八年级数学上册《三角形的边》课件

13.2与三角形有关的线段

13.2.1三角形的边【R·数学八年级上册】学习目标理解三角形的三边关系，能证明三角形的任意两边的和大于第三边；会利用这个不等关系判断已知的三条线段能否组成三角形，及已知三角形的两边求第三边的取值范围.了解三角形的稳定性.情境导入节日的晚上，房间内亮起了彩灯.如图，装有黄色彩灯的电线与装有白色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由.装有黄色彩灯的电线长.依据：两点之间线段最短.探究新知知识点1三角形的三边关系任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？探究①BA→AC②BC线路②更短：两点之间线段最短.哪条线路较短？理由是什么？三角形的两边之和大于第三边.这说明三角形的边之间有什么关系？CAB你能证明这个结论吗？知识点1三角形的三边关系CAB证明：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点看成定点，(例如B，C)由“两点之间，线段最短”，可得AB+AC>BC.同理有AC+BC>AB，AB+BC>AC.这样，我们就证明了，三角形的两边之和大于第三边.知识点1三角形的三边关系CABAB+AC>BC.进一步，由不等式②③，移项可得AC+BC>AB，AB+BC>AC.这就是说，三角形的两边之差小于第三边.②BC>AB–AC，BC>AC–AB.

③已知三角形的三边长分别为3，8，x，则x

的取值范围是______________.三角形的任意两边之和大于第三边5＜x＜11三角形的任意两边之差小于第三边x<

8+3x>

8–3x<

11x>

5针对训练知识点1三角形的三边关系思考对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？现有12条已知长度的线段：试一试任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长.2cm3cm4cm5cm6cm知识点1三角形的三边关系在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况：①②③因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形.知识点1三角形的三边关系一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.针对训练判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、9cm、5cm；（2）6cm、8cm、10cm.解：（1）不能，因为3cm+5cm<9cm；（2）能，因为6cm+8cm>10cm，10cm–6cm>8cm.已知三条线段，如何简单有效地判断能否组成三角形？计算两条较短的线段的和，若比最长的线段长，则可以组成三角形；若小于或等于，则不可以组成三角形.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？教材P6例题解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则x+

2x+2x=18解得x=3.6.所以，三角形三边的长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm.教材P6例题（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.4+2x=18①如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，则解得x=7.2×4+y=18②如果4cm长的边为腰，设底边长为ycm，则解得y=10.因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.教材P6例题知识点2三角形的稳定性在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？

知识点2三角形的稳定性如图，将三根木条用钉子定成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？探究发现：三角形木架的形状不会改变.知识点2三角形的稳定性发现：四边形的形状会改变.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?发现：它的形状不会改变.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗?知识点2三角形的稳定性知识点2三角形的稳定性三角形是具有稳定性的图形.针对训练判断下列图形中哪些具有稳定性.具有稳定性不具有稳定性具有稳定性具有稳定性不具有稳定性不具有稳定性三角形的稳定性有着广泛的应用.知识点2三角形的稳定性起重机钢架桥针对训练如图，工人师傅砌门时，常用木条EF、EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是什么？解：利用的是三角形的稳定性.四边形不具有稳定性，通过增加木条构成新的三角形，达到稳固的效果.BAEFCDG随堂演练教材P7练习第1题1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10.××√因为3+4<8因为5+6=11因为5+6>10，10–5>6随堂演练教材P7练习第2题2.一根4

dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢？解：一根4dm长的木条和两根1dm长的木条不能组成一个等腰三角形，因为1dm+1dm<4dm；两根4dm长的木条和一根1dm长的木条能组成一个等腰三角形，因为1dm+4dm>4dm，4dm–1dm>4dm.随堂演练3.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为______.若第三边为偶数，那么三角形的周长为______.3或5104.已知a，b，c分别是三角形三边的长，化简：|a–b+c|+|b–a–c|–|a+b+c|=_________.a–3b+c随堂演练5.如图，P是△ABC

内一点，连结BP

并延长，交AC

于点D，连结CP.（1）试探究AB+BC+AC

与2BD的大小关系；（2）试探究AB+AC

与PB+PC

的大小关系.ABDPC随堂演练解：（1）根据三角形的三边关系，可得BC+CD>BD，AB+AD>BD，∴BC+CD+AB+AD>2BD，即

AB+BC+AC>2BD.（2）根据三角形的三边关系，可得AB+AD>BD，PD+CD>PC，∴BC+AC+PD+CD>BD+PC，∴

AB+AC>BD+PC–PD，即

AB+AC>PB+PC.ABDPC随堂演练课堂小结三角形的三边关系三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.应用三角形的稳定性一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.

[唐山丰南区期中]木工要做一个三角形木架，现有两根木条的

长度分别为12

cm和5

cm，则第三根木条的长度不能是(

A

)

A.

6

cmB.

9

cmC.

13

cmD.

16

cm2.

