第二章 直线和圆的方程 直线和圆的对称问题（题型专练）（原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程直线和圆的对称问题（11种题型专练）题型01直线关于点对称问题1.核心逻辑

一条直线关于外部点对称，得到的新直线与原直线互相平行；只需要再找到直线上一个点的对称点，即可确定新直线。2.解题步骤（三种方法任选其一）

方法一（点对称+点斜式）

①在已知直线上任取一个点；

②求这个点关于对称中心的对称点；

③两直线平行，斜率不变；用对称点+斜率，点斜式写出对称后的直线。方法二（距离法）

①对称前后两直线平行，设平行直线方程；

②对称中心到两条直线距离相等；

③列距离等式，解出参数得到直线。方法三（任意点转移法）

①设待求直线上任意一点；

②求关于对称中心的对称点，该对称点一定在原来的直线上；

③把对称点代入原直线方程，化简得到所求直线。

3.易错提醒

如果对称中心落在原直线上，则对称之后还是原来的同一条直线。【例3】（2026高二·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（）A． B． C． D．【变式1-1】（2026高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（）A． B． C． D．【变式1-2】（2026高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（）A． B．C． D．【变式1-3】（2026高二·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（）A．2 B．6 C． D．▌题型02点关于直线对称问题1.核心逻辑

点与对称点关于直线对称，满足两个条件：

①线段的中点落在对称轴直线上；

②直线与对称轴互相垂直（斜率乘积等于）。2.解题步骤

设关于直线的对称点为

①根据垂直关系：，列出第一个方程；

②把中点代入对称轴直线方程，得到第二个方程；

③联立二元一次方程组，解出；

④得到对称点坐标。

简便思路：先求过垂直于对称轴的直线方程，联立对称轴求出中点，再用中点公式反求对称点。3.易错提醒

对称轴斜率不存在（竖直直线）或者为0（水平直线）时，不能用斜率乘积；忘记中点要在对称轴上。【例2】（2026高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（）A． B． C． D．【变式2-1】（2026高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（）A． B． C． D．【变式2-2】（2026高二·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（）A． B． C． D．【变式2-3】（2026高二·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（）A． B． C．3 D．5题型03点关于点的对称问题1.核心逻辑

两点关于某定点对称，该定点就是这两点连线的中点，直接使用中点坐标公式计算。

已知点，关于对称，则是中点。2.解题步骤

①写出已知点坐标、对称中心坐标；

②代入中点公式：

③解方程组，求出对称点；

④写出结果。3.易错提醒

中点公式记反；计算时分母2漏乘。【例1】（2026高二·浙江嘉兴·期中）点关于点的对称点的坐标是（）A． B． C． D．【变式3-1】（2026高二·全国·课后作业）点关于点的对称点Q的坐标为（）A． B． C． D．【变式3-2】（2026高二·浙江杭州·期末）已知点和点关于原点对称，则的值为（）A．1 B． C．3 D．2【变式3-3】（2026高一·云南大理·专题练习）已知点在直线上，则点关于原点的对称点的坐标为（）A． B． C． D．▌题型04直线关于直线对称问题1.核心逻辑

分两种情况：原直线与对称轴相交；原直线与对称轴平行。2.解题步骤

①情况1：与对称轴相交，求关于的对称直线

1）联立与对称轴，求出交点（交点一定在对称后的直线上）；

2）在上任取一个异于交点的点；

3）求该点关于对称轴的对称点；

4）由交点、对称点两个点，两点式写出对称直线。②情况2：与对称轴互相平行

1）对称之后的直线和它们斜率仍然相同；

2）在上任取一点，求该点关于对称轴的对称点；

3）利用该对称点+相同斜率，点斜式写出直线。

3.易错提醒

分不清相交、平行两种模型；计算点关于直线对称时方程组解错。【例4】（2026高二·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（）.A． B．C． D．【变式4-1】（2026高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（）A． B． C． D．【变式4-2】（2026高二·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（）A． B． C． D．【变式4-3】（2026·新疆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（）A．3 B．3C．3 D．3▌题型05根据对称性求最值1.核心逻辑

动点在定直线上运动，求到两个定点距离之和/差的最值，利用对称把折线段转化成两点之间线段（直线段最短）。

>和最小：两点在直线同侧，做其中一点对称点；

>差最大：两点在直线异侧，做其中一点对称点。2.解题步骤

①观察两个定点相对于定直线的位置（同侧/异侧）；

②作其中一个定点关于定直线的对称点；

③连接对称点与另外一个定点；

④连线与定直线交点即为取到最值的动点位置；

⑤利用两点距离公式算出最值。3.易错提醒

搞反“和最小”、“差最大”对应的同侧异侧；忽略交点必须在直线上。【例5】（2026高二·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（）A． B． C． D．【变式5-1】（2026高三·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，P为直线上一动点，则的最小值是（）A． B． C．2 D．4【变式5-2】（2026高二·上海·阶段检测）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（）．A． B．C． D．【变式5-3】（2026高二·河南·阶段检测）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（）A． B． C． D．▌题型06对称在光线反射中的应用1.核心逻辑

