2026-2027学年甘肃省兰州市第五十一中学高三上学期8月月考数学试卷（含解析）

/数学第I卷（58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（）A.90 B.91 C.90.5 D.91.52.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（）A.2 B.1 C. D.5.已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.7.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D.8.已知是定义在上的奇函数，，且，则（）A.4 B.2 C.0 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递减C.函数的图象关于对称D.将函数的图象向左平移个单位得到奇函数10.已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（）A.平面截该正方体所得的截面图形是正方形B.平面平面C.若，则点的轨迹长度为D.若点在上，则的最小值为11.已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（）A.B.若，则点到准线的距离为4C.的最小值为4D.若，则第II卷（92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______．13.的展开式中含项的系数是___________．14.一列火车从城驶往城，铁路上有20个车站（包括起点站和终点站）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第站出发，邮政车厢内的邮袋数为，则数列的最大值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数8451055650（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？（3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.16.在中，，，分别是角，，的对边，且，，．（1）求的大小；（2）若，，求的面积．17.如图所示，正四棱台，其中，．（1）证明：平面；若棱台高为，求三棱锥的体积．（2）当时，求平面与平面所成的角．18.已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.（1）求双曲线离心率；（2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；（3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.19.已知函数.（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围；（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

数学第I卷（58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（）A.90 B.91 C.90.5 D.91.5答案：C解析：思路：根据百分位数的计算即可求解.解答过程：先将这10个数从小到大排列：65,71,72,76,85,88,90,91,92,95，因为，7是整数，故这10名同学数学成绩的第70百分位数是，故选：C.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得.解答过程：由，对应点为在第四象限.故选：D3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义直接求解.解答过程：依题意，，，所以.故选：A4.记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则（）A.2 B.1 C. D.答案：B解析：思路：由等比数列的前项和公式,可以解出,进而求出.解答过程：由等比数列的前项和公式,所以解得或.因为,所以，所以.故选:B.5.已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可.解答过程：若存在实数，使，则共线；若，则同向；所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件.6.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可.解答过程：设，圆的圆心为，半径，两切点为，如下图所示，则，易知，，即.故选：B7.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据已知条件首先确定外接球的半径，然后根据已知条件求出半径，最后根据球的表面积公式可求得结果.解答过程：如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球．由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C．8.已知是定义在上的奇函数，，且，则（）A.4 B.2 C.0 D.答案：D解析：思路：根据题意，由条件可得函数是以为周期的周期函数，然后分别求得的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果.解答过程：由可得，用替换，则，即，所以函数是以为周期的周期函数，由，令，则，且是定义在上的奇函数，则，所以，令，则，且，则，令，则，因为，所以，所以，则.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递减C.函数的图象关于对称D.将函数的图象向左平移个单位得到奇函数答案：AC解析：解答过程：对于A，，则函数的最小正周期，故A正确；对于B，当时，．由于正弦函数在上单调递增，故函数在上单调递增，故B错误；对于C，当时，可得，故函数的图象关于对称，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位，可得，其不是奇函数，故D错误．10.已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（）A.平面截该正方体所得的截面图形是正方形B.平面平面C.若，则点的轨迹长度为D.若点在上，则的最小值为答案：BC解析：思路：建立空间直角坐标系，易得，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断C的真假；设，则可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，由此即可求出的最小值，可判断D的真假.解答过程：如图建立空间直角坐标系，对于A选项：,,，，所以，所以与不垂直，A错误；对于B选项：,，所以所以，又，平面,平面，所以平面，又平面，所以平面平面，B正确；对于C选项：易知，所以，所以点的轨迹为点为圆心，1为半径的圆，所以点的轨迹长度为，C正确；对于D选项：设，则可表示为在直角坐标系中点到点与点的距离之和，如图所示，所以，所以的最小值为，D错误.故选：BC.11.已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（）A.B.若，则点到准线的距离为4C.的最小值为4D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A，根据焦点求出；对于B，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出.解答过程：对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确；对于B，分别过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可知，因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误；对于C，因为，则当三点共线时，有最小值，故C正确；延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，，则为的中位线，设，则，，由相似关系可知，，则，得，故，故D正确.故选：ACD第II卷（92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______．答案：解析：解答过程：因为双曲线：的一条渐近线为，，故，由得，，因此，故双曲线的焦距为.13.的展开式中含项的系数是___________．答案：解析：思路：先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果.解答过程：因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中含的项为，因此的展开式中含项的系数为.故14.一列火车从城驶往城，铁路上有20个车站（包括起点站和终点站）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第站出发，邮政车厢内的邮袋数为，则数列的最大值为_______．答案：1183解析：思路：根据题目条件列出数列的递推公式，根据递推公式求解数列的通项公式，利用数列与函数之间的关系即可求解数列的最大值.解答过程：一共个车站，因此到第站，前面一共有站，故需要卸下个邮袋，后面还有站，所以需要装上个邮袋，故，，因此根据递推公式有，故，设函数，，，所以，令，可得或，因此当时，，当时，，故的最大值为1183.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数8451055650（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？（3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.答案：（1）9；（2）；（3）不相互独立，理由如下：由题可得，，，注意到，则事件A与事件B不相互独立.解析：思路：（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案.（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；（3）验证，是否等于可得答案.（1）年龄段占总体比例为：，则抽取人数为：；（2）由题可得人的平均年龄为：；（3）事件A与事件B不相互独立，理由略.16.在中，，，分别是角，，的对边，且，，．（1）求的大小；（2）若，，求的面积．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）由向量垂直可得，从而可求得答案.

（2）由正弦定理结合条件可得，再由余弦定理可得出，从而可得面积.解答过程：（1）由，则，即，，又，（2），，，即．又，即，所以，17.如图所示，正四棱台，其中，．（1）证明：平面；若棱台高为，求三棱锥的体积．（2）当时，求平面与平面所成的角．答案：（1）连接、交于，连接、交于，如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，，，所以四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面．三棱锥的体积为（2）解析：思路：（1）利用正棱台的性质可得，再由线面平行的性质，即可证明；结合条件，利用棱锥的体积公式，即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解.（1）证明略.由正棱台性质，与上下底面均垂直，则，所以．（2）分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，，所以，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，所以，设平面的一个法向量为，则，取，所以，因为，所以，则平面与平面所成的角为．18.已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点.（1）求双曲线离心率；（2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率；（3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）求出，直接利用公式即可求解；（2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案；（3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案.（1）对于双曲线，，，，所以双曲线离心率.（2）因为点是的中点，所以点，代入双曲线方程，得，解得，又点在双曲线的右支上，所以，即，所以，所以直线的斜率为.（3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意；当直线斜率不为时，设直线方程为，设，，则，联立，整理得，（*）且，，，因为，，所以，，所以，即，即，整理得，即，代入（*）