如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是(

D

)A.

钝角三角形B.

直角三角形C.

锐角三角形D.

以上都有可能AD12345678910111213141516171819203.

[唐山丰润区模拟]如图，在△

ABC

中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

则下列说法中，正确的是(

B

)A.

AD

是△

ABE

的中线B.

AE

是△

ABC

的角平分线C.

AF

是△

ACE

的高线D.

AE

是△

DAF

的中线B12345678910111213141516171819204.

把

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，内角和增加了180°，则

x

的值为(

A

)A.

1B.

2C.

3D.

4【解析】由题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝180°，解得

x

＝1.A12345678910111213141516171819205.

如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点

A

，

B

，

C

都在格点上，则△

ABC

的面积为(

C

)B.

3D.

4

C12345678910111213141516171819206.

科技馆为某机器人编写了一段程序，如果这个机器人在平地上按照

图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为(

C

)A.

6

mB.

8

mC.

12

mD.

不能确定C1234567891011121314151617181920【解析】由题意知，机器人从点

A

出发再回到点

A

时，走过的路线可围

成一个正多边形，∵每次左转30°，即这个正多边形的每个外角为30°，∴这个正多边形的边数为360°÷30°＝12.∴它第一次回到出发点

A

时，一共走了12×1＝12(m).12345678910111213141516171819207.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，与∠

BAD

，∠

ABC

相邻

的外角都是110°，则与∠

ADC

相邻的外角α的度数是(

D

)A.

90°B.

85°C.

80°D.

70°【解析】∵在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，∴与∠

C

相邻的外角度数为180°－110°＝70°.∴α＝360°－70°－110°－110°＝70°.D12345678910111213141516171819208.

一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则

∠1＋∠2的度数是(

B

)A.

90°B.

100°C.

130°D.

180°B1234567891011121314151617181920【解析】如图可知，∠

BAC

＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠

ABC

＝180°－60°－∠3＝120°－50°＝70°，∠

ACB

＝180°－60°－

∠2＝120°－∠2.∵在△

ABC

中，∠

BAC

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴90°－∠1＋70°＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝100°.12345678910111213141516171819209.

若三角形三个外角的比为3∶4∶5，则这个三角形是(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

等腰三角形D.

钝角三角形【解析】设三角形的三个外角的度数分别为3

x

，4

x

，5

x

，则3

x

＋4

x

＋5

x

＝360°，解得

x

＝30°.∴3

x

＝90°，4

x

＝120°，5

x

＝150°，相应的内角分别为90°，60°，30°.∴这个三角形是直角三角形.B123456789101112131415161718192010.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是

(

B

)A.

65°B.

65°或25°C.

25°D.

50°B1234567891011121314151617181920【解析】当该等腰三角形为锐角三角形时，如图1，可求得其顶角为50°，

当该等腰三角形为钝角三角形时，如图2，

可求得顶角的外角为50°，则顶角为180°－50°＝130°，

综上所述，该等腰三角形的底角为65°或25°.123456789101112131415161718192011.

如图所示，将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋

转，要使新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上，则旋转角度为

(

B

)A.

108°B.

72°C.

54°D.

36°第11题图B1234567891011121314151617181920【解析】∵正五边形的外角＝360°÷5＝72°，∴将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋转，则旋转72°，可使得新五边形

A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上.第11题图123456789101112131415161718192012.

如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图1)和“梅花”图案

(图2)(图中的折扇无重叠)，则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为

(

D

)A.

36°B.

42°C.

45°D.

48°第12题图D1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接图中五角星的各个顶点，组成正五边形.∵五边形的内角和＝(5－2)×180°＝540°，

∵扇形中心角度为120°，

∴剩下顶角为108°－2×30°＝48°.第12题图1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.

在以下生活现象中：①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩

栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条.利用了三角形的

稳定性的有

(填序号).①③④

123456789101112131415161718192014.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝50°，∠

ACB

＝78°，

BD

平分∠

ABC

交

AC

于点

D

，则∠

BDC

的度数为

⁠°.77

123456789101112131415161718192015.

[石家庄裕华区二模]一块板材如图所示，测得∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，根据需要，∠

ADC

为140°，师傅说板材不符

合要求且只能改动∠

A

，则可将∠

A

(填“增加”或“减少”)

⁠°.第15题图减少5

1234567891011121314151617181920【解析】如图，延长

CD

交

AB

于点

E

.

∵∠

ADC

＝∠

A

＋∠

CEA

，∠

CEA

＝∠

B

＋∠

C

，∴∠

ADC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，∴∠

ADC

＝20°＋90°＋35°＝145°.∵∠

ADC

需为140°，∴可将∠

A

减少5°.第15题图123456789101112131415161718192016.

