2026-2027学年吉林省吉林市第一中学高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.“”是“为第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设，化简的结果是（）A. B. C. D.4.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.5.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的增区间是C.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象D.图象的一个对称中心是6.已知函数，且，则（）A. B. C.0 D..37.已知函数在处取得极值0，则（）A.6 B.12 C.24 D.12或248.中，，点在边上，平分，，当最短时，（）A. B. C. D.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.)9.下列命题为真命题的有（）A.若，则 B.若，则C.的最小值为2 D.的最大值为510.下面命题正确的有（）A.在中，若，则B.命题“，使是假命题，则实数的取值范围为C.函数的单调递减区间为D.如果是第三象限角，则的终边一定不在第二象限11.设函数，则（）A.是的极大值点B.C.的解集为D.当时，三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知向量，的夹角为，，，则________．13.函数在上有三个零点，则的取值范围是______．14.已知函数，且函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.记的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．16.已知函数．（1）若函数在上有2个零点，求m的取值范围；（2）对任意的，存在，使得成立，试确定m的取值范围．17.已知函数（1）求的最大值；（2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求的单调递增区间；（3）当时，的值域为，求的值．18.在中，内角的对边分别为，已知．（1）求．（2）点在边上，记．（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，且点到的距离等于点到的距离的2倍，求面积的最小值．19.已知函数.（1）当时，，求的取值范围；（2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：；（3）求证.

数学一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据正弦函数的值域得出集合M，再根据交集定义计算即可.解答过程：因，所以且，所以.故选:A.2.“”是“为第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.解答过程：因为时，则，所以为第一或第三象限角，反之，当为第一或第三象限角时，，所以，综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，故选：C3.设，化简的结果是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合诱导公式、降次公式以及角的取值范围，化简所求表达式.解答过程：原式.，，.故选：C方法提示：本小题主要考查诱导公式、降次公式，属于基础题.4.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可.解答过程：由，得，则，所以．因为是上的一点，即，，三点共线，根据共线向量定理的推论则有，即，解得．5.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的增区间是C.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象D.图象的一个对称中心是答案：D解析：思路：根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案.解答过程：由图像可得，，，，将点代入可得，又，，所以函数，令，解得，，故函数的单调递增区间为，，故B错误；由，A错误；，故是对称中心，故D正确；将函数的图像向左平移个单位，得到，该函数为偶函数，故C错误.6.已知函数，且，则（）A. B. C.0 D..3答案：C解析：思路：计算得即可得到.解答过程：因为，，设，则，解得.故选：C．7.已知函数在处取得极值0，则（）A.6 B.12 C.24 D.12或24答案：C解析：思路：根据在处取得极值0可得，解出即可.解答过程：由题意知，，又在处取得极值0，则，解得或，当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，令或，，所以在、上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，符合题意，所以，，则.故选：C.8.中，，点在边上，平分，，当最短时，（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正弦定理可得关系，利用三角形面积公式和余弦定理建立与角的函数式，求导判断单调性可求最小时的值，最后根据三角形的角平分线性质可求解答过程：中，，由正弦定理可得，代入得，在中根据余弦定理有代入得即.令，则，令得，即时，，单调递减，时，，单调递增，所以在时取得最小值，即时取最小值.又因为平分，所以即，代入化简得，结合得，所以二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.)9.下列命题为真命题的有（）A.若，则 B.若，则C.的最小值为2 D.的最大值为5答案：AD解析：思路：对于A：根据不等式的性质分析判断即可；对于BC：举反例说明即可；对于D：利用基本不等式分析求解.解答过程：对于选项A：因为，则，可得，故A正确；对于选项B：例如，则，故B错误；对于选项C：例如，则，可知2不为的最小值，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当时，即时，等号成立，可得，所以的最大值为5，故D正确；故选：AD.10.下面命题正确的有（）A.在中，若，则B.命题“，使是假命题，则实数的取值范围为C.函数的单调递减区间为D.