2026-2027学年甘肃省环县第一中学高三上学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题（每小题5分，共计40分）1.已知集合，，则（）．A. B.C. D.2.已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（）A.真，：， B.假，：，C.真，：， D.假，：，3.若，则下列不等式不一定成立的是（）A. B. C. D.4.设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（）A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或36.若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.，若是的最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（每小题6分，共计18分）9.下列选项中，正确的是（）A.若，，则，B.若不等式的解集为，则C.函数的图象恒过定点D.若，，且，则的最小值为910.下列四个结论中，正确的结论是（

）A.与表示同一个函数．B.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件C.函数的值域为D.已知，，则的取值范围的取值范围是．11.已知函数,，，则下列说法正确的是（）A.当时，函数有3个零点B.当时，若函数有三个零点，则C.若函数恰有2个零点，则D.若存在实数m使得函数有3个零点，则三、填空题（每小题5分，共计15分）12.已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.13.函数的单调递减区间为______.14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．四、解答题（共5道题：其中15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分；请写出必要的文字说明及解答过程．）15.设，已知集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.16.某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：参数量x（亿）24681012性能得分y（分）1.82.83.43.63.84.0（1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分；（2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：训练数据质量等级训练效率总计高效低效优质421860普通182240总计6040100请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关.附：，，，..0.050.010.0013.8416.63510.82817.如图，在四棱锥中，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.18.已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求不等式的解集．19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，证明：．

数学一、单项选择题（每小题5分，共计40分）1.已知集合，，则（）．A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由，，得．2.已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（）A.真，：， B.假，：，C.真，：， D.假，：，答案：C解析：思路：先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式.解答过程：取，此时，，满足，因此命题p为真命题，根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题，因此命题的否定为.3.若，则下列不等式不一定成立的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用不等式的性质一一判定即可.解答过程：由于，则，而，故．即，故A成立；因为，故，故B成立；，故C成立；取，检验可知D不一定成立。故选：D4.设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，且是定义在上的偶函数，所以，又因为在上单调递减，所以，所以或，解得或，所以不等式的解集为.5.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（）A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3答案：C解析：思路：根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案.解答过程：因为此数为小于5的正整数，所以，.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以是的真子集，是的真子集，所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确.故选：C.6.若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解.解答过程：若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；令，则，则在上单增，，则.故选：C.7.，若是的最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．解答过程：解：当时，，当且仅当：，即时，等号成立，此时函数的最小值为，若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件，若，则要使是的最小值，则满足，即解得，，，故选：D．8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.解答过程：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.二、多项选择题（每小题6分，共计18分）9.下列选项中，正确的是（）A.若，，则，B.若不等式的解集为，则C.函数的图象恒过定点D.若，，且，则的最小值为9答案：AD解析：思路：根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据对数函数恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误.解答过程：对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确；对于B：若不等式的解集为,则的两根为，且,根据韦达定理有:，解得，所以,故B错误；对于C：对数函数恒过,所以恒过，故C错误；对于D：因为,所以,当且仅当,即时等式成立，故的最小值为9，故D正确.故选：AD.10.下列四个结论中，正确的结论是（

）A.与表示同一个函数．B.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件C.函数的值域为D.已知，，则的取值范围的取值范围是．答案：ABD解析：思路：对于选项A，根据函数的定义域以及解析式判断是否为同一函数即可；对于选项B，根据韦达定理判断一元二次方程的根是否为一正一负；对于选项C，通过换元法可求得函数的值域；对于选项D，根据不等式的性质求解即可.解答过程：对于选项A，的定义域为，解得，的定义域为，解得，对于同一函数要求定义域相同且解析式相同且值域相同，故A正确；对于选项B，一元二次方程有一正一负根的条件为，若，则，且，则方程必有一正一负根，所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故B正确；对于C选项，令，所以，所以，当时，可以取得最小值为，所以函数的值域为，故C错误；对于选项D，，所以，则，因为，所以，所以故D正确.故选：ABD.11.已知函数,，，则下列说法正确的是（）A.当时，函数有3个零点B.当时，若函数有三个零点，则C.若函数恰有2个零点，则D.若存在实数m使得函数有3个零点，则答案：AB解析：思路：A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出画出与的图象，得到要想有三个零点，则，不妨设，则，，求出，；C选项，求出当时，不存在零点，而有两个零点，函数恰有2个零点，C错误；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，求出.解答过程：当时，，当时，令，解得：，当时，令，解得：，故函数有3个零点，A正确；当时，，令，则，要想有三个零点，则，画出与的图象如下：不妨设，则，，故，解得：，则，B正确；因为时，，或4时，，当时，不存在零点，而有两个零点，此时函数恰有2个零点，故C错误；画出与的图象如下：要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，D错误.故选：AB方法提示：方法点睛：函数零点或方程的解问题，常常转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题（每小题5分，共计15分）12.已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.答案：解析：思路：求出原函数的对称轴，分析可知，然后根据x≥1时，函数为增函数且，分析即得解解答过程：函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x≥1时，函数为增函数，且∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．故[1，3]13.函数的单调递减区间为______.答案：解析：思路：由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.解答过程：由，可得：，因在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性，可知的单调递减区间为.故14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．答案：2025解析：思路：由新定义确定的对称中心，即可求解.解答过程：解：因为，所以，，令，得，又，所以的对称中心是，所以，所以．四、解答题（共5道题：其中15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分；请写出必要的文字说明及解答过程．）15.设，已知集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得；（2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可.（1），解得，当时，得，所以.（2）若“”是“”的必要不充分条件，所以AB，解方程得或，当时，，不满足题意；当，即时，，因为AB，所以，解得；当，即时，，显然不满足题意.综上，的取值范围为.16.某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据：参数量x（亿）24681012性能得分y（分）1.82.83.43.63.84.0（1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分；（2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表：训练数据质量等级训练效率总计高效低效优质421860普通182240总计6040100请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关.附：，，，..0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分（2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关解析：思路：（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测.（2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设.（1）由题意可得，n=6，，，又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：

，，所以，关于的线性回归方程为：

，当参数量亿时，代入可得：

，即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）.（2）零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得：，，，，，所以卡方统计量为，因为对应的临界值为，，所以拒绝，依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关.17.如图，在四棱锥中，，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.答案：（1）因为，平面，可得平面，由平面，所以，且，所以，又因为，为的中点，则，且平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.（1）略（2）以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，可得.设平面的法向量为，则，令，则，可得，可知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求不等式的解集．答案：（1），令，则，又，所以．证明：当时，，所以，又，所以，所以；（2）在上单调递减．证明：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，所以，即，所以在上单调递减；（3）.解析：思路：（1）令，可得，令，结合已知即可得证；（2