2026-2027学年吉林省长春市长春第八中学高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（每题5分，共40分）1.函数的零点所在的区间是A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)2.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是A. B.C. D.3.设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（）A. B.C. D.a，b的大小无法判断4.已知成立，函数是减函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（）A.2 B.5 C.8 D.96.过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（）.A. B. C. D.7.已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.8.对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分）9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.C.在区间单调递减 D.有且仅有2个零点10.已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（）A.， B.，，C.， D.，三、填空题（每题5分，共15分）12.已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．13.若，则__________.14.已知正数满足，则的最小值为_________．四、解答题15.已知函数．（1）求过原点且与曲线相切的直线方程；（2）若，求的最小值．16.已知为奇函数，为偶函数，且.（1）求，的解析式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.17.设函数在处取得极值.（1）求a的值，并求的单调区间；（2）若，有，求b的取值范围.18.部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.（1）若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.19.已知函数．（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，若有两个零点，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.函数的零点所在的区间是A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)答案：B解析：思路：因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.解答过程：因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.方法提示：函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.2.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是A. B.C. D.答案：B解析：思路：方程的两根都大于2，则其相应的函数与x轴的两个交点都在的右边，由图象的特征应有，对称轴大于2，，且，解由此组成的不等式组即可求出参数m的范围．解答过程：方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴．即，解得，所以正确选项为B.方法提示：本题的主要考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，通过数形结合的方法，把几何关系转化为不等式组，是解决本题的关键．3.设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（）A. B.C. D.a，b的大小无法判断答案：A解析：思路：首先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.解答过程：设，，所以函数在单调递增，即，所以，那么，即.故选：A4.已知成立，函数是减函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据给定条件，化简命题，再利用充分条件、必要条件定义判断即得.解答过程：由成立，得，解得或，则命题；由函数是减函数，得，解得，则命题，显然真包含于，所以是的必要不充分条件.故选：B5.已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（）A.2 B.5 C.8 D.9答案：D解析：思路：分析函数的奇偶性和单调性，利用函数性质化简条件，最后根据基本不等式求解最小值.解答过程：，的定义域为，，所以是奇函数，令，，在定义域上单调递减，对数函数是增函数，根据复合函数单调性，在上为减函数，由，得，因为为奇函数，，所以，又因为为减函数，则，，、均为正实数，，当且仅当，即，时等号成立.6.过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（）.A. B. C. D.答案：A解析：思路：设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围即可.解答过程：因为，所以，设切点为，则切线方程，而过，将代入方程得到，令，，令，，此时单调递减，令，，此时单调递增，故有极小值，有极大值，则得到，故A正确.故选：A.7.已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：函数有零点转化为方程有实根，令，则方程可转化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可.解答过程：画出函数的大致图象，如下图所示：函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得.故选：A8.对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合的单调性得到为的唯一零点；根据题意求出至少有一个零点，令，将问题转化为在内有解，分离参数得到，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可.解答过程：的定义域为，且在定义域内单调递增.又，所以为的唯一零点，即.若函数与互为“零点相邻函数”，则存在使得，即，解得，也即至少有一个零点.令，则在内有解，可转化为在内有解.由，得，.令，，则.令，即，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，在处取得最小值，为.故实数的最小值为.二、多选题（每题6分，共18分）9.已知函数，则（）A.是奇函数 B.C.在区间单调递减 D.有且仅有2个零点答案：AC解析：思路：利用奇函数的定义判断A；求导求出导数值判断B；利用导数确定单调性判断C；利用奇函数的对称性判断D.解答过程：函数的定义域为R，对于A，，是奇函数，A正确；对于B，求导得，，B错误；对于C，，当时，，，奇函数在上递减，则在上递减，因此在上递减，C正确；对于D，奇函数满足，因此零点个数必为奇数，D错误.故选：AC10.已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.解答过程：当时，，当时，，当时，，由图像可知，，此时，解得，故A对；因为关于对称，所以，又，，故B对；由，得，由，得，由，得，故C错；，故D对.故选：ABD11.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（）A.， B.，，C.， D.，答案：ABD解析：思路：利用可得，由知A正确；由知B正确；利用反例可说明C错误；令，利用导数可求得，知D正确.解答过程：对于A，当时，由得：，即；，A正确；对于B，由得：，即，，B正确；对于C，由得：；当时，，此时，则，即不成立，C错误；对于D，令，则，令，则，在上单调递增，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，即，，D正确.故选：ABD.三、填空题（每题5分，共15分）12.已知“，使得”是假命题，则实数的a取值范围为________．答案：解析：思路：由题可得命题“∀x∈R，使”是真命题，再利用二次函数的性质即得．解答过程：∵“，使得”是假命题，∴命题“∀x∈R，使”是真命题，∴判别式，∴.故．13.若，则__________.答案：1011解析：思路：根据题意求出，然后结合倒序相加即可求出结果.解答过程：因为，所以，设（1），则（2），得，即，故答案为.14.已知正数满足，则的最小值为_________．答案：解析：思路：运用同构函数研究其单调性可得，将求的最小值转化为求上的最小值，运用导数研究的最小值即可.解答过程：因为，即，所以，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令.则．令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.即的最小值为.故答案为.方法提示：同构法的三种基本模式：①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；②比商型，如可以同构成，进而构造函数；③和差型，如，同构后可以构造函数f或.四、解答题15.已知函数．（1）求过原点且与曲线相切的直线方程；（2）若，求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设切点，求出切线方程，将代入求出即可；（2）根据导函数求出单调性，再求出最值.（1）设切点为，因为，所以，所以在点处的切线方程为，将点代入得，得，则过原点且与曲线相切的直线方程为；（2）因为，所以，由得或；得；则在，上单调递增，在上单调递减，因为当时，或时，所以的最小值为.16.已知为奇函数，为偶函数，且.（1）求，的解析式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意求出，联立即可求解；（2）利用基本不等式求出的最小值，得到即可求解.（1）因为为奇函数，为偶函数，且有，所以，所以，解方程组得.（2）因为，当且仅当，即时，等号成立，即.所以对任意的恒成立，即，则，即，解得，所以实数的取值范围是.17.设函数在处取得极值.（1）求a的值，并求的单调区间；（2）若，有，求b的取值范围.答案：（1），的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解析：思路：（1）先求导，再由题意，可求a的值，根据定义域，令，可得增区间，令，可得减区间；（2）参变分离转化成新函数求导求最小值问题.（1）因为在处取得极值，且，则，所以，则，又的定义域为，所以时，，时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2）因为，有，则，即恒成立，令，则求导，，当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即b的取值范围为.18.部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.（1）若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.答案：（1）报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为（2）解析：思路：（1）根据二项分布概率公式和独立事件概率乘法公式依次求解即可；（2）根据二项分布期望公式可求得；结合独立事件概率乘法公式可求得离散型随机变量的分布列，进而由数学期望公式求得；根据可求得的范围.（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则.（2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，；该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为，；；；；随机变量的分布列：；该考生更有希望进入大学的面试环节，，即，解得：，的范围为.19.已知函数．（