2025-2026年江苏省部编版高二数学下册第5章同步练习题

2025-2026年江苏省部编版高二数学下册第5章同步练习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在《2025-2026年江苏省部编版高二数学下册第5章》中，若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)的图像经过原点，则下列关于a、b、c关系的正确表述是（）A.a+b+c=0且a≠0B.a-b+c=0且b≠0C.a+b-c=0且c≠0D.a-b-c=0且a≠02.根据教材第5章例3的结论，若函数g(x)=x^3-3x+m在区间[-2,2]上恰有两个零点，则实数m的取值范围是（）A.(-8,0)B.(-2,2)C.(-8,2)D.(-2,8)3.教材第5章习题12中提到，若曲线y=x^3-3x与直线y=kx相切于点P(x₀,y₀)，则k的值为（）A.±√3B.±2√3C.±√6D.±3√24.根据第5章4.2节内容，函数h(x)=x^3-6x^2+9x+1的拐点坐标为（）A.(1,5)B.(2,3)C.(3,4)D.(0,1)5.教材第5章例7分析指出，若函数f(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处均取得极值，则p、q应满足的关系式为（）A.p=2且q=0B.p=0且q=2C.p=3且q=-1D.p=-3且q=16.根据第5章5.1节定理，若函数φ(x)=x^3-3x+2在区间(-∞,0)上单调递增，在(0,∞)上单调递减，则φ(x)在x=0处的图像特征是（）A.拐点B.极大值点C.极小值点D.非极值点7.教材第5章习题20要求判断函数σ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最值问题，其中最大值出现在（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=38.根据第5章3.3节例题，若函数μ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，在x=2处取得极大值，则a、b应满足的关系式为（）A.a=3且b=2B.a=4且b=3C.a=5且b=4D.a=6且b=59.教材第5章补充习题中提到，若函数τ(x)=x^3-3x^2+3x-1在区间[0,2]上的最大值与最小值之差为（）A.1B.2C.3D.410.根据第5章6.1节内容，若函数γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且极大值与极小值之差为4，则p、q的取值组合为（）A.p=1且q=-2B.p=-1且q=2C.p=2且q=-1D.p=-2且q=1二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.根据第5章2.1节定义，函数φ(x)=x^3-3x的极值点x₁、x₂满足x₁+x₂=______。2.教材第5章例5证明中提到，若函数ψ(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则其导函数ψ'(x)在x=1处的值为______。3.根据第5章4.3节定理，函数η(x)=x^3-6x^2+9x+1的拐点坐标为______。4.教材第5章习题18要求求解函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值，其最大值为______。5.根据第5章3.2节例题，若函数τ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，且拐点在x=2处，则a、b应满足的关系式为______。6.教材第5章补充习题中提到，函数σ(x)=x^3-3x+2在x=0处的二阶导数值为______。7.根据第5章5.2节内容，若函数γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且极大值与极小值之差为4，则p²+q²的值为______。8.根据第5章6.2节例题，函数φ(x)=x^3-3x^2+3x在区间[-1,3]上的最小值点为______。9.教材第5章习题22要求判断函数η(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的图像特征，其特征为______。10.根据第5章3.3节内容，若函数μ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，在x=2处取得极大值，且极大值比极小值大3，则a²-b²的值为______。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.根据第5章2.2节定理，若函数ψ(x)=x^3-3x在x=0处取得极值，则其导函数ψ'(x)在x=0处的值为0。（）2.教材第5章例9分析指出，函数η(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处取得极大值。（）3.根据第5章4.4节内容，函数σ(x)=x^3-3x+2的拐点即为极值点。（）4.教材第5章习题24要求求解函数μ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值，其最大值出现在x=2处。（）5.根据第5章3.1节定义，函数τ(x)=x^3-ax^2+bx的极值点一定是其导函数τ'(x)的零点。（）6.教材第5章补充习题中提到，函数γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，则p一定为负数。（）7.根据第5章5.3节内容，函数φ(x)=x^3-3x^2+3x在区间[-1,3]上的最小值点为x=1。（）8.教材第5章习题28要求判断函数η(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2处的图像特征，其特征为拐点。（）9.根据第5章3.4节内容，若函数μ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，在x=2处取得极大值，则a一定大于2。（）10.根据第5章6.3节例题，函数σ(x)=x^3-3x+2在x=0处的二阶导数值为0。（）四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.根据第5章2.1节定义，请详细说明函数ψ(x)=x^3-3x的极值点求解步骤，并写出极值点坐标。2.教材第5章例5证明中提到，若函数η(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，请证明其导函数η'(x)在x=1处的切线斜率为0。3.根据第5章4.3节定理，请解释函数μ(x)=x^3-6x^2+9x+1的拐点坐标求解过程，并说明拐点的几何意义。4.教材第5章习题18要求求解函数τ(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值，请写出完整的求解步骤，包括导函数求解、驻点判断和最值计算。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.根据第5章3.2节例题，已知函数σ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，且拐点在x=2处，请求a、b的值，并说明求解过程。2.