数学北师大版（2024）八年级上册第一章《勾股定理》全章导学案（含答案）

1探索勾股定理第1课时探索勾股定理学案班级姓名组别总分【学习目标】1.理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.【学习过程】任务一：勾股定理的初步认识问题1：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长平方之间有怎样的关系。问题2：如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?（与同伴交流）（一个小方格代表一个单位面积）结论：。问题3:一般的直角三角形是否也具有该性质呢？观察：填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图结论：。问题4：如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗?【方法归纳】勾股定理：【即时测评】1.在教材图1-1的问题中，需要多长的钢索？2.如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（

）A．150 B．200C．225D．2553．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（

）

A．66 B．16 C．32 D．23064．直角三角形的三边长分别为2，3，x，则以x为边长的正方形的面积为（

）A．13 B．5 C．13或5 D．4评价任务一得分：任务二：初步运用勾股定理求解直角三角形的边长例.如图，一高为5米的竹竿，靠在高为4米的墙上，这时竹竿底部与墙的距离是多少?【即时测评】5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（）A.3B.4C.5D.66.如图，点C是线段AB上的一点分别以AC，BC为边向两侧作正方形。设AB=6，两个正方形的面积和S1+S2=20，则图中△BCD的面积为()A.4B.6C.8D.107.求下图中字母所代表的正方形面积。8.求出下列直角三角形中未知边的长度。评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为（）A．5 B．7 C．25 D．25或72．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为cm2．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c为其三边长．（1）若a＝3，b＝4，则c＝；（2）若a＝5，c＝13，则b＝．（3）若b＝8，c＝10，则a＝；（4）若c＝20，a：b＝4：3，则b＝．4．求斜边长为17cm，一条直角边长为15cm的直角三角形的面积．参考答案即时测评：1.10m2.C3.B4.C5.C6.A7.解：SA=16+9=25；SB=169-25=144。8.解：x2=152+202=625，x=25；y2=132-52=144，y=12。当堂训练1.D2.813.5,12,6,12.4.解：由勾股定理可得，64，所以另一条直角边QUOTE=172-152则直角三角形的面积为（15×8）÷2＝60（cm2）．故直角三角形的面积是60cm2．第2课时验证勾股定理及其简单应用学案班级姓名组别总分【学习目标】1.通过拼图验证并掌握勾股定理的内容，体会数形结合的思想.2.通过对勾股定理的验证能应用勾股定理进行简单计算和解决简单的实际问题.【学习过程】任务一：验证勾股定理活动1:请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形。活动2：计算图中大正方形的面积问题1：如图1，你能表示大正方形的面积吗？有不同的方法吗？问题2：你能由此得到勾股定理吗？为什么？活动3：利用图2验证勾股定理【方法归纳】通过用不同方法表示大正方形的面积，能够验证勾股定理。【即时测评】1．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是()A．S△EDA＝S△CEBB.S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA＋S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC评价任务一得分：任务二：勾股定理简单应用活:4例在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400m，过了10s，汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车的速度吗？【即时测评】2.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（）A.140米B.120米C.100米 D.90米3.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A.10B.13C.15D.264.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端到地面的距离2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，其顶端距离地面1.5米，那么小巷的宽度为米。5.如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度。评价任务二得分：任务二：拓展应用活动5：观察图片，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。结论1:.结论2:.自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．2．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆在折断之前有多高？3．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，AD＝13m，∠B＝∠ACD＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？参考答案即时测评：1.B2.C3.B4.25.解：根据题中数据，由勾股定理可得，AB2=AC2-BC2=652-252=3600，则AB=60m。答：该河流的宽度是60米。当堂训练1.1002.解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面9m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，，所以折断的旗杆为QUOTE92+122=所以旗杆折断之前高度为15m+9m＝24m．3.解：∵∠ACD＝90°，∴AC2+DC2＝AD2，由勾股定理得AC＝5m，∴DCQUOTE=AD2-AC2这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD=12AB•BC+12AC•DC故需要的费用为36×100＝3600元．答：铺满这块空地共需花费3600元．2一定是直角三角形吗学案班级姓名组别总分【学习目标】1.通过画三角形、测量直角的活动，猜想归纳出勾股定理逆定理，发展归纳能力.2.通过自主学习，能利用勾股定理逆定理解决简单的数学问题,发展自主学习及解决问题能力.【学习过程】任务一：探究勾股定理的逆定理活动1下面有三组数，分别是一个三角形的三边长，，：①3，4，5；②5，12，13；8③，15，17；=4\*GB3④7，24，25。问题1：这三组数都满足吗？问题2：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？猜想：三角形的三边长存在什么关系，这个三角形是直角三角形？提问：利用量角器手工测量结果可能有误差，有没有更有说服力的理由?【方法归纳】勾股定理逆定理：勾股数：【即时测评】1．下列四组数据能作为直角三角形的三边长的是（）A．6、9、10 B．5、11、13 C．12、18、22 D．9、12、152．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形评价任务一得分：任务二：勾股定理逆定理的应用例一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中，∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗?图1图2【即时测评】3.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（）A．3，4，5B．6，8，10 C．5，12，13D．7，15，174.下列各组数中，为勾股数的是（）A.0.6，0.8，1B.2，3，4C.，，D.3，4，55.若三角形的三边长满足|c2-a2-b2|+（a-b）2=0，则此三角形的形状是。6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．若三条线段a、b、c满足a2+c2＝b2，这三条线段组成的三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．对角三角形 D．无法判断2．如果线段a，b，c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A．1：2：4 B．1：3：5 C．6：4：7 D．5：12：133．以△ABC的三条边为边长向外作正方形，依次得到的正方形面积为9，16，25，则这个三角形直角三角形（填“是”或“不是”）．4．一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积．参考答案即时测评：D2.B3.D4.D5.等腰直角三角形6.解：由题意画出相应的图形，如图。根据题意可知AB=240海里，BC=70海里，AC=250海里，在△ABC中，由勾股定理，得，即.所以△ABC是直角三角形.答：船转弯后，是沿正西方向航行的。当堂训练1.B2.D3.是4.解：连接AC，∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，∴AC＝5，∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13，∴DC2+AC2＝122+52＝169，AD2＝132＝169，∴DC2+AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，AD为斜边，∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC=12×答：此木板的面积为24．3勾股定理的应用学案班级姓名组别总分【学习目标】1．通过三角形三边探索勾股定理的逆定理，并会根据其定理判断三角形是直角三角形。2．能在实际问题中构造直角三角形模型,会将立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识如对称、线段公理、点到直线的距离等求最短路径问题。3．能运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题。【学习过程】任务一：折叠问题活动1：如图1-17，正方形纸片ABCD的边长为8cm.点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落在点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F，你能求出DF的长吗？【方法归纳】解题步骤步骤一：分析折叠前后的不变量步骤二：找出直角三角形并确定其边的关系步骤三：利用已知条件列方程求解【即时测评】1．如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知AB＝DC＝6，AD＝BC＝10．则CE的长为（）A．3 B．2.5 C．83 D．2．如图，Rt△ABC纸片的两直角边长分别为3和4，∠A＝90°，折叠△ABC，使B、C两点重合，折痕为DE，连接BE，则BE的长为（）A．158 B．258 C．154评价任务一得分：任务二：勾股定理的应用活动2例今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【即时测评】3.如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（）A.20cmB.22cmC.28cmD.32cm4.如图,数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，同学们