光线反射等价对称问题：入射光线、反射光线关于反射面对称；反射光线可以看作入射光源的对称点发出的直线。2.解题步骤

①把反射面看作对称轴；

②求光源（入射点）关于反射面直线的对称点；

③反射光线直线经过这个对称点以及反射点；

④结合已知点写出反射光线方程；

⑤若求入射光线，同理，取接收点做对称。3.易错提醒

分清哪一段是入射光线，哪一段是反射光线；直线求出后注意实际光线是线段，不是整条直线。【例6】（2026高二·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A． B．C． D．【变式6-1】（2026高二·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（）A． B．C． D．【变式6-2】（2026高二·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．【变式6-3】（2026高二·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A． B．C． D．▌题型07将军饮马问题1.核心逻辑

经典模型：两个定点，一条定直线，在直线上找一点，使得到两定点距离之和最小。

本质：同侧两点，作对称，折线段转直线段，两点之间线段最短。2.解题步骤

①两个定点在定直线同一侧；

②作点关于直线的对称点；

③连接，与直线交于点，就是饮马点；

④最小值就是；

⑤用两点距离公式计算最小值，写出点坐标。3.易错提醒

两点如果本来就在直线两侧，直接连线相交即可，不需要再做对称。【例7】（河南省天一大联考2025-2026学年高二学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（）A． B．4 C．5 D．【变式7-1】（2026高二·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A． B． C． D．【变式7-2】（2026高二·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A． B． C． D．【变式7-3】（2026高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A． B．5 C． D．▌题型08圆的自身轴对称性1.核心逻辑

圆是高度对称图形：任意一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆上任意一点关于直径的对称点仍然还在圆上。2.解题步骤

①圆标准方程；

②过圆心的所有直线都是对称轴；

③若点在圆上，则该点关于过圆心直线的对称点也在圆上，可用来求圆上动点。3.易错提醒

不过圆心的直线不是圆的对称轴。【例8】（2026高二·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（）A．4 B． C．2 D．【变式8-1】（2026高二·重庆·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数的值为（）A．-5 B．-3 C．3 D．5【变式8-2】（2026高二·山西阳泉·期末）若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（）A． B． C． D．【变式8-3】（2026高二·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________．▌题型09圆关于点对称1.核心逻辑

圆对称之后半径不变，只需要求圆心关于对称中心的对称点，得到新圆心，半径照搬原来半径。两点关于点对称，用中点公式。2.解题步骤

①写出原圆的圆心和半径；

②求圆心关于对称中心点的对称点；

③以为圆心，为半径直接写出对称圆标准方程。3.易错提醒

不要改变半径；不要对圆上每个点逐个计算，只处理圆心即可。【例9】（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为（）A． B．C． D．【变式9-1】（2026高二·江苏南通·阶段检测）圆关于点对称的圆的方程为（）A． B．C． D．【变式9-2】（2026高二·全国·课后作业）圆关于点对称的圆的标准方程为（）A． B．C． D．【变式9-3】（【新东方】杭州新东方高二数学试卷254）已知圆的方程为，圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（）A． B．C． D．▌题型10圆关于直线对称1.核心逻辑

圆关于直线对称，半径不变；对称轴是新旧两个圆心连线的垂直平分线。只需要求原圆心关于对称轴直线的对称点，作为新圆心。2.解题步骤

①写出原圆圆心，半径；

②求圆心关于对称轴直线的对称点；

③以为圆心，半径仍取，写出对称后的圆方程。3.易错提醒

忘记半径不变；直接平移圆心，没有用点关于直线对称计算。【例10】（2026高二·上海·期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________．【变式10-1】（2026高二·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（）A．B．C．D．【变式10-2】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，.(1)求圆的一般方程；(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程.【变式10-3】（2026高二·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（）A． B．C． D．▌题型11与圆的对称有关的最值问题1.核心逻辑

定点、圆、定直线组合；利用点/圆的对称，转化距离；常考：圆上动点到定点距离的和、差最值。2.解题步骤

①看清条件：动点是在直线上，还是在圆周上；

②如果定点在圆外/圆内，可做定点关于直线的对称点；

③将圆上点到定点距离转化为圆上点到对称点的距离；

④利用圆上点到定点距离最值公式：（为定点到圆心距离）求出最大、最小值。3.易错提醒

混淆“动点在直线”和“动点在圆上”两套最值模型；