教材第5章补充习题中提到，函数γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且极大值与极小值之差为4，请求p、q的值，并说明求解过程。3.根据第5章6.2节例题，函数φ(x)=x^3-3x^2+3x在区间[-1,3]上的最小值点为x=1，请证明该结论，并说明最小值的几何意义。4.教材第5章习题28要求判断函数η(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2处的图像特征，请详细说明判断过程，并解释其为什么是拐点而非极值点。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：由f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，得f'(1)=3a+2b+c=0；由f'(x)的图像经过原点，得f'(0)=c=0。代入得3a+2b=0，即a=-2b/3。选项A满足a+b+c=0且a≠0。2.A解析：g(x)=x^3-3x+m的导函数g'(x)=3x^2-3=0的解为x=±1。由g(-1)=m+2>0，g(1)=m-2<0，得-8<m<0。3.A解析：相切条件为y=x^3-3x与y=kx的导数相等，即3x^2-3=k。由相切得x₀=±1，代入得k=±√3。4.B解析：h(x)=x^3-6x^2+9x+1的导函数h'(x)=3x^2-12x+9=0的解为x=1,3。由h''(x)=6x-12，得拐点在x=2处，h(2)=3。5.C解析：f(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处取得极值，得f'(1)=3-2p=0，f'(-1)=-3+2p=0，解得p=3。又f(1)=1-p+q=0，f(-1)=-1+p+q=0，解得q=-1。6.B解析：φ(x)=x^3-3x+2的导函数φ'(x)=3x^2-3=0的解为x=±1。由φ''(x)=6x，得x=0处二阶导数为0，但x=0是极大值点。7.D解析：μ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/3)。由μ(0)=0，μ(1)=0，μ(2)=2，得最大值在x=3处。8.A解析：μ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，得μ'(1)=3-a+b=0；在x=2处取得极大值，得μ'(2)=12-4a+2b=0。联立解得a=3，b=2。9.B解析：τ(x)=x^3-3x^2+3x-1在区间[0,2]上的驻点为x=1，由τ(0)=-1，τ(1)=0，τ(2)=1，得最大值与最小值之差为2。10.D解析：γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，得γ'(1)=3-p=0；在x=-1处取得极小值，得γ'(-1)=-3-p=0，解得p=-2。又γ(1)-γ(-1)=4，代入得q=1。二、填空题1.0解析：ψ(x)=x^3-3x的导函数ψ'(x)=3x^2-3=0的解为x=±1，由ψ''(x)=6x，得x=0处二阶导数为0，但x=0是极值点，x₁+x₂=0。2.0解析：ψ(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，得ψ'(1)=3-3=0。3.(2,3)解析：η(x)=x^3-6x^2+9x+1的导函数η'(x)=3x^2-12x+9=0的解为x=1,3。由η''(x)=6x-12，得拐点在x=2处，η(2)=3。4.2解析：μ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数μ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/3)。由μ(0)=0，μ(1)=0，μ(2)=2，得最大值在x=3处，μ(3)=9-27+6=2。5.a=4且b=3解析：τ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，得τ'(1)=3-a+b=0；拐点在x=2处，得τ''(2)=12-4a+2b=0。联立解得a=4，b=3。6.6解析：σ(x)=x^3-3x+2在x=0处的二阶导数值为σ''(0)=6×0^2-6=6。7.5解析：γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，得γ'(1)=3-p=0；在x=-1处取得极小值，得γ'(-1)=-3-p=0，解得p=-2。又γ(1)-γ(-1)=4，代入得q=1。由p²+q²=(-2)²+1²=5。8.x=1解析：φ(x)=x^3-3x^2+3x在区间[-1,3]上的驻点为x=1，由φ(-1)=-1，φ(1)=1，φ(3)=9，得最小值在x=1处。9.拐点解析：η(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的二阶导数值为η''(3)=6×3-12=6≠0，故为拐点。10.5解析：μ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，得μ'(1)=3-a+b=0；在x=2处取得极大值，得μ'(2)=12-4a+2b=0。联立解得a=5，b=2。由μ(2)-μ(1)=3，得a²-b²=25-4=5。三、判断题1.正确解析：ψ(x)=x^3-3x在x=0处取得极值，得ψ'(0)=3×0^2-3=0。2.错误解析：η(x)=x^3-6x^2+9x+1的导函数η'(x)=3x^2-12x+9=0的解为x=1,3。由η''(x)=6x-12，得x=3处二阶导数为0，但x=3是极小值点。3.错误解析：σ(x)=x^3-3x+2的拐点在x=0处，但x=0不是极值点。4.正确解析：τ(x)=x^3-3x^2+2x的导函数τ'(x)=3x^2-6x+2=0的解为x=1±√(1/3)。由τ(0)=0，τ(1)=0，τ(2)=2，得最大值在x=3处，τ(3)=9-27+6=2。5.正确解析：τ(x)=x^3-ax^2+bx的极值点一定是其导函数τ'(x)的零点，这是极值存在的必要条件。6.错误解析：γ(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，得p=2q。若极大值与极小值之差为4，则p可正可负。7.错误解析：φ(x)=x^3-3x^2+3x在区间[-1,3]上的驻点为x=1，由φ(-1)=-1，φ(1)=1，φ(3)=9，得最小值在x=1处。8.正确解析：η(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2处的二阶导数值为η''(2)=6×2-12=0，但η''(x)=6x-12在x=2处变号，故为拐点。9.错误解析：μ(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极小值，在x=2处取得极大值，得a=5，b=2。a=5>2成立，但若a=4，b=3也满足条件，此时a=4≤2。10.错误解析：σ(x)=x^3-3x+2在x=0处的二阶导数值为σ''(0)=6×0^2-6=-6≠0。四、简答题1.解：ψ(x)=x^3-3x的导函数ψ'(x)=3x^2-3=0的解为x=±1。由ψ''(x)=6x，得x=-1处二阶导数为-6<0，为极大值点；x=1处二阶导数为6>0，为极小值点。极值点坐标为(-1,2)和(1,-2)。2.证明：η(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，得η'(1)=3-3=0。η'(x)=3x^