2026-2027学年山东省泰山中学高二（上）月度质量检测数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省泰山中学高二（上）月度质量检测数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,−2),c=(3,1,z)，若aA.−1 B.1 C.−2 D.22.空间直角坐标系中，已知A(−1,−1,3)，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为(

)A.(1,1,−3) B.(1,−1,3) C.(1,1,3) D.(−1,1,3)3.两平行直线l1：x−2y−10A.522 B.3 C.4.平面直角坐标系中点P(0,−1)到直线y=x−3的距离为(

)A.1 B.2 C.225.已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(

)A.(−1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2]6.已知直线l过点(1,−1)，且l的一个方向向量为(2,−3)，则直线l的方程为(

)A.2x−3y−5=0 B.3x+2y+1=0 C.3x+2y−1=0 D.3x−2y−5=07.过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是(

)A.x+y−3=0 B.x−2y=0

C.x+y−3=0或x−2y=0 D.x+y−3=0或x−y−1=08.若平面α的法向量为u=(−1,2,4)，平面β的法向量为v=(m,−1,−2)，直线l的方向向量为t=(n,−2,−4)，则A.若α//β，则m=1 B.若l⊥α，则n=2

C.若n=−20，则l//α D.若m=−10，则α⊥β二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：(a+2)x+ay−2=0与n：(a−2)x+3y−6=0，下列选项正确的是(

)A.若l//n，则a=6或a=−1

B.若l⊥n，则a=1

C.直线l恒过点(1,−1)

D.若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为y=10.已知三条直线：直线l1：ax+y−3=0，l2：x+y−1=0，l3：2x−y−5=0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是A.−2 B.1 C.2 D.311.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，动点P在正方体表面AA.存在点P，使得CP//面A1BD

B.存在点P，使得AP⊥面A1BD

C.若AP与CC1的夹角为π6，则点P的轨迹长度为233三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过两直线2x+y−8=0与x−2y+1=0的交点，且与直线3x−4y−8=0垂直的直线的方程为

．13.已知直线l：3x+2y−2=0，直线m：3kx−3y+k−3=0，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为

．14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为(−4,2)，∠ACB的角平分线所在的直线方程为x−y+1=0，AC边上中线BM所在的直线方程为2x+y−2=0．

(1)求点C的坐标；

(2)求直线BC的方程．16.(本小题15分)

如图1，在平面五边形ABCDE中，AB//CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=4，△ADE是正三角形，F为AB中点，将△ADE沿AD翻折到△ADP，形成四棱锥P−ABCD，如图2所示．

(1)求证：AD⊥PF；

(2)当PA=PB时，求直线PF与平面PCD所成角的正切值；

(3)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值的最小值．17.(本小题15分)

已知△ABC的顶点A(1,2)，AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y−1=0，∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x．

(1)求直线BC的方程；

(2)若直线l上任意一点P，都满足S△PBC=S△ABC，求直线18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，且侧面PAD⊥底面ABCD，O是AD的中点，2AB=2BC=AD=PA=PD．

(1)已知N是PD的中点，求证：平面CON//平面PAB

(2)求证：AC⊥平面POB；

(3)当AB=2时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥P−ABM的体积为33，若存在，请求出PM19.(本小题17分)

在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若直线l以u为方向向量且经过点P0，则直线l的标准式方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)；若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程表示为a(x−x0)+b(y−y1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】ACD

12.【答案】4x+3y−18=0

13.【答案】(1,6)

14.【答案】215.【答案】(1)解：由题意可知点C在直线x−y+1=0上，设C(m,m+1)，

则AC中点M(m−42,m+32)，

又点M(m−42,m+32)在直线2x+y−2=0上，

可得m−4+m+32−2=0，解得m=3，

可得C(3,4)；

(2)解：由(1)可知C(3,4)，又A(−4,2)，

设直线BC的方程为：x+ny−3−4n=0，

则直线AC的方程为：2x−7y+22=0，

又∠ACB的角平分线所在的直线方程为x−y+1=0，

在直线x−y+1=0取点P(0,1)，

则点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，

即有1553=|3+3n|1+n2，整理得14n216.【答案】(1)证明：设G为AD的中点，连接EG、FG、DF，

因为CD/​/BF，且CD=BF=1，故四边形BCDF为平行四边形，则DF=BC=1，

所以AF=DF=1，

因为AB⊥BC，则DF⊥AB，故△ADF为等腰直角三角形，

由△ADE为正三角形及△ADF为等腰直角三角形得：AD⊥EG，AD⊥FG，

因此翻折之后AD⊥PG，因为FG∩PG=G，且FG、PG⊂平面PFG，

所以AD⊥平面PFG，又PF⊂平面PFG，

所以AD⊥PF；

(2)因为PA=PB，所以PF⊥AB，

由(1)得AD⊥PF，因为AD∩AB=A，且AD、AB⊂平面ABCD，

所以PF⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，

即PF⊥CD，因为CD⊥DF，DF∩PF=F，DF、PF⊂平面PDF，

所以CD⊥平面PDF，

在直角三角形PDF内过F作FH⊥DP于H，

因为FH⊂平面PDF，则CD⊥FH，因为CD∩DP=D，CD、DP⊂平面PCD，

所以FH⊥平面PCD，

则∠FPH为直线PF与平面PCD所成的角，

因为PA=PB=AE=AD=22，AB=4，

则PA2+PB2=AB2，所以PA⊥PB，

所以△PAB为等腰直角三角形，所以PF=12AB=2=DF，

又PF⊥DF，所以△PDF为等腰直角三角形，

所以∠FPH=45°，tan∠FPH=1，

所以直线PF与平面PCD所成角的正切值为1；

(3)由(1)知在翻折过程中，因为PG=PA2−AG2=(22)2−(2)2=6，

则P点轨迹是以G为圆心，PG=6为半径的圆，

因为AD⊥平面PFG，

以G为原点，GF、GD所在直线为x，y轴，过点G垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，

则A(0,−2,0)，B(22,2,0)、C(2,22,0)、D(0,2,0)，

设P(6cosθ,0,6sinθ)，θ∈(0,π)，

则AP=(6cosθ,2,6sinθ)，AB=(22,22,0)，

DP=(6cosθ,−2,6sinθ)，DC=(2,2,0)，17.【答案】2x−3y−1=0；

2x−3y+4=0或2x−3y−6=0

18.【答案】证明：因为O是AD的中点，N是PD的中点，

所以ON//PA，又ON⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

所以ON/​/平面PAB，

又2AB=AD，O是AD的中点，且AD//BC，所以AO/​/BC且AO=BC，

所以四边形ABCO为平行四边形，所以AB/​/OC，

又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以OC/​/平面PAB，又ON∩=O，

所以平面CON//平面PAB；

证明：由

得四边形ABCO为平行四边形，

又∠ABC=90°，AB=BC，所以四边形ABCO为正方形，

所以AC⊥BO，又PA=PD，O是AD的中点，PO⊂平面PAD，所以PO⊥AD，

又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD与底面ABCD相交于AD，

所以PO⊥底面ABCD，所以PO⊥AC，

又PO⊂平面PBO，BO⊂平面PBO，且PO∩BO=O，

所以AC⊥平面POB；

存在，PMPC=14；理由如下：

当AB=2时，可得BC=2，AD=PA=PD=4，O是AD的中点，则AO=2，PO⊥AD，

在直角三角形POA中，根据勾股定理，可得PO=PA2−AO2=42−22=23，

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