可求解.解答过程：球心在线段上，则是外接球的直径，（为球的半径），故为直角三角形，由球的体积为定值，得是常数，由向量的夹角与向量的夹角分别为定值，得和的角度为定值，如图，已知的长和的角度为定值，则的长为定值，所以三边长都是定值；同理，由的角度为定值，得SC的长为定值.对A，若已知的长，则在中，可以求出的长，则三棱锥的所有棱长都确定，则唯一确定，故A正确；对B，若已知的度数，则在中，可以求出的长，再在中，可以求出的长，则三棱锥的所有棱长都确定，则唯一确定，故B正确；对C，由的长和与平面所成角的正弦值，可以求出点到平面的距离，由的三边长，可以求出的面积，则唯一确定，故C正确；对D，已知点C的轨迹是一个圆周，由二面角知，点S随着点C的变化而变化，因为为直角三角形，故点S的轨迹也是一个圆周，若二面角的度数确定，则点S为上述圆周与平面的交点，一般会有两个交点，则此时的值不确定，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为________．答案：4解析：思路：求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解.解答过程：由，得，所以在处的切线斜率为：4，由垂直关系可得：，所以.13.半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________．答案：解析：思路：由题意得到，根据两点间距离公式列方程组求出圆半径，代入圆的标准方程求解即可.解答过程：半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的半径.设圆的圆心坐标为，则，解得（舍去，此时与圆重合）或.所以圆的圆心坐标为.故圆的标准方程为.14.已知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则______；函数，若关于的方程在上有且仅有1个根，则实数的取值范围为______．答案：①.②.解析：思路：（1）根据正弦函数对称轴必过最值点的性质，列方程解得的通解；再由在上单调递增，可知该区间需完全包含于正弦函数的单个单调递增区间内，据此得到的取值上限，结合，可得答案.（2）构造函数，先将问题转化为函数在该区间上的零点个数问题；去绝对值后分析的单调性，可知其在处取得最大值；按与区间的位置关系分类，结合区间端点的函数值符号判断零点个数，分别求解对应的范围后合并，即可得到的取值范围.解答过程：（1）由的图象关于直线对称，得，即，解得.的单调递增区间满足，即.当时，，由在上单调递增，得，即，结合得，.（2）当时，，方程，即，.令，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.由得，分情况讨论：①当即时，在单调递减，恒成立，方程有且仅有1个根等价于.，由，结合，得.②当，即时，，在递增，在递减.时，，方程无解；时，且，要使方程仅有1个根，需.，由，结合，得.综上，实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥如图所示，其中是面积为的等边三角形，，．（1）求证：；（2）若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）由，得为线段的中点，因为是等边三角形，所以，因为，且，、平面，所以平面，因为平面，所以．（2）．解析：思路：（1）通过线面垂直证明线线垂直.（2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值.（1）略（2）由是面积为的等边三角形，得，则，故，，由（1）知，平面，则，所以，即，故以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，．设平面的一个法向量为，则，即，令，可得平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．16.某奢侈品专柜在开业100天的纪念日举办一项有奖回馈至尊VIP的活动，规定当天在专柜消费最多的VIP顾客（下面简称VIP顾客）可以通过抽奖获得最高金额为万元的现金返利（其中未知），具体抽奖活动规则如下：在一个封闭的抽奖箱里装有5张奖券，每张奖券上标注着不同的奖励金额，VIP顾客从抽奖箱中随机摸取1张奖券，查看数字后，若他认为符合自己的心理预期，则直接兑奖，若他认为不符合自己的心理预期，则可以丢掉奖券，再从剩下的奖券中随机抽取一张，重复该过程，直到奖券抽完，若奖券抽完，则按最后一张奖券的金额进行返现．（1）若该VIP顾客进行了2次抽奖后兑奖，其获得的返现金额为，求；（2）经过思考，该VIP顾客决定采取如下抽奖策略，他决定先抽取2次，记录下这两次抽奖的最高金额，然后丢掉奖券继续抽取，若后续抽奖抽到的奖券的金额小于，则继续抽，若金额大于，则直接兑奖，若抽到第5次，奖券的金额仍然小于最大金额，则保留第5次的结果进行兑奖，求按照这种策略，该VIP顾客能够获得最高金额为万元的现金返利的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据不放回抽样及全概率公式求解即可.（2）根据全概率公式、条件概率公式，结合互斥事件的加法公式求解即可.（1）设抽到的第张奖券的金额为，，；设事件为，事件为，事件为该VIP顾客进行了2次抽奖后获得最大金额，注意到，，，，则．（2）设事件为该VIP顾客获得最大金额奖励，若，则，故只需考虑的情况．设：抽到的第张奖券金额为，由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的概率均相等，即；只有当是前张奖券中的最大金额时，顾客才会保留第张奖券，，则．17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，且，求的外接圆面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助二倍角公式与正弦定理计算即可得；（2）借助余弦定理与正弦定理计算可得，再计算出的外接圆半径即可得其面积.（1）因为，所以，整理得，，由正弦定理得，，即；（2）由（1）知，，由余弦定理得，，因为，则，故，整理得，即，即，由，得，故的外接圆半径，则的外接圆面积为．18.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线形成的弦长为．（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线交于、两点，其中，．（i）已知点在抛物线上，且，若，求的值；（ii）探究：是否存在定点，使得（其中、分别为直线、的斜率），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（i）；（ii）存在，解析：思路：（1）设直线，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关的韦