第30章《 直线与圆的位置关系》单元测试卷（含答案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第30章《直线与圆的位置关系》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，的顶点在上，边经过圆心，且边与相切于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，是的内切圆，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（

）A．6 B．10 C．14 D．184．如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．5．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（）．A． B． C． D．6．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．7．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（

）A． B． C． D．8．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形的中心O重合，且与边，分别相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段，，的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是（

）A．4， B．，4 C．，6 D．S和l的值不能确定10．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（

）A． B．2 C． D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”）12．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________．13．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________．14．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，顶点F，C在x轴上，顶点E的坐标是_____．15．如图，中，，，以点为圆心的与相切于点，若，则的半径为____________．16．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是______．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由．(1)；(2)；(3)．18．如图，已知正五边形内接于，连接，，．(1)求的度数；(2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积．19．如图，内接于，是的直径，平分，分别交、于点、，过点作的切线，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．20．已知，过三点的与相切于点．(1)如图，若，求证：是的切线；(2)若，求的半径．21．如图1是大型摩天轮的图片，小明、小亮和小红去乘坐摩天轮，如图2，摩天轮中，钢架和支架支撑整个摩天轮，为水平地面，点在点的正下方水平地面上，点在上，当小明乘坐的座舱在点时，小亮乘坐的座舱恰好在点，且，小红在点处等待乘车，已知的直径为．(1)如图2，当，，恰好在一条直线上时，从点看点的仰角为，判断与的数量关系并证明；(2)由于人多，小红一直未登上摩天轮，如图3，当小红的视线恰好为的切线时，从点看点的仰角为，求此时小亮距地面的高度．22．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．23．如图，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．(1)点D到直线AB的距离为______；(2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．①当直线与优弧相切时，的值为______秒；②当时，求阴影部分面积．24．【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆．(1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程：证明：因为是的一个内切圆，不妨设与分别相切于点，如图②，连接．……请你帮助小明完成上述证明过程．(2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____．(3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____．25．提出问题以及解决问题：(1)问题提出如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为．(2)问题解决小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．C解：如图，连接，∵是的切线，∴，∵，∴，∴．2．A解：∵，∴，∵是的内切圆，∴平分，∴，∴，∴．3．C解：∵四边形是矩形，，，与直线相切∴的半径，由勾股定理得两圆圆心距∵点在内，半径为，点到圆心的距离为∴，即r>10∵与相交，∴两圆相交满足代入，得解不等式得结合r>10得的取值范围为选项中只有符合该范围．4．D解：，分别相切于点，，，分别与相切于点，，分别与相切于点，，．5．D解：∵正方形的内切圆半径是3，∴正方形边长为6，根据勾股定理，正方形对角线长度为：，∴正方形的外接圆半径为：，∴，，∴．6．A解：连接，∵是的切线，∴．∵∴，∴，∴，，根据勾股定理，得．∴．7．B【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程．解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）；根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。∵，，∴，即，∴．故选：B．8．B解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，∵在边、上截得的弦长相等，∴，∴平分∵∴，∵，∴，∴，当与外切时，连接，设，则，，在中，由勾股定理得，∴解得；当与内切时，连接，设，则，，在中，由勾股定理得，∴解得；∴与相交时，，∴B符合题意．9．B解：如图，连接，，，过作于，根据正六边形的性质得，，，，∴，和是等边三角形，∴，，，∴，，∴，同理可得∵，，∴，∴，，∵，∴，．∴S和l的值分别是，4．10．A解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，∵的坐标为，设直线与轴，轴分别交于，当时，；当时，，解得；∴，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵恒成立，且根据垂线段最短，∴此时，值最小，则的值也最小，∴切线长的最小值为．二、填空题11．相交解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2，∴,∴直线与圆相交，故答案为：相交．12．90解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为，．13．2解：连接，设正方形边长为，∵正方形面积为，∴．∵正方形内接于，∴正方形的对角线为的直径．设半径为r，．根据勾股定理，：∴，代入，得，化简得．∵半径为正数，∴．14．解：如图：连接，作轴于点，∵在平面直角坐标系中，半径为4的正六边形的中心为点O，∴，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴顶点E的坐标是，故答案为：．15．解：连接，的半径为，与相切于点，，在中，，∴BD=3r，在中，，∴CD=r，，即，解得：，即的半径为．16．54解：∵，，∴，如图：连接，∵是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，∴，∵，∴，∴，同理可得：，设，则，∵，∴，∴，解得：或负值舍去，∴．∴．故答案为：54．三、解答题17．(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下：∵，∴，作，则，即，∴，即点到直线的距离为；∵，即，∴直线与圆相离；(2)解：当时，直线与圆相切；理由如下：由（1）可知，点到直线的距离为；∴，∴直线与圆相切；(3)解：当时，直线与圆相交；理由如下：由（1）可知，点到直线的距离为，∵，即，∴直线与圆相交.18．（1）解：正五边形内接于，；（2）由（1）得，的半径为，扇形（阴影部分）的面积为：．19．(1)证明：如图，连接，∵为的直径，∴．∵平分，∴，由圆周角定理得，即，∵是的切线，∴．∴．（2）解：∵，∴由圆周角定理得：，∵，∴，在中，，∴，∴．在中，，∴BC=12×32=6320．（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，∵切于，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线．（2）解：连接设半径为，∵，∴，在中，，设，则，在中，，∴，解得，∴．21．(1)；证明：过作，交于点，如图所示：∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，即，∵，∴OE=22OD∴；（2）解：延长交于点，∵是的切线，∴，∵，∴，∵，，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵摩天轮直径为，∴，∴，CF=252∴，∴即此时小亮所在处到地面的距离为22．(1)证明：连接，∵是的直径，∴，∵点是的内心，∴平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：过作于点，则，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，由，设，则，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴（负值已舍去），∴，，∴．23．（1）解：如图，过点作，连接，，，为等边三角形，，，优弧与直线相切于点，，，．故点D到直线AB的距离为．答：．（2）①解：据题可知，若直线与优弧相切时，可分两种情况讨论，如图，当直线位于左侧时，与优弧相切，直线，直线，，，则转动时间为秒；如图，当直线位于右侧时，与优弧相切，直线，直线，，，从出发，顺时针旋转的度数为，则转动时间为秒．故当秒或秒时，直线与优弧相切．答：或．②解：连接，过点作，与交于点，当，，优弧与直线相切于点，，直线，直线，直线，四边形为矩形，，，，，，，，，，．答：．24．(1)证明：因为是的一个内切圆，不妨设与分别相切于点，如图②，连接．所以，，点在的平分线上；（2）解：如图，设与相切于点，由（1）可得平分∴∴OD=2×3