如果是第三象限角，则的终边一定不在第二象限答案：ABD解析：思路：由知角为钝角，结合以及解出即可判断A；根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用判别式法求解即可判断B；先求出的定义域，令，分别求出，在定义域上的单调性，再由复合函数的单调性即可判断C；根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断D.解答过程：对于A，因为，所以角为钝角，则，由和得，解得，故A正确；对于B，因为命题“，使是假命题，所以命题“，”是真命题，所以，所以，故B正确；对于C，要使函数有意义，则，即或，设，则该函数在上递增，在上递减．因函数在定义域上递增，则函数在上递增，在上递减，故C错误；对于D，因为是第三象限角，所以，即，当，时，，，可得的终边在第一象限，当，时，，，可得的终边在第三象限，令，时，，，可得的终边在第四象限，综上，的终边一定不在第二象限，故D正确.故选：ABD11.设函数，则（）A.是的极大值点B.C.的解集为D.当时，答案：ABD解析：思路：先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可．解答过程：对于A：因为的定义域为，且，当时，，当或时，，可知在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A正确对于B：因为，故B正确；对于C：对于不等式，因为，即为不等式的解，但，所以不等式的解集不可能是，故C错误对于D：因为，则，且，可得，因为函数在上单调递增，所以，故D正确.故选：ABD三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知向量，的夹角为，，，则________．答案：解析：思路：根据数量积的运算律计算求解.解答过程：，所以13.函数在上有三个零点，则的取值范围是______．答案：解析：思路：利用辅助角公式得到的最简表达式，令，得到关于的三角方程，求解三角方程的通解；根据，，求出的取值范围，将零点个数转化为对应的三角方程的解在的取值范围上的个数问题；根据三角函数的周期性和取值特点，结合三个解的条件，列出关于的不等式，求解不等式取得取值范围.解答过程.令，得，即.或，.，，.要使在上有三个零点，则，解得.综上，的取值范围为.14.已知函数，且函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：首先对函数求导，且函数为偶函数，又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，将问题转化为二次函数恒成立问题.解答过程：由于，当所以，故，又，所以，故函数在区间上单调递增；又，则为偶函数，又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，又，则问题转化为不等式对任意恒成立，故不等式对任意恒成立，构造函数，只要，得，故实数的取值范围是.故方法提示：方法点睛：求解函数恒成立方法：（1）分离参数法：若不等式在区间D上恒成立，可将参数与变量x分离，转化为或在区间D上恒成立问题；（2）最值法；（3）数形结合法：将函数恒成立问题转化为两个函数图像的位置关系问题；（4）变更主元法：当函数中含有多个变量时，可根据具体情况选择一个变量作为主元，将问题转化为关于主元的函数恒成立问题；（5）构造函数法.通过构造新函数，利用新函数的性质来解决原函数的恒成立问题.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.记的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长.（1）因为，可得，因为，所以，所以，故.（2），解得，由余弦定理可得，解得，故的周长为.16.已知函数．（1）若函数在上有2个零点，求m的取值范围；（2）对任意的，存在，使得成立，试确定m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先把零点转化为与有2个交点，再求导函数得出最小值，进而得出参数范围；（2）先把恒成立问题转化为最值关系，再分别求出导函数判定单调性，进而得出函数的最小值，最后列式计算求解.（1）因为在上有2个零点，所以即有2个根，令与有2个交点，，在单调递减；在单调递增；所以，又因为，所以与有2个交点可得，即得.（2）因为对任意的，存在，使得成立，所以，由（1）知的最小值为，因为，，令，因为，所以，所以，所以，所以单调递增，所以，所以，即得.方法提示：关键点点睛：解题的关键是把任意的，存在，使得成立，转化为.17.已知函数（1）求的最大值；（2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求的单调递增区间；（3）当时，的值域为，求的值．答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）整理可得，即可得的最大值；（2）根据图象变换可得，结合诱导公式可得，，以为整体，结合正弦函数求单调性；（3）以为整体，根据题意结合正项函数有界性分析求解即可.（1）由题意可得：．因为，所以的最大值为.（2）由平移变换知，又因为，则，解得，又因为，可得，所以，令，解得，所以的单调递增区间为．（3）当时，则，此时的值域为，因为，可知，且，可得，则，解得，可得，由可知，解得，且，或，解得，或，所以的值为或.18.在中，内角的对边分别为，已知．（1）求．（2）点在边上，记．（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，且点到的距离等于点到的距离的2倍，求面积的最小值．答案：（1）.（2）（ⅰ）如图所示，由，在中，根据正弦定理得：，在中，根据正弦定理得：，所以，在中，根据正弦定理得：，所以，即.（ⅱ）面积的最小值为.解析：思路：（1）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及诱导公式分析求解即可；（2）（ⅰ）利用正弦定理分析证明即可；（ⅱ）利用三角函数的定义，两角差的正弦公式，三角形的面积公式以及基本不等式分析求解即可.（1）由，根据正弦定理得：，即，在中，由，所以，即，在中，因为，所以，所以，所以.（2）（ⅰ）略.（ⅱ）过点作分别交于点，如图所示：则点到的距离为，点到的距离为，且，由，所以在直角与直角中有：，所以，由（1）知，所以，所以，即，又，所以，所以，由以及得：，即，由，当且仅当即时等号成立，所以，即当时，面积的最小值为.19.已知函数.（1）当