2026-2027学年甘肃省张掖市张掖中学高三上学期9月学业质量检测（A卷）数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若为偶函数，则（）．A. B.0 C. D.13.已知函数，且，则（）A.2 B. C. D.4.已知为正实数，且，则的最小值为（）A.12 B.16 C.18 D.205.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知，则（）．A. B. C. D.7.设函数，若，则a的最小值为（）A. B. C.2 D.18.已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（）A. B. C.1 D.0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A. B. C. D.10.已知函数的图像关于点中心对称，则（）A.在区间单调递减B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线的切线11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A.的图象关于点对称 B.是以8为周期的周期函数C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则________.13.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______．14.已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.16.已知函数，．（1）求；（2）求的最小正周期和最大值；（3）讨论在区间上的单调性．17.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值．19.已知函数（1）时，求在点处的切线方程；（2）有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．

数学满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．解答过程：方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.若为偶函数，则（）．A. B.0 C. D.1答案：B解析：思路：根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.解答过程：因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.3.已知函数，且，则（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：化简，得到关于的方程，由此求得.解答过程：由题可知:，所以．4.已知为正实数，且，则的最小值为（）A.12 B.16 C.18 D.20答案：B解析：思路：由题可得，然后由基本不等式可得答案.解答过程.当且仅当，即时取等号.故选：B5.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.解答过程：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.6.已知，则（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.解答过程：因为，而，因此，则，所以.故选：B方法提示：方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．7.设函数，若，则a的最小值为（）A. B. C.2 D.1答案：B解析：思路：根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.解答过程：函数定义域为，而，，，要使，则二次函数，在上，在上，所以为该二次函数的一个零点，易得，则，且开口向上，所以，只需，故a的最小值为.故选：B8.已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（）A. B. C.1 D.0答案：B解析：思路：根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得，进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解.解答过程：因为在上单调递减，所以；因为为图象的一个对称中心，所以①；因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减，所以②，②①得，，即，结合，可得，当时，，，得，当时，，在单调递减，符合题意，所以，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.解答过程：由题意，存在，使得，即，当时，即时，的最小值为，故；所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件.故选：CD.10.已知函数的图像关于点中心对称，则（）A.在区间单调递减B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线的切线答案：AD解析：思路：根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．解答过程：由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A.的图象关于点对称 B.是以8为周期的周期函数C. D.答案：BC解析：思路：根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误.解答过程：对于A，由题意，，且，又，即①，用替换中的，得②，由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误；对于B，由，可得，即，所以，所以是以8为周期的周期函数，故B正确；对于C，由①可得，则，所以，故C正确；对于D，因为，为偶函数，所以，令，则有，令，则有，令，则有，，令，则有，所以，故D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则________.答案：解析：解答过程：因为，所以，又，所以，所以，所以.13.已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______．答案：解析：思路：令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案解答过程：令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数，所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为.14.已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________．答案：##解析：思路：设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案.解答过程：设公切线在图象上的切点为，结合，可得公切线方程为：；设公切线在图象上的切点为，结合，可得公切线方程还可表示为.依题意可得，由②得，即，代入①，得，又，，从而.令，则.令，则，则在上单调递减，注意到，则，则在上单调递增，在上单调递减，从而，即实数m的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.答案：（1）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）解析：思路：（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.（1）因为函数，则，当时，，函数在上单调递增；当时，由可得，若，则；若，则.当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，函数的定义域为，，由，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.方法提示：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．16.已知函数，．（1）求；（2）求的最小正周期和最大值；（3）讨论在区间上的单调性．答案：（1）（2）最小正周期为，最大值为（3）单调递减区间为，单调递增区间为解析：思路：（1）由可得出，结合的取值范围可得出的值；（2）由三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式、最值可得出结果；（3）由可得出的取值范围，结合正弦型函数的单调性可得出函数在上的增区间和减区间.（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）知，，所以，所以的最小正周期为，最大值为.（3）当时，，由，得，所以的单调递减区间为；由，得，所以的单调递增区间为.17.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值．答案：（1）平均数为123，第60百分位数为125（2）分布列为：012P方差为（3）6解析：思路：（1）根据百分位数的定义直接计算即可；（2）由抽样比确定抽取的一级口罩个数，再由超几何分布计算出相应概率可得分布列，求出方差；（3）求出X的数学期望的表达式，构造函数并求导得出取最大值时正整数n的值.（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为；，故第60百分位数落在内，设其为x，则，解得，故第60百分位数为125；（2）一级口罩与二级口罩的个数比