[石家庄模拟]我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数

是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.如：

三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”.概念

理解：如图，∠

MON

＝60°，在射线

OM

上找一点

A

，过点

A

作

AB

⊥

OM

交

ON

于点

B

，则∠

ABO

的度数为

，△

AOB

(填

“是”或“不是”)“和谐三角形”.30°

是第16题图1234567891011121314151617181920【解析】∵

AB

⊥

OM

，∴∠

OAB

＝90°.∵∠

MON

＝60°，∴∠

ABO

＝180°－90°－60°＝30°.在△

AOB

中，∠

OAB

＝90°，∠

ABO

＝30°，即∠

OAB

＝3∠

ABO

，

∴△

AOB

是“和谐三角形”.第16题图1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.

(6分)已知

n

边形的内角和θ＝(

n

－2)×180°.(1)甲同学说：“θ能取360°”；而乙同学说：“θ也能取630°”.甲、

乙同学的说法对吗？若对，求出边数

n

；若不对，请说明理由；解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲同学的说法对，乙同学的说法不对.∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4.∴甲同学说的边数

n

是4.1234567891011121314151617181920(2)若

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方

法确定

x

.解：(2)依据题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝360°，解

得

x

＝2.∴

x

的值是2.123456789101112131415161718192018.

(6分)如图，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

，

D

，

E

分别是

BC

，

AC

上

的点，连接

DE

，∠1＝∠2，∠

BAD

＝40°，求∠

EDC

的度数.解：∵∠1是△

DEC

的外角，∴∠1＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

.

∴∠

B

＋∠

BAD

＝∠2＋∠

EDC

，即∠

B

＋40°＝∠

C

＋2∠

EDC

.

又∵∠

B

＝∠

C

，∴2∠

EDC

＝40°.∴∠

EDC

＝20°.123456789101112131415161718192019.

(8分)如图，用钉子把木棒

AB

，

BC

和

CD

分别在端点

B

，

C

处连接

起来，并让木棒

AB

，

CD

可以分别绕端点

B

，

C

转动，用橡皮筋把

AD

连接起来，设橡皮筋

AD

的长是

x

cm.(1)若

AB

＝5

cm，

CD

＝3

cm，

BC

＝11

cm，求

x

的最大值和最小值；1234567891011121314151617181920解：(1)当

AB

绕点

B

逆时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

顺时针转到与

BC

共线时，

x

为最大值，即

x

＝

AB

＋

BC

＋

CD

＝5＋11＋3＝19(cm)；当

AB

绕点

B

顺时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

逆时针转

到与

BC

共线时，

x

为最小值，即

x

＝

BC

－

AB

－

CD

＝

11－5－3＝3(cm).1234567891011121314151617181920(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出

x

的取值范围吗？解：(2)如果要使

AB

，

BC

，

CD

，

AD

围成一个四边形，

那么

AB

，

BC

，

CD

三根木棒不能共线，∴

x

的取值范围

为3＜

x

＜19.123456789101112131415161718192020.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，∠

B

＝∠

D

＝90°，

AE

平分∠

BAD

，

CF

平分∠

BCD

，则

AE

与

CF

有怎样的位置关系？请说明理由.1234567891011121314151617181920解：

AE

∥

CF

.

∴∠

EAD

＝∠

CFD

.

∴

AE

∥

CF

.

123456789101112131415161718192021.

(11分)如图是甲、乙、丙三位同学折纸的示意图.(1)甲折出的

AD

是

；乙折出的

AD

是

⁠

；丙折出的

AD

是

⁠.

△

ABC

的边

BC

上的高△ABC

的角平分线△

ABC

的边

BC

上的中线2122

∴

D

是边

BC

的中点.故丙折出的

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线.2122(2)淇淇是个善于思考的同学，折完三个图后，他分别提出了如下问

题，请你试着帮他解答.①如图甲，若∠

B

＝30°，∠

C

＝60°，求∠BAC'的度数；图中是否

还有与∠

B

大小相等的角？若有，请指出，并说明理由；②如图乙，若∠

C

＝60°，则要折出乙图中的情形，∠

ABC

的取值范

围是

⁠；60°＜∠

ABC

＜120°

2122③如图丙，折痕

DE

与

AC

交于点

E

，

AD

与

BE

交于点

F

，量得

DC

＝

DE

＝2，

AE

与

EC

的比为1∶3，请求出△

ABE

的面积及△

AFB

与△

EFD

的面积差.①解：由折叠的性质，可得∠AC'C＝∠

C

＝60°.∵∠AC'C＝∠

B

＋∠BAC'，∠

B

＝30°∴∠BAC'＝∠AC'C－∠

B

＝60°－30°＝30°.还有与∠

B

大小相等的角∠

DAC

，∠DAC'.理由：由折叠的性质可知，

AD

是△

ABC

的边

BC

上的高，∴∠

ADC

＝∠ADC'＝90°.∴∠

DAC

＝∠DAC'＝∠

B

＝30°.2122③解：由折叠的性质可知，

DE

是△

EBC

的边

BC

的高，

BD

＝

C